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Newtonsches Näherungsverfahren

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Das Newtonsche Näherungsverfahren (Newtonverfahren) funktioniert folgendermaßen:

Man greift einen Punkt P der Kapitalwertkurve heraus (statt zwei wie bei der linearen Interpolation),
bildet die Tangente an die Kapitalwertkurve in dem Punkt $\ P = (i_1, C_0(i_1)) $ und
verwendet den Schnittpunkt der Tangente mit der Abszisse als $\ i_2 $ und damit als Näherung für den internen Zinsfuß i*.

Die Steigung der Tangente lässt sich ermitteln durch tan $\ \alpha = {C_0(i_1) \over i_2-i_1} $, der Winkel ist hierbei jener Winkel, den die Tangente mit der positiven Richtung der Abszisse bildet.

Da die Steigungen der Tangenten und die Steigung der Kapitalwertkurve im Punkt P identisch sind, lässt sich auch schreiben $\ C_0´(i_1) = {{C_0(i_1) \cdot P} \over i_2-i_1} $.

Die Idee sei am folgenden Bild klargemacht:

Abb. 3: Idee des Newtonschen Näherungsverfahrens
Abb. 3: Idee des Newtonschen Näherungsverfahrens

Formel zur Berechnung

Aufgelöst nach $\ i_2 $ erhält man damit die Approximationsformel des Newtonschen Näherungsverfahrens. Man beachte also die Ableitung im Nenner!

Merke

Newtonsches Näherungsverfahren $$\ i_2 = i_1 - {C_0(i_1) \over C_0´(i_1)} $$

Schema zum Newtonverfahren

Zur besseren Handhabbarkeit auch hier ein Schema:

Newtonsches Näherungsverfahren:
1. Suche einen Zinssatz $\ i_1 $, für den der Kapitalwert $\ C_0(i_1) $ bereits recht nahe bei 0 liegt. Behalte diesen Kapitalwert $\ C_0(i_1) $ für weitere Berechnungen bei und nenne den Punkt $\ P = (i_1, C_0(i_1)) $.
2. Bilde die Kapitalwertfunktion in Abhängigkeit vom Kalkulationszins i.
3. Leite diese ab nach der Variablen i.
4. Setze hier dann den speziellen Kalkulationszins $\ i_1 $ ein, d.h. bilde $\ C_0´(i_1) $.
5. Setze die Werte aus Schritt 1 und aus Schritt 4 in die folgende Formel ein $$\ i_2 = i_1 – {C_0(i_1) \over C_0´(i_1)} $$ Das Ergebnis $\ i_2 $ ist ein Näherungswert für den internen Zinsfuß i*.

Beispiel zum Newtonverfahren

Wir rechnen dieses Schema am Beispiel durch:
$A_0$ = 5.000 €, $E_1$ = 2.000 €, $E_2$ = 3.000 €, $E_3$ = 1.000 €.

Es bietet sich $\ i_1 $ = 10 % an. Der zugehörige Kapitalwert ist
$$\ C_0(i_1) = + 48,8355  € $$ also „recht nahe“ bei null. Die Kapitalwertfunktion für allgemeines i ist $$\ C_0(i) = - 5.000 + {2.000 \over 1+i} + {3.000 \over (1+i)^2} + {1.000 \over (1+i)^3} $$ Die Ableitung dieser Kapitalwertfunktion lautet: $$\ C_0(i) = {-2.000 \over (1+i)^2} - {6.000 \over (1+i)^3} - {3.000 \over (1+i)^4} $$ An der Stelle $\ i_1 = 0,1 $ ist diese speziell $$\ C_0´(0,1) = - 8.209,82 $$ Einsetzen in die Formel ergibt $$\ i_2 = i_1 – {C_0(i_1) \over C_0´(i_1)} = 0,1 – ({48,8355 \over -8.209,82}) = 0,1059 = 10,59\ \% $$

Merke

Das Newtonsche Näherungsverfahren ist umso genauer und damit umso besser als die lineare Interpolation, je näher der Punkt P, d.h. ($\ i_1, C_0(i_1) $), an der Abszisse liegt. Das Newtonsche Näherungsverfahren ist insofern der linearen Interpolation vorzuziehen, da hierdurch schneller genauere Lösungen errechnet werden können.

Beispiel

Beispiel 19:
Gegeben sei folgende Investition.
Jahr 0 1 2 3 4
Zahlungsreihe -800 30 100 -50 2.000

Approximiere den internen Zinsfuß der folgenden Investition mit dem Newton-Verfahren. Es ist wichtig zu wissen, dass das Verfahren umso besser ist, je näher $C_0(i_1)$ bei null liegt. Mit dem Newton-Verfahren rechnet man folgendermaßen: bei $\ i_1 = 30 $ % ist der Kapitalwert noch bei -40,25 €, d.h. zu weit weg von null. Bei $\ i_1 = 25 $ % erst hat man eine bessere Näherung an null mit $\ C_0 = 81,60 €$. Der Kapitalwert ist allgemein $$\ C_0 = -800 + {30 \over (1+i)} +{100 \over (1+i)^2} + -50 \cdot {1 \over (1+i)^3} +2.000 \cdot {1 \over (1+i)^4} $$ Die Ableitung dieser Kapitalwertfunktion ist $$\ C_0 = {-30 \over (1+i)^2}- {200 \over (1+i)^3}+ {150 \over (1+i)^4}-{8.000 \over (1+i)^5} $$ An der Stelle $\ i_1 = 0,25 $ erhält man $\ C_0(0,25) = -322,304 $. Also setzt man ein:

$$\ i_2 = i_1 -{C_0(i_1) \over C_0´(i_1)} = 0,25 - {81,60 \over (-2.681,60)} = 0,2804 = 28,04\ \% $$

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.

