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Investitionsrechnung

Kapitalwertmethode

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Statt wie bei der Endwertmethode Einzahlungsüberschüsse auf das Ende der Laufzeit aufzuzinsen, werden diese nach der Kapitalwertmethode auf den Beginn der Laufzeit heruntergerechnet, d.h. abgezinst.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Bei der Kapitalwertmethode wird abgezinst. Mit anderen Worten stellt man sich die Frage: wie viel sind die Gewinne aus der Investition am Anfang der Laufzeit wert?

Dieses Vorgehen führt auf dem vollkommenen Kapitalmarkt zu dem so genannten Kapitalwert.

Formel zur Berechnung des Kapitalwerts

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Kapitalwert $$\ C_0 = \sum_{t=0}^{n}{E_t-A_t \over (1+i)^t}= \sum_{t=0}^{n}(E_t-A_t) \cdot (1+i)^{-t} $$


Beispiel zur Berechnung des Kapitalwerts

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 10:
Zur Erinnerung der Sachverhalt aus Beispiel 8 :
Dem A wird folgende Investition angeboten: Anfangsauszahlung heute 800 €, 1.840 € Einzahlung ein Jahr später, Auszahlung zum Schluss 1.056 €. Gerechnet wird mit einem Kalkulationszins von 5 %.

Berechne im vorliegenden Beispiel den Kapitalwert!

Man rechnet also

$\ C_0 = -800 + 1.840 \cdot 1,05^-1 – 1.056 \cdot 1,05^-2 = -5,44 $.

Als Einzelentscheidung führt man eine Investition genau dann durch, wenn ihr Kapitalwert echt größer als null ist:

$\ C_0 > 0 \ldots $ Investition vorteilhaft
$\ C_0 < 0 \ldots $ Investition ist nachteilhaft
Für die Auswahlentscheidung bei mehreren Alternativen gilt:

$\ C^A_0 > C^B_0 \ldots $ A ist besser als B

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 11:
Berechne die Kapitalwerte der Investitionen $\ I_1,\ I_2 $ und $\ I_3 $ bei einem Kalkulationszins von $11 %$!

Die folgende Tabelle enthält die jeweiligen Kapitalwerte. Die Endwerte hatten wir weiter oben ausgerechnet.

Wir sehen hier die Äquivalenz des Kapitalwerts und des Endwerts, denn beide haben klarerweise dasselbe Vorzeichen:

Investition Kapitalwert $\ C_0 $ Endwert $\ C_n $
$\ I_1 $-747,59-921,1
$\ I_2 $233,11318,81
$\ I_3 $-4,5-5


Tab. 8: Vergleich von Endwert und Kapitalwert

Zinseszinsformel

Dies liegt an der Zinseszinsformel:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Zinseszinsformel $\ C_n = C_0 \cdot (1 + i)^n $

Der Endwert Cn ist damit nichts anderes als der aufgezinste Kapitalwert $\ C_0 $. Wir rechnen die Zinseszinsformel am Beispiel nach:

Investition 1: $\ -747,59 \cdot 1,11^2 = -921,10 $,
Investition 2: $\ 233,11 \cdot 1,11^3 = 318,81 $ und
Investition 3: $\ -4,5 \cdot 1,11^1 = -5 $.
Man kann damit die Endwerte aus den Kapitalwerten berechnen und die Kapitalwerte aus den Endwerten.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Die Vorteilhaftigkeitsaussagen des Kapitalwerts und des Endwerts ein- und derselben Investition sind vollkommen gleich: $\ C_n \geq 0 \Leftrightarrow C_0 \geq 0 $. Wenn der eine Wert größer oder gleich Null ist, dann ist es der andere auch – und umgekehrt. Die Vorteilhaftigkeitsaussagen sind also vollkommen identisch.
Es ist vollkommen identisch, ob zwei Investitionen dadurch verglichen werden, dass sie
  • auf den Zeitpunkt $t = 0$ abgezinst werden,
  • oder dadurch, dass sie auf den Zeitpunkt $t = n$ aufgezinst werden.
Mit dem Kapitalwert lassen sich auch Auswahlentscheidungen treffen, d.h. man kann mehrere Investitionen miteinander vergleichen.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 12: Gegeben seien die beiden folgenden Investitionen. Der Kalkulationszins sei $9 %$.
Jahr 0 1 2 3
Zahlungsreihe A-1000800300400
Zahlungsreihe B-1000300800200

Vergleiche die beiden Investitionen anhand ihrer Kapitalwerte!

