Kursangebot | Investitionsrechnung | Lineare Interpolation

Investitionsrechnung

Lineare Interpolation

x
Juracademy JETZT WEITER LERNEN!

Weitere Lernvideos sowie zahlreiche Materialien für deine Prüfungsvorbereitung erwarten dich:
wiwiweb.de Flatrate


1272 Lerntexte mit den besten Erklärungen

412 weitere Lernvideos von unseren erfahrenen Dozenten

3121 Übungen zum Trainieren der Inhalte

516 informative und einprägsame Abbildungen

Ein weiteres approximatives Verfahren zur Bestimmung des internen Zinsfußes ist die Lineare Interpolation. Schauen wir uns hierzu folgendes Beispiel an anhand das Verfahren deutlich wird.

Beispiel zur Linearen Interpolation

Beispiel

Beispiel 20:
Gegeben sei eine Investition mit
Jahr t = 0 t = 1 t = 2 t = 3
Einzahlungsüberschüsse -5.000 2.000 3.000 1.000
Berechne den internen Zinsfuß i* mittels Linearer Interpolation!

Da es sich um eine Normalinvestition handelt, gibt es genau einen internen Zinsfuß i*. Man sieht, dass man mit einigen Versuchen für den Zins i schon recht nahe an $\ C_ 0 = 0 $ herankommt: so ist bei i = 10 % der Kapitalwert $\ C_0 = + 48,8355 $ €. Bei einem Zinssatz von 15 % hingegen ist der Kapitalwert negativ, konkret $\ C_0 = - 334,9223 $ €.

Merke

Bei einer Normalinvestition ist es so, dass für alle Kalkulationszinsen i mit steigendem Kalkulationszins i der Kapitalwert $\ C_0 $ sinkt (bei Nicht-Normalinvestitionen gilt dies nur in einzelnen Teilintervallen). Das liegt daran, dass die Alternative – nämlich die Anlage des Geldes auf der Bank statt in die Investition – immer besser wird bei steigenden Kalkulationszins i, die Investition damit immer schlechter.

Man hat im obigen Beispiel:

Interpolation des internen Zinsfußes
Abb. 4: Interpolation des internen Zinsfußes

Der Kalkulationszins $\ i_1 = 10 $ % liefert einen positiven Kapitalwert $\ C_0^1 = + 48,84 $ €, ein anderer Kalkulationszins, nämlich i = 15 %, hingegen schon einen negativen Kapitalwert von $\ C_0^2 = - 334,92 $ €. Der gesuchte interne Zinsfuß i* wird zwischen diesen beiden liegen.

Verbindet man die beiden Punkte, wie im Bild geschehen, zeichnet also die Sekante durch die beiden Punkte A und B, so bildet der Schnittpunkt dieser Sekante mit der Abszisse den Kalkulationszins $\ i_3 $. Dieser Zins $\ i_3 $ ist eine gute Approximation (= Annäherung) des wahren internen Zinsfußes i*. Man errechnet $\ i_3 $ mit der linearen Interpolationsformel.

Interpolationsformel

Merke

Interpolationsformel: $$\ i_3 = i_1 – { C^1_0 \cdot {i_2-i_1 \over c_0^2-c_0^1}}$$

Konkret im vorliegenden Beispiel damit

$\ i_3 = 0,1 – {48,8335 \cdot {0,15-0,1 \over -334,92-48,84}} = 0,1064 = 10,64 $ %.

Der Zinssatz von 10,64 % ist eine gute Annäherung des internen Zinsfußes i*, denn der zugehörige Kapitalwert ist $\ C_0 = -3,25 $, was sehr nahe bei dem eigentlich gewünschten $\ C_0 = 0 $ liegt. Wenn man hiermit noch nicht zufrieden ist, rechnet man das Schema mit diesem $\ i_3 $als neuem Zinssatz $\ i_2 $ – da $\ i_3 $ zu einem negativen Kapitalwert führte. Also

$\ i_3 = 0,1 – {48,8335 \cdot {0,1064-0,1 \over -3,25-48,84}} = 0,1060 = 10,6 $ %.

