Kursangebot | Investitionsrechnung | Interne Zinsfuß Methode - exakte Verfahren

Investitionsrechnung

Interne Zinsfuß Methode - exakte Verfahren

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Eine spezielle Möglichkeit zur Auffindung des internen Zinsfußes liegt vor bei konstanter Kapitalbindung. Das folgende Kochrezept beschreibt, was man hierunter versteht und wie man den internen Zinsfuß ausrechnet.

Konstante Kapitalbindung 

Interner Zinsfuß $\ i^* $ bei konstanter Kapitalbindung:

Wenn eine Normalinvestition gegeben ist

  • mit einer Auszahlung $\ A_0 $ in der nullten Periode und 
  • identischen Einzahlungsüberschüssen E in den Perioden $\ 1,2,3, \ldots ,n-1 $, also bis zur vorletzten Periode sowie 
  • einem Einzahlungsüberschuss von $\ E - A_0 $ in der letzten Periode, dann ist der interne Zinsfuß $\ i^* $ exakt gleich $\ i^* =100\ \% $.

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 16:
Wir haben die Investition

Jahr 0 1 2 3 4
Zahlungsreihe-53338
Berechne den internen Zinsfuß!

In jeder Periode fließen 3.000 € rein, auch in der letzten, denn hier wird zusätzlich der Kredit von 5.000 € an die Bank zurückgezahlt. Also ist der

interne Zinsfuß $\ i^* = {3.000 \over 5.000} \cdot 100\ \% = 60\ \% $. Dies ist die Verzinsung des jeweils gebundenen Kapitals, denn $\ 5.000 € \cdot 0,6 = 3.000\ € $.

Berechnung nach der p – q - Formel 

Die nächste exakte Möglichkeit zum Auffinden des internen Zinsfußes gilt nur für den Zweiperiodenfall. Wenn nämlich die Zahlungsreihe aus Zahlungen in den Perioden t = 0, t = 1 und t = 2 besteht, ist das Errechnen des internen Zinsfußes kein Problem – man benutzt die quadratische Ergänzung bzw. die p-q-Formel.

Wichtige Wiederholung also: die p-q-Formel

$$\ x_2 + px + q = 0 \Rightarrow x_{1,2} = -{p \over 2} \pm \sqrt{({p \over 2})^2-q} $$.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen p-q-Formel
Zwei Sachen sind bei der p-q-Formel unbedingt zu beachten:
der Vorfaktor des $\ x^2 $-Terms muss +1 lauten.
Auf der rechten Seite der zu lösenden Gleichung muss null stehen. Sofern dort eine andere Zahl oder ein anderer Ausdruck resultiert, muss dieser zunächst auf die linke Seite geholt werden.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 17:
Berechne den internen Zinsfuß für die Investition.

Jahr t = 0 t = 1 t = 2
Zahlungsreihe-8001.840-1.056

Die Berechnung ist über zwei Methoden möglich, nämlich

  • darüber, den Kapitalwert gleich null zu setzen und dann nach i aufzulösen oder
  • den Endwert gleich null zu setzen und dann nach i aufzulösen. Zunächst zur erstgenannten:

Berechnung über den Kapitalwert

$$\ \begin{align} C_0 = 0 & \Leftrightarrow -800 + {1.840 \over 1+i}- {1.056 \over (1+i)^2}=0 \\ & \Leftrightarrow -{800 \cdot (1+i)^2} + {1.840 \cdot (1+i)^2 \over (1+i)}-{1.056 \cdot (1+i)^2 \over (1+i)^2}=0 \\ & \Leftrightarrow {-800 \cdot (1+i)^2+1.840 \cdot (1+ i)- 1.056 }=0 \\                          substituieren:&  (1+i)=u \\ & \Leftrightarrow -800 u^2 + 1.840u – 1.056 = 0 \\ & \Leftrightarrow u^2 - 2,3 u + 1,32 = 0 \\ & \Rightarrow u_{1,2} = - \left({-2,3 \over 2} \right )\pm \sqrt{\left({-2,3 \over 2} \right )^2-1,32}=1,15 \pm 0,05 \end{align} $$.

Die Lösungen für u = 1 + i sind demnach $\ u_1 = 1,1 $ und $\ u_2 = 1,2 $.

Also betragen die beiden Lösungen für den internen Zinsfuß $\ i^*_1 = 10\ \% $ und $\ i^*_2 = 20\ \% $.

Berechnung über den Endwert

Dann zur zweiten, nämlich den Endwert gleich null setzen und nach null auflösen:

$\ C_n = -800 \cdot (1 + i)^2 + 1.840 \cdot (1 + i) – 1.056 = 0 $.

