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Berechnung des optimalen Ersatzzeitpunkts
Stellt man dich die Frage nach dem optimalen Ersatzzeitpunkt, ist die Altanlage schon gekauft worden. Somit ist die Entscheidung zu treffen, zu welchem Zeitpunkt es sinnvoll ist, die alte Anlage durch eine neue zu ersetzen. Für diese Entscheidung gibt es zwei Methoden, diese Fragestellung zu lösen:
- Kostenvergleichsmethode
- Kapitalwertmethode
Diese Ansätze sind allerdings nicht äquivalent zu nutzen, sondern deren Anwendung ist von der Aufgabenstellung abhängig.
Optimaler Ersatzzeitpunkt - Kostenvergleichsmethode
Es sei also schon eine Anlage vorhanden, welche gegebenenfalls durch eine neue Ersatzanlage ausgetauscht werden soll.
Es stellt sich also die Frage, ob die alte Anlage sofort durch eine Neue erstetzt, oder noch ein weiteres Jahr betrieben werden sollte. Um diese Frage zu beantworten vergleicht man die Grenzkosten bei Weiterbetrieb der Altanlage mit den Durchschnittskosten bei Inbetriebnahme der Ersatzanlage. Wie können diese Kosten nun ausgerechnet werden?
Die Grenzkosten bei Weiterbetrieb der Altanlage errechnet man aus folgenden Positionen:
Merke
Grenzkosten bei Weiterbetrieb der Anlage:
Differenz der Liquidationserlöse bei nicht Ersatz der Altanlage
+ kalkulatorische Zinsen bei Nichtersatz der Altanlage
+ fixe Betriebskosten
+ variable Kosten
= Grenzkosten bei Weiterbetrieb der Altanlage
Dazu noch einige Erläuterungen. Wird die Anlage nicht sofort verkauft, so verzichtet man auf den Liquidationserlös aus der betrachteten Periode und erhält nur geringeren aus der Vergleichsperiode. Daher ist es wichtig die Differenz der beiden Liquidationserlöse auszurechen, damit man weiß, wie hoch der Betrag ist, auf den man verzichtet, wenn man mit dem Verkauf noch eine weitere Periode wartet. Zudem kommen die kalkulatorischen Zinsen, wenn die Altanlage nicht ersetzt wird, durch das darin gebundene Kapital, also auf den Liquidationserlös zu Beginn der Vergleichsperiode. Die Fixkosten der Vergleichsperiode werden mit hinzu addiert. Die variablen Kosten erhält man durch die Multiplikation der variablen Stückkosten mit den für die betrachtete Periode geplanten variablen Stückkosten.
Rechnet man alles diese Faktoren zusammen, so erhält man die Grenzkosten der Altanlage, sollte diese eine weitere Periode betrieben wird.
Die Durchschnittskosten bei Inbetriebnahme der neuen Anlage berechnen sich wie folgt:
Merke
Durchschnittskosten bei Inbetriebnahme der neuen Anlage
Abschreibung der neuen Anlage
+ kalkulatorische Zinsen
+ Fixkosten
+ variable Kosten
= Durchschnittskosten bei Inbetriebnahme der neuen Anlage
Die Abschreibung der neuen Anlage erhält man durch die übliche Formel bei linearer Abschreibung, also:
$\ Ab_t = {AK-RBW_n \over n} $.
Die kalkulatorischen Zinsen werden berechnet auf das gebundene Kapital der neuen Anlage.
Merke
Entscheidungsregel: Ersetze die Altanlage sofort, wenn
die Grenzkosten bei Weiterbetrieb der Altanlage > Durchschnittskosten der neuen Anlage.
Das folgende Beispiel erhellt die Situation.
Beispiel
Beispiel 27:
Relevante Daten | Altanlage | Neue Anlage |
Anschaffungskosten | 250.000 | 400.000 |
durchschnittlicher Kapitaleinsatz | 150.000 | |
geplante Nutzungsdauer | 6 Jahre | 6 Jahre |
Rechnungsdauer der Altanlage | 2 Jahre | |
geplante Produktionsmenge der Periode | 150.000 ME | 250.000 ME |
Liquidationserlös zu Beginn der Vergleichsperiode | 50.000 | |
Liquidationserlös am Ende der Vergleichsperiode | 35.000 |
Kalkulationszins i = 10 %.
