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Kursangebot | Investitionsrechnung | Optimaler Ersatzzeitpunkt

Investitionsrechnung

Optimaler Ersatzzeitpunkt

Berechnung des optimalen Ersatzzeitpunkts

Stellt man dich die Frage nach dem optimalen Ersatzzeitpunkt, ist die Altanlage schon gekauft worden. Somit ist die Entscheidung zu treffen, zu welchem Zeitpunkt es sinnvoll ist, die alte Anlage durch eine neue zu ersetzen. Für diese Entscheidung gibt es zwei Methoden, diese Fragestellung zu lösen:

  1. Kostenvergleichsmethode
  2. Kapitalwertmethode

Diese Ansätze sind allerdings nicht äquivalent zu nutzen, sondern deren Anwendung ist von der Aufgabenstellung abhängig.

 

Optimaler Ersatzzeitpunkt - Kostenvergleichsmethode 

Es sei also schon eine Anlage vorhanden, welche gegebenenfalls durch eine neue Ersatzanlage ausgetauscht werden soll.

Es stellt sich also die Frage, ob die alte Anlage sofort durch eine Neue erstetzt, oder noch ein weiteres Jahr betrieben werden sollte. Um diese Frage zu beantworten vergleicht man die Grenzkosten bei Weiterbetrieb der Altanlage mit den Durchschnittskosten bei Inbetriebnahme der Ersatzanlage. Wie können diese Kosten nun ausgerechnet werden?

Die Grenzkosten bei Weiterbetrieb der Altanlage errechnet man aus folgenden Positionen:

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Grenzkosten bei Weiterbetrieb der Anlage:

Differenz der Liquidationserlöse bei nicht Ersatz der Altanlage
+ kalkulatorische Zinsen bei Nichtersatz der Altanlage
+ fixe Betriebskosten
+ variable Kosten
= Grenzkosten bei Weiterbetrieb der Altanlage

Dazu noch einige Erläuterungen. Wird die Anlage nicht sofort verkauft, so verzichtet man auf den Liquidationserlös aus der betrachteten Periode und erhält nur geringeren aus der Vergleichsperiode. Daher ist es wichtig die Differenz der beiden Liquidationserlöse auszurechen, damit man weiß, wie hoch der Betrag ist, auf den man verzichtet, wenn man mit dem Verkauf noch eine weitere Periode wartet. Zudem kommen die kalkulatorischen Zinsen, wenn die Altanlage nicht ersetzt wird, durch das darin gebundene Kapital, also auf den Liquidationserlös zu Beginn der Vergleichsperiode. Die Fixkosten der Vergleichsperiode werden mit hinzu addiert. Die variablen Kosten erhält man durch die Multiplikation der variablen Stückkosten mit den für die betrachtete Periode geplanten variablen Stückkosten.
Rechnet man alles diese Faktoren zusammen, so erhält man die Grenzkosten der Altanlage, sollte diese eine weitere Periode betrieben wird.

Die Durchschnittskosten bei Inbetriebnahme der neuen Anlage berechnen sich wie folgt:

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Durchschnittskosten bei Inbetriebnahme der neuen Anlage

Abschreibung der neuen Anlage
+ kalkulatorische Zinsen
+ Fixkosten
+ variable Kosten
= Durchschnittskosten bei Inbetriebnahme der neuen Anlage

Die Abschreibung der neuen Anlage erhält man durch die übliche Formel bei linearer Abschreibung, also:

$\ Ab_t = {AK-RBW_n \over n} $.

Die kalkulatorischen Zinsen werden berechnet auf das gebundene Kapital der neuen Anlage.

 

Merke

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Entscheidungsregel: Ersetze die Altanlage sofort, wenn

die Grenzkosten bei Weiterbetrieb der Altanlage > Durchschnittskosten der neuen Anlage.

Das folgende Beispiel erhellt die Situation.