Es ist $\ C^A_0 = -1.000 + {800 \over 1,09}+ {300 \over 1,09^2}+ {400 \over 1,09^3}=295,32 $ , ebenso
$\ C^B_0 = -1.000 + {300 \over 1,09}+{800 \over 1,09^2}+{200 \over 1,09^3}=103,01 $.

Offensichtlich erwirtschaftet die erste Investition den höheren Kapitalwert. Dies liegt daran, dass die Zahlungen früher rein fließen (die 800 € erscheinen bei A schon in $t = 1$ statt erst in $t = 2$ wie bei Investition B) und außerdem in $t = 3$ der Rückfluss höher ist.

Man kann sich die Frage nach den Unterschieden in den beiden Zahlungsreihen stellen, wir reden über die so genannte Differenzinvestition A - B. Hierbei ist die Investition B die so genannte Basisinvestition (bei der Differenzinvestition B - A wäre A die Basisinvestition).

Zahlungsreihe der Differenzinvestition 

Die Zahlungsreihe von A - B ist

Jahr 0 1 2 3
Zahlungsreihe Differenzinvestition A - B0500-500200


Tab. 9: Zahlungsreihe Differenzinvestition A - B

Der Kapitalwert dieser Zahlungsreihe liegt bei $\ C_0^{A - B} = 192,31\ € $. Er entspricht damit der Differenz der Kapitalwerte der einzelnen Investitionen, d.h. $\ C^A_0 - C^B_0 = 295,32 - 103,01 = 192,31\ € $.


Kapitalwert der Differenzinvestition

Der Kapitalwert der Differenzinvestition A-B, also $\ C_0^{A - B} $, ist gleich der Differenz der einzelnen Kapitalwerte $\ C^A_0 $ und $\ C^B_0 $, d.h. es gilt $\ C_0^{A – B} = C^A_0 - C^B_0 $.

Wir benötigen im folgenden den Begriff der so genannten Normalinvestition, der speziell für den internen Zinsfuß $\ i^* $ sehr wichtig ist.

Eine Normalinvestition liegt vor, wenn am Anfang lediglich Auszahlungen erfolgen und irgendwann nur noch Einzahlungsüberschüsse reinfließen. Es findet somit in der Zahlungsreihe genau ein Vorzeichenwechsel statt.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 13:

Jahr 0 1 2 3 4 5 Normalinvestition?
I1-500-30010100505ja
I2-300103040--ja
I3-1001-2010030-nein
I4-50100100100100-10nein


Tab. 10: Normalinvestitionen und Nicht-Normalinvestitionen

Die erste und die zweite Investition, also $\ I_1 $ und $\ I_2 $, sind Normalinvestitionen, da genau ein Vorzeichenwechsel von „-“ nach „+“ stattfindet, die letzten beiden hingegen, also $\ I_3 $ und $\ I_4 $, sind Nicht-Normalinvestitionen, da zwei Vorzeichenwechsel passieren. Es existiert außerdem der Begriff der regulären Investition:

Eine reguläre Investition ist dadurch gekennzeichnet, dass die kumulierte Zahlungsreihe genau einen Vorzeichenwechsel aufweist.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 14:
Entscheide, ob folgende Investition regulär ist:
Jahr 0 1 2 3 4
Einzahlungsüberschuss-150100-50200-30
Kumulierte Einzahlungsüberschüsse-150-50-10010070

Man sieht, dass die Investition keine Normalinvestition ist, denn die (unkumulierte) Zahlungsreihe hat mehr als einen Vorzeichenwechsel (nämlich genau vier). Lediglich die kumulierte Zahlungsreihe wechselt genau einmal ihr Vorzeichen, nämlich von der dritten zur vierten Periode.

Wenn hingegen die (unkumulierte) Zahlungsreihe lediglich einen Vorzeichenwechsel besitzt, so verfügt die kumulierte Zahlungsreihe höchstens einen Vorzeichenwechsel:

Jahr 0 1 2 3 4
Einzahlungsüberschuss-150-10050300100
Kumulierte Einzahlungsüberschüsse-150-250-200100200

Tab. 11: Unkumulierte und kumulierte Zahlungsreihe bei Normalinvestition

Sie könnte auch keinen Vorzeichenwechsel aufweisen:

Jahr 0 1 2 3 4
Einzahlungsüberschuss-20020304060
Kumulierte Einzahlungsüberschüsse-200-180-150-110-50


Tab. 12: Kumulierte Zahlungsreihe hat keinen Vorzeichenwechsel

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Jede Normalinvestition ist regulär oder besitzt keinen Vorzeichenwechsel, aber nicht jede reguläre Investition ist eine Normalinvestition.

Video zur Kapitalwertmethode

Video: Kapitalwertmethode