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Investitionsrechnung - Retrograde Berechnung des Kapitalwerts im Marktzinsmodell

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Investitionsrechnung

Retrograde Berechnung des Kapitalwerts im Marktzinsmodell

Der Kapitalwert nach der Marktzinsmethode ist also – im Gegensatz zum Kapitalwert nach der dynamischen Investitionsrechnung – echte Liquidität. Er gibt an, wie viel Geld in der nullten Periode dadurch übrig ist, dass Kredite in einer zu großen Höhe aufgenommen werden (bei positivem Kapitalwert).

Der Kapitalwert lässt sich retrograd nach der Marktzinsmethode mit folgendem Schema ermitteln:

Retrograde Berechnung des Kapitalwerts nach der Marktzinsmetode

1. Schreibe die Zahlungsreihe des Kredites auf.

Die letzte Zahlung der Investition, also $\ z_n $, wird, wenn sie positiv ist, für die Bedienung eines Kredites benutzt, der in der nullten Periode aufgenommen wurde.

2. Welcher Kredit war in der nullten Periode hierfür notwendig?

Antwort:
zn : (1 + $\ i_n $) = wenn $\ z_n $ negativ ist, dann ist nach einer Geldanlage in der nullten Periode gefragt.
Schreibe den Kreditbetrag mit dem Vorzeichen „+“ (bzw. den Geldanlagebetrag mit dem Vorzeichen „-“)in die nullte Periode.

3. Welche Zinszahlung ist notwendig in der einzelnen Periode $t = 1$, $t = 2$, …, $t = n - 1$?
Rechne hierfür $\ {K^1 \cdot i_n} $ und erhalte die Sollzinsen der einzelnen Jahre, wenn $\ K^1 $ ein Kredit ist (dann mit „-“ in die einzelnen Perioden schreiben) oder, wenn $\ K^1 $ eine Geldanlage ist, die Habenzinsen der einzelnen Jahre (dann mit „+“ schreiben).

4. Der Zahlungssaldo der vorletzten Periode, also $t = n - 1$ soll ebenfalls 0 werden. Berechne hierfür, wie viel Geld in  $t = n - 1$ nach der Investitionszahlung $\ Z_{n-1} $ und der Zinszahlung für den Kredit $\ K^1 $ (bzw. aus der Geldanlage $\ K^1 $) noch übrig bleibt.

  • Wenn etwas übrig bleibt, wird dies für die Rückführung eines Kredits $\ K^2 $ benötigt, der in t = 0 aufgenommen wird: $\ K^2 = {(Z_{n-1} - {i_n \cdot K^1}) \over (1 + i_{n-1})} $ .
  • Wenn nichts übrig beleibt, sondern vielmehr Geld benötigt wird, dann ist $\ K^2 $ die Geldanlage in der nullten Periode, die in $\ t_{n-1} $ dieses benötigte Geld durch Zinszahlung und Tilgung erbringt.
  • Schreibe im 1. Fall $\ K^2 $ mit „+“ (als Geldaufnahme) in die nullte Periode, sonst im 2. Fall mit „-“ (als Geldanlage).


5. Die Zinsen lassen sich jetzt für die zweite Kredittranche oder Geldanlagentranche berechnen mit $\ {K^2 \cdot i_{n-1}} $ schreibe diese
mit „-“ im Fall, dass K2 eine Kreditaufnahme ist
mit „+“ im Fall, dass K2 eine Geldanlage ist

6. Bilde analog für die vorletzte Periode n - 2 einen Zahlungssaldo von 0. Erreiche dies durch eine Kreditaufnahme oder Geldanlage in t = 0 von $\ K^3 = {(Z_{n-2} - {i_n \cdot K^1 } – {i_{n-1} \cdot K^2} ) \over (1 + i_{n-2})} $.

7. Berechne wieder die Zinsen in der einzelnen Periode durch $\ {K^3 \cdot i_{n-2}} $ .

8. Mache dies für die Perioden n - 3, n - 4, …, 2,1.
Berechne jeweils Kredite oder Geldanlagen $\ K^4,\ K^5,\ …\ K^{n-1} $ .

9. Berechne in der nullten Periode die Summe aus Investitionszahlung Z und den einzelnen Krediten bzw. Geldanlagen $\ K_i $, d.h. rechne $\ Z_0 + K_1 + K_2 + K_3 + … + K_{n-1} = {Kapitalwert} $. Dies sei im folgenden Beispiel vorgeführt.