Grenzkosten bei Weiterbetrieb der Altanlage
Merke
Differenz der Liquidationserlöse bei nicht Ersatz der Altanlage:
+ kalkulatorische Zinsen bei Nichtersatz der Altanlage
+ fixe Betriebskosten
+ variable Kosten
= Grenzkosten bei Weiterbetrieb der Altanlage
Positionen | Rechnung | Ergebnis | |
Differenz der Liquidationserlöse: | 50.000 - 35.000 | = | 15.000 |
kalkulatorische Zinsen: | 50.000 · 0,1 | = | 5.000 |
fixe Betriebskosten: | = | 25.000 | |
variable Kosten: | 150.000 · 0,15 | = | 22.500 |
Grenzkosten bei Weiterbetrieb: | = | 67.500 |
Tab. 31: Berechnung der Grenzkosten
Durchschnittskosten der neuen Anlage
Die Durchschnittskosten der neuen Anlage errechnet man ebenfalls nach dem oben genannten Schema:
Positionen | Rechnung | Ergebnis | |
Abschreibung der neuen Anlage: | 420.000 ÷ 6 | = | 70.000 |
kalkulatorische Zinsen: | 150.000 · 0,1 | = | 15.000 |
fixe Betriebskosten: | = | 10.000 | |
variable Kosten: | 250.000 · 0,05 | = | 12.500 |
Durchschnittskosten der neuen Anlage: | = | 107.500 |
Tab. 32: Berechnung der Durchschnittskosten
Für diesen Fall ist also der Weiterbetrieb der Altanlage für eine weitere Periode vorteilhafter, als diese sofort zu ersetzen. Diese Entscheidung kann jedoch in der folgenden Periode schon anders aussehen, da die Zahlen dann unter Umständen andere sind.
Optimaler Ersatzzeitpunkt - Kapitalwertmethode
Auch im Rahmen der Berechnung des optimalen Ersatzzeitpunkts nach der Kapitalwertmethode betrachten wir wieder Erst- und Folgeinvestitionen. Das Vorgehen ist z.T. davon abhängig, ob die Folgeinvestition unendlich häufig durchgeführt wird oder nicht.
Methode
Schema zur Ermittlung des optimalen Ersatzzeitpunkts
- Wie oft wird die Folgeinvestition durchgeführt?
- endlich oft
→ verwende den Kapitalwert der Folgeinvestition (bzw. der Kette der Folgeinvestitionen) - unendlich oft
→ verwende die Annuität der Folgeinvestition
- endlich oft
- Stelle eine Tabelle auf, in der zeilenweise die Ersatzzeitpunkte der Altanlage stehen und in den Spalten die Zeitpunkte. Im letzten Nutzungsjahr der Altanlage, d.h. im Ersatzzeitpunkt, schreibt man zusätzlich den Liquidationserlös hin.
- Anschließend schreibe
- bei endlich häufiger Durchführung der Folgeinvestition den Kapitalwert
- bei unendlich häufiger Durchführung der Folgeinvestition deren Annuität hin.
- Berechne zeilenweise die Kapitalwerte
beachte dabei, dass im Fall der unendlich häufigen Durchführung der Folgeinvestition mit der Formel der ewigen Rente zu rechnen ist.
Das besagte Gitter hat folgende Gestalt:
0 | 1 | 2 | 3 | ... | n | n + 1 | n + 2 | n + 3 | Kapitalwert | |
I = 0 | ||||||||||
I = 1 | ||||||||||
I = 2 | ||||||||||
I = 3 | ||||||||||
I = 4 |
Tab. 33: Optimaler Ersatzzeitpunkt mit Kapitalwertmethode
Am linken Rand stehen mit I = 0, I = 1, usw. die möglichen Ersetzungszeitpunkte der Altanlage. Man schreibt in die Perioden 0,1,2,... ,n die Zahlungsreihen der Altanlage beim Ersatz in der jeweiligen Periode und fügt danach die Annuität der Ersatzanlage an (bzw. den Kapitalwert der Folgeinvestition bei nur endlich häufiger Wiederholung der Folgeinvestition). Somit entsteht zeilenweise die Investitionskette aus der Altanlage und der Ersatzanlage. Am rechten Rand wird der Kapitalwert dieser Investitionskette berechnet, der maximale Kapitalwert gibt $\ i^* $, den optimalen Ersatzzeitpunkt der Altanlage $\ I^* $ an.
