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Investitionsrechnung - Optimale Nutzungsdauer bei einmaliger Wiederholung einer identischen Investition

Kursangebot | Investitionsrechnung | Optimale Nutzungsdauer bei einmaliger Wiederholung einer identischen Investition

Investitionsrechnung

Optimale Nutzungsdauer bei einmaliger Wiederholung einer identischen Investition

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ErstInvestition und Folgeinvestition

Ebenso ist eine Investitionskette denkbar, konstruiert durch hintereinander ausgeführte Investitionen.

Für den Fall der einmaligen identischen Wiederholung besteht diese aus der Erstinvestition und der Folgeinvestition.

Die Investitionskette beginnt mit der  Erstinvestition, die nach der optimalen (wirtschaftlichen) Nutzungsdauer von $\ n^*_1 $ Jahren beendet wird. Anschließend daran wir die gleiche Investition erneut getätigt (Folgeinvestition), jedoch nun mit einer neuen für sich spezifischen optimalen Nutzungsdauer von $\ n^*_2 $ Jahren.

Die gesamte Investitionskette aus Erst- und Folgeinvestition hat folglich eine gesamte Nutzungsdauer von $\ n^*_k = n^*_1 + n^*_2 $ Jahren.

Hinweis

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Man muss beachten, dass es sich um dieselben Investitionen handelt, die nacheinander getätigt werden, aber trotzdem unter Umständen eine andere Nutzungsdauer $\ n^*_1 $ und $\ n^*_2 $ aufweisen.
Es handelt sich um dieselben Investitionen, da die Einzahlungsüberschüsse identisch sind. Der Umstand, dass die Nutzungsdauer der Erst- und Folgeinvestitionen unterschiedlich ist, beeinflusst nicht den Umstand, dass es sich um eine identische Investition handelt.

Ebenso wie im vorherigen Fall gibt es hier auch wieder die zwei unterschiedlichen Methoden:

  1. Kapitalwertmethode
  2. Methode der Grenzeinzahlungsüberschüsse.

 

Optimale Nutzungsdauer - Kapitalwertmethode

Die optimale Nutzungsdauer bei einmaliger identischer Wiederholung einer Investition kann genauso durch die Kapitalwertmethode bestimmt werden.

Anwenden der Kapitalwertmethode

Der Ablauf zur Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer muss auf jeden Fall beachtet werden:

Zuerst muss die optimale Nutzungsdauer der Folgeinvestition $\ n^*_2 $ berechnet werden. Dies wird mit derselben Methode durchgeführt, wie im vorherigen Abschnitt bei der Tätigung einer einmaligen Investition.

Erst im zweiten Schritt wird die optimale Nutzungsdauer der Erstinvestition bestimmt, also $\ n^*_1 $. Hier wird der optimale Kapitalwert der Folgeinvestition mit der Zahlungsreihe der Erstinvestition addiert und anschließend diesen Kapitalwert der entstandenen Investitionskette maximiert.

Das Folgende Schema gibt einen Überblick.

Dies geschieht dadurch, dass der (optimierte) Kapitalwert der Folgeinvestition an die Zahlungsreihe der Erstinvestition drangehangen wird und man dann den Kapitalwert dieser sich ergebenden Investitionskette maximiert. Halten wir dies fest in folgendem Schema fest.

Berechnung der optimalen Nutzungsdauer bei einmaliger identischer Wiederholung

Methode

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Optimale Nutzungsdauer bei einmaliger identischer Wiederholung

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Abb.25 Schema: Optimale Nutzungsdauer bei einmaliger identischer Wiederholung

Wenden wir dieses Schema auf unser voriges Beispiel an.

Beispiel

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Beispiel 24:

Die Anschaffungsauszahlung einer Investition der Mayer GmbH liegt bei 6.000 €. Die Einzahlungsüberschüsse der folgenden Jahre sind 2.500 € im ersten Jahr, im zweiten 2.250 € , im dritten Jahr 1.750 € und 750 € im vierten Jahr. Der Liquidationserlös errechnet sich nach Maßgabe der Abschreibungen (man nehmen lineare Abschreibung an). Die Maschine kann maximal vier Jahre genutzt werden. Man rechnet mit einem Kalkulationszins von i = 5 %.

Berechne die optimale Nutzungsdauer bei einmaliger identischer Wiederholung.

Die optimale Nutzungsdauer der Folgeinvestition ist $\ n^*_2 = 3 $, der zugehörige Kapitalwert der Folgeinvestition lautet $\ C_0^{n_2^*} = 2 = 1.229,24\ € $.

Die Tabelle sieht wie folgt aus:

Jahr/ Nutzungsdauer01234
n = 01.229,24    
n = 1-6.0008.229,24   
n = 2-6.0002.5006.479,24  
n = 3-6.0002.5002.2504.479,24 
n = 4-6.0002.5002.2501.7501.979,24

Tab. 25: Zahlungsreihen Investitionsketten, abh. von Nutzungsdauern

Es seien z.B. die Zahlen der Zeile $n = 3$ erklärt:

Hat man seine Erstinvestition getätigt und lässt diese drei Jahre lang laufen, dann zahlt man in der 0. Periode 6.000€ aus und es kommen, wie bekannt, $2.500 €$ in $t = 1$ und $2.250 $€ in $t = 2$ rein. In $t = 3$ wird die Anlage dann liquidiert, somit kommen aus der Erstinvestition $1.500 €$ Liquidationserlös rein, summa summarum $3.250 €$ aus der Erstinvestition.

