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Interne Zinsfuß Methode - exakte Verfahren

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Eine spezielle Möglichkeit zur Auffindung des internen Zinsfußes liegt vor bei konstanter Kapitalbindung. Das folgende Kochrezept beschreibt, was man hierunter versteht und wie man den internen Zinsfuß ausrechnet.

Konstante Kapitalbindung 

Interner Zinsfuß $\ i^* $ bei konstanter Kapitalbindung:

Wenn eine Normalinvestition gegeben ist

  • mit einer Auszahlung $\ A_0 $ in der nullten Periode und 
  • identischen Einzahlungsüberschüssen E in den Perioden $\ 1,2,3, \ldots ,n-1 $, also bis zur vorletzten Periode sowie 
  • einem Einzahlungsüberschuss von $\ E - A_0 $ in der letzten Periode, dann ist der interne Zinsfuß $\ i^* $ exakt gleich $\ i^* =100\ \% $.

Beispiel

Beispiel

Beispiel 16:
Wir haben die Investition

Jahr 0 1 2 3 4
Zahlungsreihe -5 3 3 3 8
Berechne den internen Zinsfuß!

In jeder Periode fließen 3.000 € rein, auch in der letzten, denn hier wird zusätzlich der Kredit von 5.000 € an die Bank zurückgezahlt. Also ist der

interne Zinsfuß $\ i^* = {3.000 \over 5.000} \cdot 100\ \% = 60\ \% $. Dies ist die Verzinsung des jeweils gebundenen Kapitals, denn $\ 5.000 € \cdot 0,6 = 3.000\ € $.

Berechnung nach der p – q - Formel 

Die nächste exakte Möglichkeit zum Auffinden des internen Zinsfußes gilt nur für den Zweiperiodenfall. Wenn nämlich die Zahlungsreihe aus Zahlungen in den Perioden t = 0, t = 1 und t = 2 besteht, ist das Errechnen des internen Zinsfußes kein Problem – man benutzt die quadratische Ergänzung bzw. die p-q-Formel.

Wichtige Wiederholung also: die p-q-Formel

$$\ x_2 + px + q = 0 \Rightarrow x_{1,2} = -{p \over 2} \pm \sqrt{({p \over 2})^2-q} $$.

Merke

p-q-Formel
Zwei Sachen sind bei der p-q-Formel unbedingt zu beachten:
der Vorfaktor des $\ x^2 $-Terms muss +1 lauten.
Auf der rechten Seite der zu lösenden Gleichung muss null stehen. Sofern dort eine andere Zahl oder ein anderer Ausdruck resultiert, muss dieser zunächst auf die linke Seite geholt werden.

Beispiel

Beispiel 17:
Berechne den internen Zinsfuß für die Investition.

Jahr t = 0 t = 1 t = 2
Zahlungsreihe -800 1.840 -1.056

Die Berechnung ist über zwei Methoden möglich, nämlich

  • darüber, den Kapitalwert gleich null zu setzen und dann nach i aufzulösen oder
  • den Endwert gleich null zu setzen und dann nach i aufzulösen. Zunächst zur erstgenannten:

Berechnung über den Kapitalwert

$$\ \begin{align} C_0 = 0 & \Leftrightarrow -800 + {1.840 \over 1+i}- {1.056 \over (1+i)^2}=0 \\ & \Leftrightarrow -{800 \cdot (1+i)^2} + {1.840 \cdot (1+i)^2 \over (1+i)}-{1.056 \cdot (1+i)^2 \over (1+i)^2}=0 \\ & \Leftrightarrow {-800 \cdot (1+i)^2+1.840 \cdot (1+ i)- 1.056 }=0 \\                          substituieren:&  (1+i)=u \\ & \Leftrightarrow -800 u^2 + 1.840u – 1.056 = 0 \\ & \Leftrightarrow u^2 - 2,3 u + 1,32 = 0 \\ & \Rightarrow u_{1,2} = - \left({-2,3 \over 2} \right )\pm \sqrt{\left({-2,3 \over 2} \right )^2-1,32}=1,15 \pm 0,05 \end{align} $$.

