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Investitionsrechnung - Berechnung des Kapitalwerts mit Effektivrenditen

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Investitionsrechnung

Berechnung des Kapitalwerts mit Effektivrenditen

Der im letzten Abschnitt gefundene Zerobondabzinsfaktor beantwortete die Frage, wie viel 1 Euro der $t = n$. Periode unter Zugrundelegung der heute gültigen Geld- und Kapitalmarktzinsstruktur heute, also in $t = 0$, wert ist. Diese Frage lässt sich nun aber auch umkehren.

Frage : mit welchem einperiodigen Zinssatz $\ v_n $ muss man den Zerobondabzinsfaktor $\ ZBAF_{0,n} $ aufzinsen (und zwar n Perioden lang), damit er den gewünschten 1 Euro in der n. Periode ergibt?
Antwort : mit dem Effektivzins $\ v_n $, der sich durch die Formel $\ V_n = \sqrt[n]{1 \over ZBAF_{0,n}} $ ergibt.

Das Kalkül ist deswegen richtig, da der Betrag $\ ZBAF_{0,n} $ angelegt wird zum Zins von vn und dann n Jahre lang zinseszinslich verzinst wird. Man wendet daher die Zinseszinsformel $\ C_n = C_0 (1 + i)^n $ an und setzt ein: $\ 1 = ZBAF_{0,n} (1 + v_n)^n $. Dies löst man dann nach $\ v_n $ auf und erhält die o.e. Formel.

Beispiel zur Berechnung des Kapitalwerts mit Effektivrenditen

Beispiel

Beispiel 37:
Gegeben sei wieder eine bereits erweiterte Zinsstruktur:
Laufzeit der Geschäfte Geld- und Kapitalmarktzinsen
für einjährige Geldanlagen oder Kredite 0,05
für zweijährige Geldanlagen oder Kredite 0,06
für dreijährige Geldanlagen oder Kredite 0,07
für vierjährige Geldanlagen oder Kredite 0,08
Berechne für die damit angebbaren Zerobondabzinsfaktoren die einperiodigen Effektivzinsen. Rechne damit auch den Kapitalwert der Investition aus, die gegeben ist durch $\ A_0 = -1.000,\ E_1 = 800,\ E_2 = 200,\ A_3 = - 300,\ E_4 = 2.000 € $.

Zerobondabzinsfaktoren

Die Zerobondabzinsfaktoren hatten wir oben ermittelt:

$\ ZBAF_{0,1} = 0,9529,\ ZBAF_{0,2} = 0,8895,\ ZBAF_{0,3} = 0,8141,\ ZBAF_{0,4} = 0,7292 $. Damit lässt sich z.B. der einperiode Effektivzins für t = 2 ermitteln als $\ V_2 = \sqrt[2]{1 \over 0,8895} 1 = 0,060296 = 6,0296 $ %. Wenn man daher den Betrag von $\ ZBAF_{0,2} = 0,8895 $ € für zwei Jahre lang anlegt, dann muss man dies zu einem Zinssatz von 6,0296 % tun, damit man nach den zwei Jahren den geforderten 1 Euro erhält. Die anderen Effektivzinsen fasst die folgende Tabelle zusammen:

Jahr 0 1 2 3 4
Zerobondabzinsfaktoren 1 0,9524 0,8895 0,8141 0,7292
Effektivzinsen 0 0,05 0,060296 0,070982 0,082152


Tab. 44: Zerobondabzinsfaktoren und einperiode Effektzinsen

Damit erhält man nun aber auch den Kapitalwert der Investition nach der Marktzinsmethode mit Hilfe der einperiodigen Effektivzinsen:

$\ C_0 = \sum^n_{t=0} {E_t - A_t \over {(1-v_t)^t}} $.

Damit rechnet man mit den vorliegenden Zahlen also

$\ C_0 = -1.000 + {800 \over 1,05} + {200 \over 1,060296^2} + {-300 \over 1,070982^3} + {2.000 \over 1,082152^4} $
= 1.153,99 €.

Man erhält also – natürlich – genau dasselbe Ergebnis wie mit der retrograden Methode bzw. mit der Methode der Zerobondabzinsfaktoren.