Beispiel

Beispiel 36:
Die R. AG aus Duisburg sieht sich folgender Investition gegenüber.
Jahr 0 1 2 3 4
Einzahlungsüberschüsse -1000 800 200 -300 2000


Die Geld- und Kapitalmarkt-Zinsstruktur, die in der Periode t = 0 gültig ist, sei folgende:

Laufzeit der Geschäfte Geld und Kapitalmarktzinsen
für einjährige Geldanlagen oder Kredite 0,05
für zweijährige Geldanlagen oder Kredite 0,06
für dreijährige Geldanlagen oder Kredite 0,07
für vierjährige Geldanlagen oder Kredite 0,08
Berechne den Kapitalwert retrograd!

Zunächst fragt man sich, welcher Kredit in der nullten Periode notwendig war, um diesen – mit Zins und Tilgung – in der vierten Periode in Höhe von 2.000 € abzubezahlen. Die Antwort ist: $\frac {2.000}{1,08} = 1.851,85 €$.

Dieser Kredit führt zu Zinsauszahlungen von $1.851,85 * 0,08 = 148,1481$, denn der vierjährige Zins von $8 %$ muss benutzt werden. In der dritten Periode ist damit eine positive Zahlung von $448,1481 €$ nötig, um einen Zahlungssaldo von $0$ zu generieren.

Anders ausgedrückt: welche Geldanlage in der nullten Periode ist notwendig, damit in $t = 3$ eine Einzahlung in dieser Höhe entsteht?

Antwort: $\frac {448,1481}{1,07} = 418,83 €$. Diese Zahl wird mit „-“ in die nullte Periode geschrieben um anzudeuten, dass es sich um eine Auszahlung für eine Geldanlage handelt. Dann fließen in $t = 2$ eine Einzahlung aus der Investition in Höhe von $200 €$, eine Zinsauszahlung von $148,1431$ für den ersten Kredit und eine Zinseinzahlung für die dreijährige Geldanlage.

Es ist damit ein Betrag von $81,17 €$ übrig. Wenn dieser für die Abbezahlung eines Kredits in der nullten Periode verwendet wird, dann lautet dieser Kredit über $\ frac {81,17}{1,06} = 76,5755 € $. Verbunden hiermit ist eine Zinsauszahlung in $t = 1$ in Höhe von $4,5945$. Genauso rechnet man, dass in $t = 1 676,5755 € $übrig sind, die für die Abbezahlung eines Kredits aus $t = 0$ in Höhe von $644,3576 €$ nötig sind.


Damit wird die Anschaffungsauszahlung von $1.000 €$ mit drei Krediten in Höhe von $1.851,85 €$, $76,5755 €$ und $644,3576 €$ finanziert. Außerdem findet eine Geldanlage in Höhe von $418,83 €$ statt. Insgesamt bleiben damit $1.153,96 €$ übrig. Dies ist der sog. Kapitalwert der Investition unter Berücksichtigung der Geld- und Kapitalmarktzinsstruktur.

Die folgende Tabelle zeigt die Berechnung nach der retrogaden Methode nochmals im einzelnen:

Gelder 0 1 2 3 4
Zahlungsreihe -1000 800 200 -300 2000
vierjähriger Kredit 1851,85 -148,148 -148,1431 -148,1481 -2000
dreijähriger Kredit -418,83 29,3181 29,3181 448,1481 0
zweijähriger Kredit 76,5755 -4,5945 -81,17 0  
einjähriger Kredit 644,3576 -676,57 0    
Kapitalwert 1153,96 0      


Tab. 39: Retrograde Berechnung des Kapitalwerts in Marktzinsmethode

Merke

  • Der Kapitalwert nach der Marktzinsmethode ist also – im Gegensatz zum Kapitalwert nach der dynamischen Investitionsrechnung – echte Liquidität. Er gibt an, wie viel Geld in der nullten Periode dadurch übrig ist, dass Kredite in einer zu großen Höhe aufgenommen werden (bei positivem Kapitalwert).
  • Dass die Kredite zu groß sind, ist aber nicht schlimm, denn in der Zukunft treten ausschließlich Zahlungssalden von 0 € auf. Das bedeutet, dass man in der Zukunft sorgenfrei lebt, denn die Einzahlungen aus der Investition speisen genau die Zinsauszahlungen für die Kredite bzw. die Auszahlungen der Investition werden aus den Zinseinzahlungen der Geldanlagen gespeist.