Beispiel

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Beispiel 27:

Relevante DatenAltanlage Neue Anlage
Anschaffungskosten250.000400.000
durchschnittlicher Kapitaleinsatz 150.000
geplante Nutzungsdauer6 Jahre6 Jahre
Rechnungsdauer der Altanlage2 Jahre 
geplante Produktionsmenge der Periode150.000 ME250.000 ME
Liquidationserlös zu Beginn der Vergleichsperiode50.000 
Liquidationserlös am Ende der Vergleichsperiode35.000 

Kalkulationszins i = 10 %.

Grenzkosten bei Weiterbetrieb der Altanlage

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Differenz der Liquidationserlöse bei nicht Ersatz der Altanlage:
+ kalkulatorische Zinsen bei Nichtersatz der Altanlage
+ fixe Betriebskosten
+ variable Kosten
= Grenzkosten bei Weiterbetrieb der Altanlage

PositionenRechnung Ergebnis
Differenz der Liquidationserlöse:50.000 - 35.000=15.000
kalkulatorische Zinsen:50.000 · 0,1=5.000
fixe Betriebskosten: =25.000
variable Kosten:150.000 · 0,15=22.500
Grenzkosten bei Weiterbetrieb: =67.500

Tab. 31: Berechnung der Grenzkosten

Durchschnittskosten der neuen Anlage

Die Durchschnittskosten der neuen Anlage errechnet man ebenfalls nach dem oben genannten Schema:

Positionen Rechnung  Ergebnis
Abschreibung der neuen Anlage:420.000 ÷ 6=70.000
kalkulatorische Zinsen:150.000 · 0,1=15.000
fixe Betriebskosten: =10.000
variable Kosten: 250.000 · 0,05=12.500
Durchschnittskosten der neuen Anlage: =107.500

Tab. 32: Berechnung der Durchschnittskosten

Für diesen Fall ist also der Weiterbetrieb der Altanlage für eine weitere Periode vorteilhafter, als diese sofort zu ersetzen. Diese Entscheidung kann jedoch in der folgenden Periode schon anders aussehen, da die Zahlen dann unter Umständen andere sind.

 

Optimaler Ersatzzeitpunkt - Kapitalwertmethode

Auch im Rahmen der Berechnung des optimalen Ersatzzeitpunkts nach der Kapitalwertmethode betrachten wir wieder Erst- und Folgeinvestitionen. Das Vorgehen ist z.T. davon abhängig, ob die Folgeinvestition unendlich häufig durchgeführt wird oder nicht.

Methode

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Schema zur Ermittlung des optimalen Ersatzzeitpunkts

  1. Wie oft wird die Folgeinvestition durchgeführt?
    • endlich oft
      → verwende den Kapitalwert der Folgeinvestition (bzw. der Kette der Folgeinvestitionen)
    • unendlich oft
      → verwende die Annuität der Folgeinvestition

  2. Stelle eine Tabelle auf, in der zeilenweise die Ersatzzeitpunkte der Altanlage stehen und in den Spalten die Zeitpunkte. Im letzten Nutzungsjahr der Altanlage, d.h. im Ersatzzeitpunkt, schreibt man zusätzlich den Liquidationserlös hin.

  3. Anschließend schreibe
    • bei endlich häufiger Durchführung der Folgeinvestition den Kapitalwert
    • bei unendlich häufiger Durchführung der Folgeinvestition deren Annuität hin.

  4. Berechne zeilenweise die Kapitalwerte
    beachte dabei, dass im Fall der unendlich häufigen Durchführung der Folgeinvestition mit der Formel der ewigen Rente zu rechnen ist.

