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Investitionsrechnung - Lineare Interpolation

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Investitionsrechnung

Lineare Interpolation

Wie bereits angesprochen gibt es als Alternative zu dem newtonschen Verfahren noch die sogenannte Lineare Interpolation. Diese ist auch ein Näherungsverfahren bzw. somit auch ein approximatives Verfahren. 

Linearen Interpolation

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Beispiel 20:
Folgende Daten zu einer Investition liegen uns vor
Jahr t = 0 t = 1 t = 2 t = 3
Einzahlungsüberschüsse- 6.0002.4003.6001.200
Berechnung des Zinsfußes (i*) mittels der Linearen Interpolation

Da die Zahlungen lediglich einen Vorzeichenwechsel aufweisen, handelt es sich im eine Normalinvestition. Demzufolge liegt uns auch genau ein interner Zinsfuß zugrunde.

Nun kann man mithilfe einiger Schätzversuche einen Wert suchen, bei dem der Kapitalwert nahe 0 geht. Wird hier für i = 10 % eingesetzt, kommt man bei einem Wert von 97,671 raus. Für 15% ergibt sich bereits ein negativer Wert, nämlich - 669,8446.

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Im Falle von Normalinvestitionen ist es so, dass für alle steigenden Kalkulationszinsen i der Kapitalwert sinkt. 
Das ist durch den Fakt begründet, dass bei einem steigendem Kalkulationszins, die Anlage an der Bank auch dementsprechend mehr Geld mit sich bringt, die Investition jedoch (sofern diese die gleichen Zahlungsrückflüsse hat) stagniert. Somit sinkt der Kapitalwert, da die Differenz der Investitionsrückzahlungen und der Anlage an der Bank geringer wird, wenn der Kapitalwert vorher positiv war.

Bei Nicht-Normalinvestitonen ist dies nur bei Teilintervallen der Fall.

Veranschaulichung:

Bitte Beschreibung eingeben

Der Kalkulationszins mit 10 % bringt noch einen positiven Kapitalwert in Höhe von 97,671 € mit sich.

Steigt der Kalkulationszins auf 15 % ist der Kapitalwert mit - 669,8446 € bereits deutlich im negativen Bereich.

Resultierend ergibt sich daraus, dass der interne Zinsfuß i* zwischen diesen beiden Werten liegen wird.

Anwendung:

Diese beiden Punkte werden nun miteinander verbunden und die Sekante wird durch die Punkte A und B gezeichnet. Der Schnittpunkt der Sekante mit der Abszisse bildet den Kalkulationszins i3. Dieser Zinssatz wird nun mit der linearen Interpolation bestimmt.

Interpolationsformel

Merke

Interpolationsformel: $$\ i_3 = i_1 – { C^1_0 \cdot {i_2-i_1 \over c_0^2-c_0^1}}$$

Konkret im vorliegenden Beispiel:

$\ i_3 = 0,1 – {97,671 \cdot {0,15-0,1 \over -669,8446-97,671 }} = 0,1064 = 10,64 $ %.

Der Zinssatz von 10,64 % ist eine gute Annäherung des internen Zinsfußes i*, denn der zugehörige Kapitalwert ist $\ C_0 = -6,5 $, was sehr nahe bei dem eigentlich gewünschten $\ C_0 = 0 $ liegt. Wenn man hiermit noch nicht zufrieden ist, rechnet man das Schema mit diesem $\ i_3 $als neuem Zinssatz $\ i_2 $ – da $\ i_3 $ zu einem negativen Kapitalwert führte. Also

$\ i_3 = 0,1 – {97,671\cdot {0,1064-0,1 \over -6,5 -97,671 }} = 0,1060 = 10,6 $ %.

Diese Näherung ist noch besser als Approximation für den internen Zinsfuß geeignet, da $\ i^{neu}_3 $ bereits einen Kapitalwert von $\ C_0 = - 0,034 $ € liefert, mit also lediglich einer Abweichung von 3 Cents, d.h. 0,03 €, von 0 € entfernt.

Schema zur Linearen Interpolation

Expertentipp

Lineare Interpolation

Bestimmung zweier Zinsfüße:

  1. positiver Kapitalwert, aber nahe bei null i1
  2. negativer Kapitalwert, aber nahe bei null i2
  3. Einsetzen der beiden Werte in folgende Formel: $\ i_3 = i_1 – C^1_0 · {i_2-i_1 \over c^2_0-c^1_0} $
  4. Das Ergebnis ist die lineare Approximation für den internen Zinsfuß i3
  5. Bei Bedarf wird i3 erneut in Schritt 3 eingesetzt, um eine geeignetere Näherung zu bestimmen.

Grafische Erklärung

Lineare Interpolation
Abb5: Lineare Interpolation

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Es ist stets darauf zu achten, dass i1 ein Zinssatz mit einem positiven Kapitalwert C0 ist und i2 einen negativen aufweist, damit der ermittelte Zinsfuß i3 immer zwischen diesen beiden Punkten liegt.
Somit gilt:
$\ i_2 > i_3 $ und $\ C^2_0 > 0 $

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Beispiel 21:
Differenzzahlungsreihe zweier Projekte A und B. Diese schließen sich gegenseitig aus.
Jahr 0 1 2 3
Einzahlungsüberschuss    
Differenzzahlungsreihe A - B600-54-54-654
Wie hoch darf der Kapitalzins höchstens sein, wenn der Investor mit endvermögens-maximierender Intention die Basisalternative realisiert?

Hier wird der interne Zinsfuß der Differenzzahlungsreihe bestimmt. Dieser lautet 9 % und ist damit auch die Antwort, da eine konstante Kapitalbindung vorliegt:

$\ {54 \over 600} $ = 0,09. 

Wenn nun z.B. der Kalkulationszinsfuß bei 8 % liegt, ist der Kapitalwert

$\ C^{A-B}_0 = 600 + {-54 \over 1,08} $ + ... + $\ {-654 \over 1,08^3} = -15,47$

d.h. B ist besser als A, denn der Kapitalwert ist negativ und es gilt $\ C^{A-B}_0 = C^A_0 – C^B_0 $
Rechnet man hingegen mit einem Kalkulationszins von i = 10 %, dann ist der Kapitalwert der Differenzinvestition.

$\ C^{A-B}_0 = 600 + {-54 \over 1,1} + {-54 \over 1,1^2} + {-654 \over 1,1^3} = 14,92$ > 0, also

$\ C^{A-B}_0 = C^A_0 – C^B_0 > 0 $ , d.h. $\ C^A_0 > C^B_0 $ und daher ist A besser als B.