Zusätzlich dazu wird aber dann die Folgeinvestition weitere zwei Jahre durchgeführt, was zu Beginn dieser Folgeinvestition einem Kapitalwert von $1.229,24 €$ entspricht.
Da dieser gedanklich in $t = 3$, also dem hier unterstellten Ende der Erstinvestition, ansteht, fließen insgesamt in $t = 3$ damit $ 3.250 + 1.229,24 = 4.479,24€ $ rein, diese Zahl steht dann in der Ecke der Tabelle.

Kapitalwerte der Erstinvestition

Hieraus kann man nun die Kapitalwerte in Abhängigkeit der einzelnen Nutzungsdauern der Erstinvestitionen bestimmen. Man kann diese direkt als letzte Spalte der obigen Tabelle schreiben:

Jahr/ Nutzungsdauer01234Kapitalwert
n = 01.229,24    1.229,24
n = 1-6.0008.229,24   1.837,37
n = 2-6.0002.5006.479,24  2.257,81
n = 3-6.0002.5002.2504.479,24 2.291,10
n = 4-6.0002.5002.2501.7501.979,241.561,81

Tab. 26: Zahlungsreihen der Investitionsketten, abh. von Nutzungsdauern

Kapitalwert der Investitionskette

Der Kapitalwert der Investitionskette ist maximal, wenn die Erstinvestition drei Jahre lang genutzt wird. Deshalb sollte nach $\ n^*_2 = 3 $ Jahren die Erstinvestition beendet werden und die Folgeinvestition gestartet werden, welche ebenfalls $\ n^*_2 = 3 $ Jahre dauert. Somit liegt die optimale Nutzungsdauer der gesamten Investitionskette bei $\ n^*_k = n^*_1 + n^*_2 = 3 + 3 = 6 $ Jahren.

Merke

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Dabei ist es nicht zufällig, dass die Erstinvestition genauso lange dauert wie die Folgeinvestition, denn allgemein ist die Regel, dass...

... die Nutzungsdauer der i. Investition in einer Investitionskette aus identischen Investitionen ist kleiner oder gleich der Nutzungsdauer der direkt danach folgenden Investition, diese wiederum kleiner-gleich der darauffolgenden. Sprich:

$$\ \ldots \geq n^*_1 \geq n^*_{1+1}\geq n^*_{1+2} \geq n^*_{1+3} \geq \ldots $$

Video: Optimale Nutzungsdauer bei einmaliger Wiederholung einer identischen Investition

 

Methode der Grenzeinzahlungsüberschüsse

Auch bei einmaliger identischer Wiederholung einer Investition kann man die optimale Nutzungsdauer mit Hilfe der Methode der Grenzeinzahlungsüberschüsse bestimmen. Hierfür gilt diese Entscheidungsregel:

Expertentipp

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Die Nutzungsdauer der Erstinvestition (alte Maschine) sollte von der Periode n – 1 um eine weitere (bis zur Periode n) verlängert werden, wenn die Verzinsung des Kapitalwertes der Folgeinvestition $ i \cdot C^2_0 $ kleiner-gleich dem Grenzeinzahlungsüberschuss der Erstinvestition ist:

$\ Z_{n,1} \geq i \cdot C^2_0 $.

Beispiel

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Beispiel 25:

Die Mayer GmbH möchte die Investition aus Beispiel 24 einmalig identisch wiederholen.

Wie lang wird die Investitionskette optimalerweise durchgeführt?

In der 0. Periode stellt man folgende Überlegung an: Wenn $ Z_{1,1} \geq i \cdot C^2_0 $ gilt und das ist hier der Fall, denn $ 700 > 0,05 \cdot 1.229,24 = 61,46 $. Also bringt eine Verlängerung der Nutzung mehr ein, als eine Verzinsung des Kapitalwertes. Ergo ist die optimale Nutzungsdauer der Erstinvestition in der Periode n=0 noch nicht erreicht.

Dasselbe gilt auch in der folgenden Periode $\ Z_{2,1} \geq i \cdot C^2_0 $ ,weil $\ 525 > 0,05 \cdot 1.229,24 = 61,46 $. Somit ist eine Verlängerung der Nutzungsdauer der Anlage erneut sinnvoll, als die Verzinsung des Kapitalwertes.

Auch in der zweiten Periode gilt weiterhin $\ Z_{3,1} \geq i \cdot C^2_0 $, weil$\ 100 > 0,05 \cdot 1.229,24 = 61,46$ erfüllt ist.

Erst in der zweiten Periode erhält man $\ Z_{4,1} \leq i \cdot C^2_0 $ wegen $\ -825 $.

In diesem Abschnitt haben wir zwei wichtige Einschränkungen gemacht, deren Aufhebung jedoch leicht umzusetzen ist:

  1. einmalige Wiederholung ...

    anstelle einer einmaligen Wiederholung kann man auch eine Investition mehrmals hintereinander wiederholen. Rechnerisch ist die auf demselben Wege zu lösen, wie bei der einmaligen Wiederholung. Man beginnt mit der letzten Investition und bestimmt mit Hilfe des Schemas der einmaligen Durchführung der Investition die optimale Nutzungsdauer. Nun bildet man die Zeitreihen der vorletzten Investitionen, addiert den Kapitalwert der letzten in die Ecke der Tabelle und optimiert dadurch die Nutzungsdauer der vorletzten Investition. usw.

  2. identische Wiederholung ...

    unterschiedliche Investitionen hintereinander zu tätigen stellt auch kein größeres Hindernis dar. Man geht genauso vor, wie bei identischen Wiederholungen, man optimiert von hinten nach vorne.