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Investitionsrechnung - Newtonsches Näherungsverfahren

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Investitionsrechnung

Newtonsches Näherungsverfahren

Das Newtonsche Näherungsverfahren (Newtonverfahren) funktioniert folgendermaßen:

Man greift einen Punkt P der Kapitalwertkurve heraus (statt zwei wie bei der linearen Interpolation),
bildet die Tangente an die Kapitalwertkurve in dem Punkt $\ P = (i_1, C_0(i_1)) $ und
verwendet den Schnittpunkt der Tangente mit der Abszisse als $\ i_2 $ und damit als Näherung für den internen Zinsfuß i*.

Die Steigung der Tangente lässt sich ermitteln durch tan $\ \alpha = {C_0(i_1) \over i_2-i_1} $, der Winkel ist hierbei jener Winkel, den die Tangente mit der positiven Richtung der Abszisse bildet.

Da die Steigungen der Tangenten und die Steigung der Kapitalwertkurve im Punkt P identisch sind, lässt sich auch schreiben $\ C_0´(i_1) = {{C_0(i_1) \cdot P} \over i_2-i_1} $.

Die Idee sei am folgenden Bild klargemacht:

Abb. 3: Idee des Newtonschen Näherungsverfahrens
Abb. 3: Idee des Newtonschen Näherungsverfahrens

Formel zur Berechnung

Aufgelöst nach $\ i_2 $ erhält man damit die Approximationsformel des Newtonschen Näherungsverfahrens. Man beachte also die Ableitung im Nenner!

Merke

Newtonsches Näherungsverfahren $$\ i_2 = i_1 - {C_0(i_1) \over C_0´(i_1)} $$

Schema zum Newtonverfahren

Zur besseren Handhabbarkeit auch hier ein Schema:

Newtonsches Näherungsverfahren:
1. Suche einen Zinssatz $\ i_1 $, für den der Kapitalwert $\ C_0(i_1) $ bereits recht nahe bei 0 liegt. Behalte diesen Kapitalwert $\ C_0(i_1) $ für weitere Berechnungen bei und nenne den Punkt $\ P = (i_1, C_0(i_1)) $.
2. Bilde die Kapitalwertfunktion in Abhängigkeit vom Kalkulationszins i.
3. Leite diese ab nach der Variablen i.
4. Setze hier dann den speziellen Kalkulationszins $\ i_1 $ ein, d.h. bilde $\ C_0´(i_1) $.
5. Setze die Werte aus Schritt 1 und aus Schritt 4 in die folgende Formel ein $$\ i_2 = i_1 – {C_0(i_1) \over C_0´(i_1)} $$ Das Ergebnis $\ i_2 $ ist ein Näherungswert für den internen Zinsfuß i*.

Beispiel zum Newtonverfahren

Wir rechnen dieses Schema am Beispiel durch:
$A_0$ = 5.000 €, $E_1$ = 2.000 €, $E_2$ = 3.000 €, $E_3$ = 1.000 €.

Es bietet sich $\ i_1 $ = 10 % an. Der zugehörige Kapitalwert ist
$$\ C_0(i_1) = + 48,8355  € $$ also „recht nahe“ bei null. Die Kapitalwertfunktion für allgemeines i ist $$\ C_0(i) = - 5.000 + {2.000 \over 1+i} + {3.000 \over (1+i)^2} + {1.000 \over (1+i)^3} $$ Die Ableitung dieser Kapitalwertfunktion lautet: $$\ C_0(i) = {-2.000 \over (1+i)^2} - {6.000 \over (1+i)^3} - {3.000 \over (1+i)^4} $$ An der Stelle $\ i_1 = 0,1 $ ist diese speziell $$\ C_0´(0,1) = - 8.209,82 $$ Einsetzen in die Formel ergibt $$\ i_2 = i_1 – {C_0(i_1) \over C_0´(i_1)} = 0,1 – ({48,8355 \over -8.209,82}) = 0,1059 = 10,59\ \% $$

Merke

Das Newtonsche Näherungsverfahren ist umso genauer und damit umso besser als die lineare Interpolation, je näher der Punkt P, d.h. ($\ i_1, C_0(i_1) $), an der Abszisse liegt. Das Newtonsche Näherungsverfahren ist insofern der linearen Interpolation vorzuziehen, da hierdurch schneller genauere Lösungen errechnet werden können.

Beispiel

Beispiel 19:
Gegeben sei folgende Investition.
Jahr 0 1 2 3 4
Zahlungsreihe -800 30 100 -50 2.000

Approximiere den internen Zinsfuß der folgenden Investition mit dem Newton-Verfahren. Es ist wichtig zu wissen, dass das Verfahren umso besser ist, je näher $C_0(i_1)$ bei null liegt. Mit dem Newton-Verfahren rechnet man folgendermaßen: bei $\ i_1 = 30 $ % ist der Kapitalwert noch bei -40,25 €, d.h. zu weit weg von null. Bei $\ i_1 = 25 $ % erst hat man eine bessere Näherung an null mit $\ C_0 = 81,60 €$. Der Kapitalwert ist allgemein $$\ C_0 = -800 + {30 \over (1+i)} +{100 \over (1+i)^2} + -50 \cdot {1 \over (1+i)^3} +2.000 \cdot {1 \over (1+i)^4} $$ Die Ableitung dieser Kapitalwertfunktion ist $$\ C_0 = {-30 \over (1+i)^2}- {200 \over (1+i)^3}+ {150 \over (1+i)^4}-{8.000 \over (1+i)^5} $$ An der Stelle $\ i_1 = 0,25 $ erhält man $\ C_0(0,25) = -322,304 $. Also setzt man ein:

$$\ i_2 = i_1 -{C_0(i_1) \over C_0´(i_1)} = 0,25 - {81,60 \over (-2.681,60)} = 0,2804 = 28,04\ \% $$