Die Lösungen für u = 1 + i sind demnach $\ u_1 = 1,1 $ und $\ u_2 = 1,2 $.

Also betragen die beiden Lösungen für den internen Zinsfuß $\ i^*_1 = 10\ \% $ und $\ i^*_2 = 20\ \% $.

Berechnung über den Endwert

Dann zur zweiten, nämlich den Endwert gleich null setzen und nach null auflösen:

$\ C_n = -800 \cdot (1 + i)^2 + 1.840 \cdot (1 + i) – 1.056 = 0 $.

Der Rest läuft genau wie oben bei der Kapitalwertmethode ab.

Zwei Probleme des internen Zinsfußes fallen direkt ins Auge:
Es kann mehrere interne Zinsfüße geben.
Wenn der Ausdruck unter der Wurzel kleiner als null ist, gibt es sogar gar keinen internen Zinsfuß.

Außerdem gilt

Der interne Zinsfuß ist die Verzinsung des jeweils gebundenen Kapitals . Eine Investition ist vorteilhaft, wenn ihr interner Zinsfuß über der Verzinsung einer Alternativanlage bzw. über den Finanzierungskosten der Investition liegt.

Eine Schwierigkeit des internen Zinsfußes besteht darin,

  • dass er nicht eindeutig bestimmbar ist
  • dass er möglicherweise gar nicht existiert.


Der interne Zinsfuß
Abb. 1: Der interne Zinsfuß ist nicht eindeutig bestimmt

Hierzu einige Beispiele

Beispiel

BEISPIEL 18:
Die Zahlungsreihe ist
Jahr t = 0 t = 1 t = 2
Einzahlungsüberschuss -800 184 -1056
Stelle die Kapitalwertkurve mit ihren internen Zinsfüßen dar!

Kapitalwertkurve mit zwei internen Zinsfüßen

Es hatte sich gezeigt, dass zwei interne Zinsfüße existieren, bei denen der Kapitalwert (bzw. der Endwert) = 0 ist, nämlich $\ i_1 = 10\ \% $ und $\ i_2 = 20\ \% $.

Der interne Zinsfuß
Abb. 2: Kapitalwertkurve mit zwei internen Zinsfüßen

Man sieht hier, dass der interne Zinsfuß nicht eindeutig bestimmt sein muss. Außerdem ist klar, dass die Regel „interner Zinsfuß > Kalkulationszins“ gleichbedeutend mit „führe Investition durch“ nicht immer richtig sein muss.

Vielmehr ist es bei Nicht-Normalinvestitionen so:

  • es muss der gesamte Verlauf der Kapitalwertkurve bekannt sein
  • insbesondere müssen alle Schnittpunkte der Kapitalwertkurve mit der Abszisse bekannt sein
  • die Investition ist für jene Zinsfüße vorteilhaft, für die die Kapitalwertkurve oberhalb der Abszisse verläuft.

Interner Zinsfuß und Rentabilität

Das ist auch ein großer Kritikpunkt am internen Zinsfuß als Rentabilitätskennzahl. Das Problem pflanzt sich fort bei Investitionen, die über mehr als zwei Perioden laufen, z.B. n = 3, n = 4 usw. laufen.

Der interne Zinsfuß ist lediglich als relativer Vorteilhaftigkeitsmaßstab zu benutzen (im Gegensatz zu den absoluten Vorteilhaftigkeitsmaßstäben $\ C_0 $ und $\ C_n $). Er ist nämlich bei Normalinvestitionen mit dem Kalkulationszins zu vergleichen, erst dann kann gesagt werden, ob eine Investition von Vorteil ist oder nicht.