Hinsichtlich des Newtonschen Näherungsverfahrens gilt es sich zu merken: Das Newtonsche Näherungsverfahren ist umso genauer und damit umso besser als die lineare , je näher der Punkt P an der Abszisse liegt. Das Newtonsche Näherungsverfahren ist insofern der linearen Interpolation vorzuziehen, da hierdurch schneller genauere Lösungen errechnet werden können.

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Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Kommentare zum Thema: Newtonsches Näherungsverfahren

  • Daniel Lambert schrieb am 03.05.2016 um 12:56 Uhr
    Hallo Marcus, zu Deinen beiden Fragen: das ist immer die Frage, ob man mit positiven oder negativen Werten rechnet... Beste Grüße, Daniel Lambert
  • Marcus Hentschel schrieb am 06.03.2016 um 14:29 Uhr
    Könnte man das zur Verdeutlichung auch so schreiben: Die Steigung einer Tangente - hier bei einer streng monoton fallenden Kapitalwertfunktion - berechnet sich als das Verhältnis zwischen Gegenkathete f(x0) oder hier C0(i1) und Ankathete (x1-x0) bzw. hier (i2 -i1). Wenn man dann berücksichtigt, dass im Steigungsdreieck die Strecke f(x0) bzw. C0(i1) negativ ist, kommt die Formel wieder hin. Würdet Ihr das auch so sehen? VG Marcus
  • Marcus Hentschel schrieb am 06.03.2016 um 13:35 Uhr
    Hallo, eine Frage: Wenn die Formel für die Steigung der Tangente C´(i1)=C0(i0)⋅P/(i2−i1) nach i2 (Nullstelle der Tangente) aufgelöst wird, dann kommt doch folgendes raus: i2=i1+C0(i1)/C0´(i1) und nicht i2=i1-C0(i1)/C0´(i1), oder?
  • Maren Nebeling schrieb am 16.06.2015 um 10:35 Uhr
    Hallo Michelle, wenn du im ersten Schritt bereits eine bessere Näherung an C0 = 0 € hast, so ist dieser entsprechende Zinssatz zu verwenden. Dies gilt sowohl im Newtonverfahren, als auch bei der linearen Interpolation. Daniel Lambert (i.A. Maren Nebeling)
  • Maren Nebeling schrieb am 16.06.2015 um 10:32 Uhr
    Hallo Marcus, du hast recht, es muss tatsächlich C0(i1) heißen. Außerdem habe ich das P in der Formel C´(i1)=C0(i0)⋅P/(i2−i1) sowieso entfernt, es gehörte dort nicht hin. Daniel Lambert (i.A. Maren Nebeling)
  • Marcus Hentschel schrieb am 10.06.2015 um 11:39 Uhr
    C´(i1)=C0(i0)⋅P/(i2−i1), muss es unten heißen, sorry.
  • Marcus Hentschel schrieb am 10.06.2015 um 11:37 Uhr
    Die Steigung der Tangente lässt sich ermitteln durch tan α=C0(i0)i2−i1, der Winkel ist hierbei jener Winkel, den die Tangente mit der positiven Richtung der Abszisse bildet. Da die Steigungen der Tangenten und die Steigung der Kapitalwertkurve im Punkt A identisch sind, lässt sich auch schreiben C´(i1)=C0(i0)⋅Pi2−i1. Frage: Wieso ist immer von C0(i0) die Rede? C0(i0) ist doch der Schnittpunkt mit der Y -Achse? Wie passt das hier rein?
  • Michelle schrieb am 29.05.2014 um 12:14 Uhr
    Hallo, eine doofe Frage: wie genau ist "nahe Null" zu verstehen, welcher Bereich ist nahe Null und welcher nicht? Im Bezug auf Beispiel 19 ist für mich nämlich +81 weiter weg von Null als -42, sie nennen +81 aber eine bessere Näherung an die Null. Oder verstehe ich da vielleicht etwas falsch?
  • Maren Nebeling schrieb am 07.04.2014 um 14:48 Uhr
    Hallo Lars, vielen Dank für das Feedback. Die Formel wure nun geändert. Schöne Grüße.
  • Lars Franken schrieb am 07.04.2014 um 09:41 Uhr
    Die Ableitung beim Beispiel zum Newtonverfahren ist nicht korrekt da gestellt.
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Autor: Daniel Lambert

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Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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