Beispiel
Beispiel 28:
Die Schneider GmbH bestimmt im Zeitpunkt 0 die Optimale Nutzungsdauer deren Fertigungsanlage. Die maximale Restnutzungsdauer liegt bei fünf Perioden. Folgende Daten sind vorhanden:
Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Zahlungsreihe | 200 | 600 | 450 | 350 | 250 | 50 |
Liquidationserlöse | 1.000 | 700 | 550 | 350 | 200 | 100 |
- Bestimme die optimale Nutzungsdauer der Fertigungsanlage. Der Kapitalmarktzins liege bei 10 %.
- Die Schneider GmbH entschließt sich, die bestehende Anlage durch eine neue unendlich häufig zu ersetzen, welche eine Annuität von 250 € besitzt. Wann ist der optimale Zeitpunkt, die alte Anlage auszutauschen?
Optimale Nutzungsdauer
a. Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer
Nutzungsdauer | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Kapitalwert |
n = 0 | 1.200 | 1.200,00 | |||||
n = 1 | 200 | 1.300 | 1.381,82 | ||||
n = 2 | 200 | 600 | 1.000 | 1.571,90 | |||
n = 3 | 200 | 600 | 450 | 700 | 1.643,28 | ||
n = 4 | 200 | 600 | 450 | 350 | 450 | 1.687,67 | |
n = 5 | 200 | 600 | 450 | 350 | 250 | 150 | 1.644,20 |
Über die Methode der Grenzeinzahlungsüberschüsse erhalten wird das gleiche Ergebnis:
Jahr | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Entgangener Liquidationserlös | 300 | 250 | 200 | 150 | 100 |
Entgangener Zinsgewinn | 100 | 70 | 55 | 35 | 20 |
Kosten der Verlängerung um eine Periode | 400 | 320 | 255 | 185 | 120 |
Einzahlungsüberschuss der Folgeperiode | 600 | 450 | 350 | 200 | 100 |
Sollte verlängert werden? | in t = 0: ja | in t = 1: ja | in t = 2: ja | in t = 3: ja | in t = 4: nein |
Optimal ist es also, die bestehende Anlage noch $\ n^*=4 $ Jahre weiter zu nutzen.
Optimaler Ersatzzeitpunkt
b. Bestimmung des optimalen Ersatzzeitpunkts für die Folgeinvestition rechnet man mit der Kapitalwertmethode:
Ersetzungszeitpunkt | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | $\ \ldots $ | Kapitalwert |
I = 0 | 1.200 | 250 | 250 | 250 | 250 | 250 | 250 | 3.700 |
I = 1 | 200 | 1.300 | 250 | 250 | 250 | 250 | 250 | 3.654,55 |
I = 2 | 200 | 600 | 1.000 | 250 | 250 | 250 | 250 | 3.638,02 |
I = 3 | 200 | 600 | 450 | 700 | 250 | 250 | 250 | 3.521,56 |
I = 4 | 200 | 600 | 450 | 350 | 450 | 250 | 250 | 3.395,21 |
I = 5 | 200 | 600 | 450 | 350 | 250 | 150 | 250 | 3.196,51 |
Also ist es optimal, die Anlage im Zeitpunkt I = 0 zu ersetzen und ab der Folgeperiode die Alternativanlage unendlich häufig zu nutzen.
Berechnung der Kapitalwerte
Man rechnet die Kapitalwerte folgendermaßen aus:
$\ C_0 = 1.200 + {250 \over 0,1} = 3.700$, wenn in I = 0, also sofort ersetzt wird bzw.
$\ C_0 = 200 + {1.300\over 1,08} + {{250\over 0,1} \over {1,1^1}}= 3.654,55 $
$\ C_0 = 200 + {600\over 1,08} + {1.000\over {1,08^2}} + {{250\over 0,1} \over {1,1^2}}= 3.638,02$
Es wird zunächst der Barwert der ewigen Rente bestimmt (indem man ${{250}\over {0,1}}$ kalkuliert). Dieses Geld muss dann noch in die nullte Periode transformiert werden (durch $\ 1,08^{1} $ teilen).
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