Der Rest läuft genau wie oben bei der Kapitalwertmethode ab.

Expertentipp

Hier klicken zum Ausklappen Zwei Probleme des internen Zinsfußes fallen direkt ins Auge:
Es kann mehrere interne Zinsfüße geben.
Wenn der Ausdruck unter der Wurzel kleiner als null ist, gibt es sogar gar keinen internen Zinsfuß.

Außerdem gilt

Expertentipp

Hier klicken zum Ausklappen Der interne Zinsfuß ist die Verzinsung des jeweils gebundenen Kapitals . Eine Investition ist vorteilhaft, wenn ihr interner Zinsfuß über der Verzinsung einer Alternativanlage bzw. über den Finanzierungskosten der Investition liegt.

Eine Schwierigkeit des internen Zinsfußes besteht darin,

  • dass er nicht eindeutig bestimmbar ist
  • dass er möglicherweise gar nicht existiert.

 

Der interne Zinsfuß


Abb. 1: Der interne Zinsfuß ist nicht eindeutig bestimmt

Hierzu einige Beispiele

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen BEISPIEL 18:
Die Zahlungsreihe ist
Jahr t = 0 t = 1 t = 2
Einzahlungsüberschuss-8001840-1056
Stelle die Kapitalwertkurve mit ihren internen Zinsfüßen dar!

Kapitalwertkurve mit zwei internen Zinsfüßen

Es hatte sich gezeigt, dass zwei interne Zinsfüße existieren, bei denen der Kapitalwert (bzw. der Endwert) = 0 ist, nämlich $\ i_1 = 10\ \% $ und $\ i_2 = 20\ \% $.

Der interne Zinsfuß


Abb. 2: Kapitalwertkurve mit zwei internen Zinsfüßen

Man sieht hier, dass der interne Zinsfuß nicht eindeutig bestimmt sein muss. Außerdem ist klar, dass die Regel „interner Zinsfuß > Kalkulationszins“ gleichbedeutend mit „führe Investition durch“ nicht immer richtig sein muss.

Vielmehr ist es bei Nicht-Normalinvestitionen so:

  • es muss der gesamte Verlauf der Kapitalwertkurve bekannt sein
  • insbesondere müssen alle Schnittpunkte der Kapitalwertkurve mit der Abszisse bekannt sein
  • die Investition ist für jene Zinsfüße vorteilhaft, für die die Kapitalwertkurve oberhalb der Abszisse verläuft.

Interner Zinsfuß und Rentabilität

Das ist auch ein großer Kritikpunkt am internen Zinsfuß als Rentabilitätskennzahl. Das Problem pflanzt sich fort bei Investitionen, die über mehr als zwei Perioden laufen, z.B. n = 3, n = 4 usw. laufen.

Der interne Zinsfuß ist lediglich als relativer Vorteilhaftigkeitsmaßstab zu benutzen (im Gegensatz zu den absoluten Vorteilhaftigkeitsmaßstäben $\ C_0 $ und $\ C_n $). Er ist nämlich bei Normalinvestitionen mit dem Kalkulationszins zu vergleichen, erst dann kann gesagt werden, ob eine Investition von Vorteil ist oder nicht.

Der Vergleich für eine Normalinvestition (also eine Investition, die genau einen Vorzeichenwechsel hat, d.h. dass auf die auf die Anfangsauszahlung oder die Anfangsauszahlungen irgendwann nur noch Einzahlungen folgen) läuft folgendermaßen ($ i^* $ steht für den internen Zinsfuß, i für den Kalkulationszins).

Es ist wichtig, über die Anzahl der internen Zinsfüße bei gewissen Investitionen folgende Regel festzuhalten.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen
  • Eine Normalinvestition hat genau einen internen Zinsfuß, der größer ist als -100 % pro Periode. 
  • Eine reguläre Investition hat genau einen internen Zinsfuß, der größer ist als 0 % pro Periode.

Im Fall, dass die Laufzeit der Investition n = 2 ist, ist stets ein exaktes Lösungsverfahren anwendbar – die quadratische Ergänzung bzw. die p-q-Formel. Doch was passiert, wenn die Laufzeit größer ist als zwei Jahre?

Achtung:

  • die Lösungen für $n = 1$ und $n = 2$ sind exakt, die Lösung über die lineare Interpolation und das Newtonsche Näherungsverfahren hingegen lediglich approximativ
  • die lineare Interpolation lässt sich auch bereits ab n = 1 rechnen. Dies wäre allerdings unnötig, da ja ein Verfahren zur Verfügung steht, das die Lösung sogar exakt berechnen kann

Lernvideo zur Internen Zinsfuß Methode

Video: Interne Zinsfuß Methode - exakte Verfahren