Der Vergleich für eine Normalinvestition (also eine Investition, die genau einen Vorzeichenwechsel hat, d.h. dass auf die auf die Anfangsauszahlung oder die Anfangsauszahlungen irgendwann nur noch Einzahlungen folgen) läuft folgendermaßen ($ i^* $ steht für den internen Zinsfuß, i für den Kalkulationszins):

Entscheidung bei Einzelnormalinvestitionen:
$\ i 0 \ldots $ Investition vorteilhaft,
$\ i > i^* \ldots C_0$

Achtung:
Die o.e. Investition $\ A_0 = 800,\ E_1 = 1.840,\ A_2 = -1.056 $ ist keine Normalinvestition. Deshalb kann aus $\ i $
Es ist wichtig, über die Anzahl der internen Zinsfüße bei gewissen Investitionen folgende Regel festzuhalten.

Merke

  • Eine Normalinvestition hat genau einen internen Zinsfuß, der größer ist als -100 % pro Periode. 
  • Eine reguläre Investition hat genau einen internen Zinsfuß, der größer ist als 0 % pro Periode.

Im Fall, dass die Laufzeit der Investition n = 2 ist, ist stets ein exaktes Lösungsverfahren anwendbar – die quadratische Ergänzung bzw. die p-q-Formel. Doch was passiert, wenn die Laufzeit größer ist als zwei Jahre?

Achtung:

  • die Lösungen für $n = 1$ und $n = 2$ sind exakt, die Lösung über die lineare Interpolation und das Newtonsche Näherungsverfahren hingegen lediglich approximativ
  • die lineare Interpolation lässt sich auch bereits ab n = 1 rechnen. Dies wäre allerdings unnötig, da ja ein Verfahren zur Verfügung steht, das die Lösung sogar exakt berechnen kann

Lernvideo zur Internen Zinsfuß Methode

Video: Interne Zinsfuß Methode - exakte Verfahren

Eine spezielle Möglichkeit zur Auffindung des internen Zinsfußes liegt vor bei konstanter Kapitalbindung. Das folgende Kochrezept beschreibt, was man hierunter versteht und wie man den internen Zinsfuß ausrechnet.
Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Der interne Zinsfuß ist die Verzinsung des jeweils Kapitals. Eine Investition ist vorteilhaft, wenn ihr interner Zinsfuß über der Verzinsung einer Alternativanlage bzw. über den Finanzierungskosten der Investition liegt. Eine Schwierigkeit des internen Zinsfußes besteht darin, dass er nicht eindeutig bestimmbar ist und dass er möglicherweise gar nicht existiert.
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Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Kommentare zum Thema: Interne Zinsfuß Methode - exakte Verfahren

  • Maren Nebeling schrieb am 26.03.2015 um 08:48 Uhr
    Hallo Marcel, bei uns wird sogar in dem Kommentar die Formel korrekt angezeigt. Wurde die Formel bei dir fehlerhaft angezeigt? Falls dies erneut vorkommt, würde ich dich bitten zunächst die Seite zu aktualisieren. Falls die Formel dann erneut nicht korrekt angezeigt wird, schick doch bitte eine Email an support@wiwiweb.de und füge ein Screenshot bei, damit wir den Fehler besser nachvollziehen können. Vielen Dank und schöne Grüße
  • Marcel Ratajczyk schrieb am 22.03.2015 um 11:34 Uhr
    Berechnung über NPV (bei mir erscheint folgendes): $$\ \begin{align} C_0 = 0 & \Leftrightarrow -800 + {1.840 \over 1+i}- {1.056 \over (1+i)^2}=0 \\ & \Leftrightarrow -{800 \cdot (1+i)^2} + {1.840 \cdot (1+i)^2 \over (1+i)}-{1.056 \cdot (1+i)^2 \over (1+i)^2}=0 \\ & \Leftrightarrow {-800 \cdot (1+i)^2+1.840 \cdot (1+ i)- 1.056 }=0 \\ substituieren:& (1+i)=u \\ & \Leftrightarrow -800 u^2 + 1.840u – 1.056 = 0 \\ & \Leftrightarrow u^2 - 2,3 u + 1,32 = 0 \\ & \Rightarrow u_{1,2} = - \left({-2,3 \over 2} \right )\pm \sqrt{\left({-2,3 \over 2} \right )^2-1,32}=1,15 \pm 0,05 \end{align} $$.
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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Interne Zinsfuß Methode - exakte Verfahren ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Investitionsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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