Lineare Interpolation

Ein weiteres approximatives Verfahren zur Bestimmung des internen Zinsfußes ist die Lineare Interpolation. Schauen wir uns hierzu folgendes Beispiel an anhand das Verfahren deutlich wird.

Beispiel zur Linearen Interpolation

Da es sich um eine Normalinvestition handelt, gibt es genau einen internen Zinsfuß i*. Man sieht, dass man mit einigen Versuchen für den Zins i schon recht nahe an $\ C_ 0 = 0 $ herankommt: so ist bei i = 10 % der Kapitalwert $\ C_0 = + 48,8355 $ €. Bei einem Zinssatz von 15 % hingegen ist der Kapitalwert negativ, konkret $\ C_0 = - 334,9223 $ €.

Man hat im obigen Beispiel:

Abb. 4: Interpolation des internen Zinsfußes

Der Kalkulationszins $\ i_1 = 10 $ % liefert einen positiven Kapitalwert $\ C_0^1 = + 48,84 $ €, ein anderer Kalkulationszins, nämlich i = 15 %, hingegen schon einen negativen Kapitalwert von $\ C_0^2 = - 334,92 $ €. Der gesuchte interne Zinsfuß i* wird zwischen diesen beiden liegen.

Verbindet man die beiden Punkte, wie im Bild geschehen, zeichnet also die Sekante durch die beiden Punkte A und B, so bildet der Schnittpunkt dieser Sekante mit der Abszisse den Kalkulationszins $\ i_3 $. Dieser Zins $\ i_3 $ ist eine gute Approximation (= Annäherung) des wahren internen Zinsfußes i*. Man errechnet $\ i_3 $ mit der linearen Interpolationsformel.

Interpolationsformel

Konkret im vorliegenden Beispiel damit

$\ i_3 = 0,1 – {48,8335 \cdot {0,15-0,1 \over -334,92-48,84}} = 0,1064 = 10,64 $ %.

Der Zinssatz von 10,64 % ist eine gute Annäherung des internen Zinsfußes i*, denn der zugehörige Kapitalwert ist $\ C_0 = -3,25 $, was sehr nahe bei dem eigentlich gewünschten $\ C_0 = 0 $ liegt. Wenn man hiermit noch nicht zufrieden ist, rechnet man das Schema mit diesem $\ i_3 $als neuem Zinssatz $\ i_2 $ – da $\ i_3 $ zu einem negativen Kapitalwert führte. Also

$\ i_3 = 0,1 – {48,8335 \cdot {0,1064-0,1 \over -3,25-48,84}} = 0,1060 = 10,6 $ %.

Diese Näherung ist noch besser als Approximation für den internen Zinsfuß geeignet, da $\ i^{neu}_3 $ bereits einen Kapitalwert von $\ C_0 = - 0,017 $ € liefert, mit also lediglich einer Abweichung von 2 Cents, d.h. 0,02 €, von 0 € entfernt.

Schema zur Linearen Interpolation

Das Vorgehen sei nochmals an einem Schema erläutert

Folgendes Bild verdeutlicht nochmals das allgemeine Vorgehen.


Abb. 5: Allgemeines Vorgehen bei der linearen Interpolation

Die Antwort springt ins Auge: i = 9 %, denn dies ist der interne Zinsfuß der Differenzzahlungsreihe. Es liegt eine konstante Kapitalbindung vor, d.h. man rechnet leicht i = $\ {45 \over 500} $ = 0,09 = 9 % als internen Zinsfuß aus.

Wenn nun z.B. der Kalkulationszinsfuß bei 8 % liegt, ist der Kapitalwert

$\ C^{A-B}_0 = 500 + {-45 \over 1,08} $ + ... + $\ {-545 \over 1,08^3} = -12,89 $

d.h. B ist besser als A, denn der Kapitalwert ist negativ und es gilt $\ C^{A-B}_0 = C^A_0 – C^B_0 $
Rechnet man hingegen mit einem Kalkulationszins von i = 10 %, dann ist der Kapitalwert der Differenzinvestition.

$\ C^{A-B}_0 = 500 + {-45 \over 1,1} + {-45 \over 1,1^2} + {-545 \over 1,1^3} = 12,43 $ > 0, also

$\ C^{A-B}_0 = C^A_0 – C^B_0 > 0 $ , d.h. $\ C^A_0 > C^B_0 $ und daher ist A besser als B.