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Lineare Interpolation

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Ein weiteres approximatives Verfahren zur Bestimmung des internen Zinsfußes ist die Lineare Interpolation. Schauen wir uns hierzu folgendes Beispiel an anhand das Verfahren deutlich wird.

Beispiel zur Linearen Interpolation

Beispiel

Beispiel 20:
Gegeben sei eine Investition mit
Jahr t = 0 t = 1 t = 2 t = 3
Einzahlungsüberschüsse -5.000 2.000 3.000 1.000
Berechne den internen Zinsfuß i* mittels Linearer Interpolation!

Da es sich um eine Normalinvestition handelt, gibt es genau einen internen Zinsfuß i*. Man sieht, dass man mit einigen Versuchen für den Zins i schon recht nahe an $\ C_ 0 = 0 $ herankommt: so ist bei i = 10 % der Kapitalwert $\ C_0 = + 48,8355 $ €. Bei einem Zinssatz von 15 % hingegen ist der Kapitalwert negativ, konkret $\ C_0 = - 334,9223 $ €.

Merke

Bei einer Normalinvestition ist es so, dass für alle Kalkulationszinsen i mit steigendem Kalkulationszins i der Kapitalwert $\ C_0 $ sinkt (bei Nicht-Normalinvestitionen gilt dies nur in einzelnen Teilintervallen). Das liegt daran, dass die Alternative – nämlich die Anlage des Geldes auf der Bank statt in die Investition – immer besser wird bei steigenden Kalkulationszins i, die Investition damit immer schlechter.

Man hat im obigen Beispiel:

Interpolation des internen Zinsfußes
Abb. 4: Interpolation des internen Zinsfußes

Der Kalkulationszins $\ i_1 = 10 $ % liefert einen positiven Kapitalwert $\ C_0^1 = + 48,84 $ €, ein anderer Kalkulationszins, nämlich i = 15 %, hingegen schon einen negativen Kapitalwert von $\ C_0^2 = - 334,92 $ €. Der gesuchte interne Zinsfuß i* wird zwischen diesen beiden liegen.

Verbindet man die beiden Punkte, wie im Bild geschehen, zeichnet also die Sekante durch die beiden Punkte A und B, so bildet der Schnittpunkt dieser Sekante mit der Abszisse den Kalkulationszins $\ i_3 $. Dieser Zins $\ i_3 $ ist eine gute Approximation (= Annäherung) des wahren internen Zinsfußes i*. Man errechnet $\ i_3 $ mit der linearen Interpolationsformel.

Interpolationsformel

Merke

Interpolationsformel: $$\ i_3 = i_1 – { C^1_0 \cdot {i_2-i_1 \over c_0^2-c_0^1}}$$

Konkret im vorliegenden Beispiel damit

$\ i_3 = 0,1 – {48,8335 \cdot {0,15-0,1 \over -334,92-48,84}} = 0,1064 = 10,64 $ %.

Der Zinssatz von 10,64 % ist eine gute Annäherung des internen Zinsfußes i*, denn der zugehörige Kapitalwert ist $\ C_0 = -3,25 $, was sehr nahe bei dem eigentlich gewünschten $\ C_0 = 0 $ liegt. Wenn man hiermit noch nicht zufrieden ist, rechnet man das Schema mit diesem $\ i_3 $als neuem Zinssatz $\ i_2 $ – da $\ i_3 $ zu einem negativen Kapitalwert führte. Also

$\ i_3 = 0,1 – {48,8335 \cdot {0,1064-0,1 \over -3,25-48,84}} = 0,1060 = 10,6 $ %.

Diese Näherung ist noch besser als Approximation für den internen Zinsfuß geeignet, da $\ i^{neu}_3 $ bereits einen Kapitalwert von $\ C_0 = - 0,017 $ € liefert, mit also lediglich einer Abweichung von 2 Cents, d.h. 0,02 €, von 0 € entfernt.

Schema zur Linearen Interpolation

Das Vorgehen sei nochmals an einem Schema erläutert

Lineare Interpolation
1. Suche einen Kalkulationszins $\ i_1 $, der zu einem positiven Kapitalwert $\ C^1_0 $ führt. Dieser sollte möglichst klein sein, also recht nahe bei 0 liegen.
2. suche einen Kalkulationszins $\ i_2 $, der zu einem negativen Kapitalwert $\ C^2_0 $ führt. Auch dieser sollte sehr klein sein, d.h. möglichst nahe bei 0.
3. setze die beiden Zinssätze und die beiden Kapitalwerte in die Formel $\ i_3 = i_1 – C^1_0 · {i_2-i_1 \over c^2_0-c^1_0} $ ein.
4. erhalte den Kalkulationszins i 3 als Approximation für den internen Zinsfuß i*, d.h. $\ i_3 $ ? i*.
5. wenn man noch genauer rechnen möchte, geht man erneut mit $\ i_3 $ in die Formel aus Schritt 3, um eine bessere Approximation zu erhalten.

Folgendes Bild verdeutlicht nochmals das allgemeine Vorgehen.

Interpolation des internen Zinsfußes
Abb. 5: Allgemeines Vorgehen bei der linearen Interpolation

Merke

Es ist sehr wichtig, dass man i 1 als einen Zinssatz wählt, der einen positiven Kapitalwert $\ C^1_0 $ liefert. Dieser Zinssatz i 1 liegt damit „automatisch“ links von i 3 , der Approximation des internen Zinsfußes i*. Also: $\ i_1 0 $. Genauso wichtig ist es, dass $\ i_2 $ immer einen negativen Kapitalwert $C^2_0 $ ergibt. Dieser Zinssatz $\ i_2 $ liegt damit „automatisch“ rechts von i 3 , der Approximation des internen Zinsfußes i*. Also: $\ i_2 > i_3 $ und $\ C^2_0 > 0 $.