 

Das besagte Gitter hat folgende Gestalt:

  0 1 2 3... n n + 1 n + 2 n + 3 Kapitalwert
I = 0          
I = 1          
I = 2          
I = 3          
I = 4          

Tab. 33: Optimaler Ersatzzeitpunkt mit Kapitalwertmethode

Am linken Rand stehen mit I = 0, I = 1, usw. die möglichen Ersetzungszeitpunkte der Altanlage. Man schreibt in die Perioden 0,1,2,... ,n  die Zahlungsreihen der Altanlage beim Ersatz in der jeweiligen Periode und fügt danach die Annuität der Ersatzanlage an (bzw. den Kapitalwert der Folgeinvestition bei nur endlich häufiger Wiederholung der Folgeinvestition). Somit entsteht zeilenweise die Investitionskette aus der Altanlage und der Ersatzanlage. Am rechten Rand wird der Kapitalwert dieser Investitionskette berechnet, der maximale Kapitalwert gibt $\ i^* $, den optimalen Ersatzzeitpunkt der Altanlage $\ I^* $ an.

Beispiel

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Beispiel 28:

Die Schneider GmbH bestimmt im Zeitpunkt 0 die Optimale Nutzungsdauer deren Fertigungsanlage. Die maximale Restnutzungsdauer liegt bei fünf Perioden. Folgende Daten sind vorhanden:

Jahr012345
Zahlungsreihe20060045035025050
Liquidationserlöse1.000700550350200100
  1. Bestimme die optimale Nutzungsdauer der Fertigungsanlage. Der Kapitalmarktzins liege bei 10 %.
  2. Die Schneider GmbH entschließt sich, die bestehende Anlage durch eine neue unendlich häufig zu ersetzen, welche eine Annuität von 250 € besitzt. Wann ist der optimale Zeitpunkt, die alte Anlage auszutauschen?

 

Optimale Nutzungsdauer

a. Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer

Nutzungsdauer 0 1 2 3 45 Kapitalwert
n = 01.200     1.200,00
n = 12001.300    1.381,82
n = 22006001.000   1.571,90
n = 3200600450700  1.643,28
n = 4200600450350450 1.687,67
n = 52006004503502501501.644,20

Über die Methode der Grenzeinzahlungsüberschüsse erhalten wird das gleiche Ergebnis:

Jahr 1 2 3 45
Entgangener Liquidationserlös300250200150100
Entgangener Zinsgewinn10070553520
Kosten der Verlängerung um eine Periode400320255185120
Einzahlungsüberschuss der Folgeperiode600450350200100
Sollte verlängert werden? in t = 0: ja in t = 1: ja in t = 2: ja in t = 3: ja in t = 4: nein

Optimal ist es also, die bestehende Anlage noch $\ n^*=4 $ Jahre weiter zu nutzen.

Optimaler Ersatzzeitpunkt

b. Bestimmung des optimalen Ersatzzeitpunkts für die Folgeinvestition rechnet man mit der Kapitalwertmethode:

Ersetzungszeitpunkt 0 1 2 3 45 $\ \ldots $ Kapitalwert
I = 01.2002502502502502502503.700
I = 12001.3002502502502502503.654,55
I = 22006001.0002502502502503.638,02
I = 32006004507002502502503.521,56
I = 42006004503504502502503.395,21
I = 52006004503502501502503.196,51

Also ist es optimal, die Anlage im Zeitpunkt I = 0 zu ersetzen und ab der Folgeperiode die Alternativanlage unendlich häufig zu nutzen.

Berechnung der Kapitalwerte

Man rechnet die Kapitalwerte folgendermaßen aus:

$\ C_0 = 1.200 + {250 \over 0,1} = 3.700$, wenn in I = 0, also sofort ersetzt wird bzw.

$\ C_0 = 200 + {1.300\over 1,08} + {{250\over 0,1} \over {1,1^1}}= 3.654,55 $

$\ C_0 = 200 + {600\over 1,08} + {1.000\over {1,08^2}} + {{250\over 0,1} \over {1,1^2}}= 3.638,02$

Es wird zunächst der Barwert der ewigen Rente bestimmt (indem man ${{250}\over {0,1}}$ kalkuliert). Dieses Geld muss dann noch in die nullte Periode transformiert werden (durch $\ 1,08^{1} $ teilen).