Diese Näherung ist noch besser als Approximation für den internen Zinsfuß geeignet, da $\ i^{neu}_3 $ bereits einen Kapitalwert von $\ C_0 = - 0,017 $ € liefert, mit also lediglich einer Abweichung von 2 Cents, d.h. 0,02 €, von 0 € entfernt.

Schema zur Linearen Interpolation

Das Vorgehen sei nochmals an einem Schema erläutert

Lineare Interpolation
1. Suche einen Kalkulationszins $\ i_1 $, der zu einem positiven Kapitalwert $\ C^1_0 $ führt. Dieser sollte möglichst klein sein, also recht nahe bei 0 liegen.
2. suche einen Kalkulationszins $\ i_2 $, der zu einem negativen Kapitalwert $\ C^2_0 $ führt. Auch dieser sollte sehr klein sein, d.h. möglichst nahe bei 0.
3. setze die beiden Zinssätze und die beiden Kapitalwerte in die Formel $\ i_3 = i_1 – C^1_0 · {i_2-i_1 \over c^2_0-c^1_0} $ ein.
4. erhalte den Kalkulationszins i 3 als Approximation für den internen Zinsfuß i*, d.h. $\ i_3 $ ? i*.
5. wenn man noch genauer rechnen möchte, geht man erneut mit $\ i_3 $ in die Formel aus Schritt 3, um eine bessere Approximation zu erhalten.

Folgendes Bild verdeutlicht nochmals das allgemeine Vorgehen.

Interpolation des internen Zinsfußes
Abb. 5: Allgemeines Vorgehen bei der linearen Interpolation

Merke

Es ist sehr wichtig, dass man i 1 als einen Zinssatz wählt, der einen positiven Kapitalwert $\ C^1_0 $ liefert. Dieser Zinssatz i 1 liegt damit „automatisch“ links von i 3 , der Approximation des internen Zinsfußes i*. Also: $\ i_1 0 $. Genauso wichtig ist es, dass $\ i_2 $ immer einen negativen Kapitalwert $C^2_0 $ ergibt. Dieser Zinssatz $\ i_2 $ liegt damit „automatisch“ rechts von i 3 , der Approximation des internen Zinsfußes i*. Also: $\ i_2 > i_3 $ und $\ C^2_0 > 0 $.

Beispiel

Beispiel 21:
Folgende Differenzzahlungsreihe der Investitionsprojekte A und B sei gegeben. Die Projekte A und B mögen sich gegenseitig ausschließen.
Jahr 0 1 2 3
Einzahlungsüberschuss        
Differenzzahlungsreihe A - B 500 -45 -45 -545
Wie hoch darf der Kapitalzins maximal sein, damit man als endvermögens-maximierender Investor die Basisalternative realisiert?

Die Antwort springt ins Auge: i = 9 %, denn dies ist der interne Zinsfuß der Differenzzahlungsreihe. Es liegt eine konstante Kapitalbindung vor, d.h. man rechnet leicht i = $\ {45 \over 500} $ = 0,09 = 9 % als internen Zinsfuß aus.

Wenn nun z.B. der Kalkulationszinsfuß bei 8 % liegt, ist der Kapitalwert

$\ C^{A-B}_0 = 500 + {-45 \over 1,08} $ + ... + $\ {-545 \over 1,08^3} = -12,89 $

d.h. B ist besser als A, denn der Kapitalwert ist negativ und es gilt $\ C^{A-B}_0 = C^A_0 – C^B_0 $
Rechnet man hingegen mit einem Kalkulationszins von i = 10 %, dann ist der Kapitalwert der Differenzinvestition.

$\ C^{A-B}_0 = 500 + {-45 \over 1,1} + {-45 \over 1,1^2} + {-545 \over 1,1^3} = 12,43 $ > 0, also

$\ C^{A-B}_0 = C^A_0 – C^B_0 > 0 $ , d.h. $\ C^A_0 > C^B_0 $ und daher ist A besser als B.

Video: Lineare Interpolation

Wichtig

Hinweis: Die Formel auf dem Whiteboard im Video ist falsch, denn der Kapitalwert fehlt. Richtig lautet die Interpolationsformel: $$\ i_3 = i_1 – { C^1_0 \cdot {i_2-i_1 \over c_0^2-c_0^1}}$$