Beispiel

Beispiel 21:
Folgende Differenzzahlungsreihe der Investitionsprojekte A und B sei gegeben. Die Projekte A und B mögen sich gegenseitig ausschließen.
Jahr 0 1 2 3
Einzahlungsüberschuss        
Differenzzahlungsreihe A - B 500 -45 -45 -545
Wie hoch darf der Kapitalzins maximal sein, damit man als endvermögens-maximierender Investor die Basisalternative realisiert?

Die Antwort springt ins Auge: i = 9 %, denn dies ist der interne Zinsfuß der Differenzzahlungsreihe. Es liegt eine konstante Kapitalbindung vor, d.h. man rechnet leicht i = $\ {45 \over 500} $ = 0,09 = 9 % als internen Zinsfuß aus.

Wenn nun z.B. der Kalkulationszinsfuß bei 8 % liegt, ist der Kapitalwert

$\ C^{A-B}_0 = 500 + {-45 \over 1,08} $ + ... + $\ {-545 \over 1,08^3} = -12,89 $

d.h. B ist besser als A, denn der Kapitalwert ist negativ und es gilt $\ C^{A-B}_0 = C^A_0 – C^B_0 $
Rechnet man hingegen mit einem Kalkulationszins von i = 10 %, dann ist der Kapitalwert der Differenzinvestition.

$\ C^{A-B}_0 = 500 + {-45 \over 1,1} + {-45 \over 1,1^2} + {-545 \over 1,1^3} = 12,43 $ > 0, also

$\ C^{A-B}_0 = C^A_0 – C^B_0 > 0 $ , d.h. $\ C^A_0 > C^B_0 $ und daher ist A besser als B.

Video: Lineare Interpolation

Ein weiteres approximatives Verfahren zur Bestimmung des internen Zinsfußes ist die Lineare Interpolation. Hier finden Sie ein Beispiel und die Interpolationsformel.

Wichtig

Hinweis: Die Formel auf dem Whiteboard im Video ist falsch, denn der Kapitalwert fehlt. Richtig lautet die Interpolationsformel: $$\ i_3 = i_1 – { C^1_0 \cdot {i_2-i_1 \over c_0^2-c_0^1}}$$

Multiple-Choice
Bei einer Normalinvestition ist es so, dass für alle Kalkulationszinsen $i$ mit steigendem Kalkulationszins $i$ der Kapitalwert $C_0$ ...
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Lineare Interpolation

  • Maren Nebeling schrieb am 12.11.2015 um 14:34 Uhr
    Hallo Georg, in dem Video wurde leider der Kapitalwert in der Formel vergessen. Also generell ist die Formel, so wie sie oben in der Merke-Box notiert ist richtig und sollte angewendet werden. Wir bitten diesen Fehler zu entschuldigen. Ich werde dies auch unter dem Video vermerken. Schöne Grüße
  • Georg Hoffmann schrieb am 10.11.2015 um 11:26 Uhr
    Hallo, im Beispiel 20 und beim Schema der liniaren Interpolation wird eine andere Formel als im Video genannt. Wann wende ich welche an?
  • Maren Nebeling schrieb am 23.09.2014 um 13:15 Uhr
    Hallo, vielen Dank für den Hinweis. Der Fehler ist nun behoben. Schöne Grüße.
  • Schuld schrieb am 23.09.2014 um 12:28 Uhr
    Moin Moin, Bitte entfernt das Minus-Zeichen vor dem C0 für 10% (Bsp. 21), damit das Ergebnis stimmt. Danke
  • Maren Nebeling schrieb am 08.08.2014 um 10:46 Uhr
    Hallo Sabrina, wir besprechen den Zusammenhang zwischen internem Zinsfuß und dem Kapitalwert ein paar Seiten vorher unter den Seiten zur "Internen Zinsfuß Methode". Die C-r-Formel habe ich beim Durchsuchen des Kurses leider nicht entdeckt, ich kann allerdings auch etwas übersehen haben. Schöne Grüße.
  • Sabrina Kaiser schrieb am 06.08.2014 um 14:57 Uhr
    Hallo, an welcher Stelle kann ich die C-r-Formel (als Zusammenhang zwischen Kapitalwert und internem Zinsfuß) einordnen? Oder wird diese hier gar nicht behandelt? Oder unter einem anderen Namen?
  • Maren Nebeling schrieb am 03.06.2014 um 13:22 Uhr
    Hallo Michelle, vielen Dank für deine Fragen. Die lineare Interpolation und die Regula Falsi Methode sind gleichzusetzen. Zum Bisektionsverfahren, kann man sagen, dass durch sie eine konvergente Folge von Intervallschachtelungen erzeugt wird. Das Wort setzt sich zusammen aus Bi „Zwei“ und Sektion „Schnitt“. Es steht also für Zwei-Teilung. Grundsätzlich bleibt zu sagen, dass dieses Verfahren dann verwendet wird, wenn ein Problem durch eine Teilung in zwei etwa gleich große Teile zerlegt werden kann. Diese werden dann einzeln behandelt. Schöne Grüße.
  • Michelle schrieb am 29.05.2014 um 15:50 Uhr
    Hallo, ist die lineare Interpolation mit der Regula falsi Methode gleichzusetzen? Und was ist das Bisektionsverfahren? LG
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Autor: Daniel Lambert

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Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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