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Investitionsrechnung - Optimale Nutzungsdauer bei unendlich häufiger Wiederholung einer identischen Investition

Kursangebot | Investitionsrechnung | Optimale Nutzungsdauer bei unendlich häufiger Wiederholung einer identischen Investition

Investitionsrechnung

Optimale Nutzungsdauer bei unendlich häufiger Wiederholung einer identischen Investition

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Abschließend beschäftigen wir uns noch mit dem Fall der unendlich häufigen Wiederholung einer identischen Investition. Eine Investition wird also $\ n^*_2 $ Jahre gebraucht, um diese dann zu beenden und eine Folgeinvestition zu tätigen, die ihrerseits $\ n^*_2 = n^*_1 $ Jahre genutzt wird. Anschließend wird erneut eine Folgeinvestition für $\ n_3^* = n_2^* = n_1^* $ Jahre getätigt.

Wie man sieht, sind die Nutzungsdauern der unendlichen  Investitionskette alle gleich. Ein Vorgehen wie im vorigen Kapitel ist leider nicht möglich, da eine Optimierung von Hinten nicht machbar ist, denn bei unendlich häufiger Wiederholung hat die Investitionskette kein Ende. Deshalb berechnet man die jeweilige Annuität der Investitionskette in Abhängigkeit der einzelnen Nutzungsdauern.

Hierzu erneut ein Schema zur Berechnung der optimalen Nutzungsdauer:

Expertentipp

Hier klicken zum Ausklappen Optimale Nutzungsdauer bei unendlich häufiger Wiederholung:

  1. Stelle die Zahlungsreihen der Investition auf, beachte hierbei die Liquidationserlöse

  2. Berechne die Kapitalwerte in Abhängigkeit von der einzelnen Nutzungsdauern

  3. Rechne die Kapitalwerte in die Annuität A um, mit Hilfe der Formel:
    $$\ A = C_0 \cdot q^n \cdot {q-1 \over q^n - 1}=C_0 \cdot WGF (n;\ i)\ \ \text{ bzw.} \ \ A = {C_0 \over RBWF (n,\ i)} $$
    Multipliziere also den Kapitalwert mit dem Wiedergewinnungsfaktor bzw. teile ihn durch den Rentenbarwertfaktor.

  4. Wähle die maximale Annuität aus.

Beispiel zur optimalen Nutzungsdauer bei unendlich häufiger identischer Wiederholung

Dies sei an einem Beispiel verdeutlicht. Die Kapitalwerte $ C_0 $ hatten wir bereits ausgerechnet, als wir die optimale Nutzungsdauer bei einfacher Durchführung bestimmt hatten:

Nutzungsdauer n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4
Kapitalwert0666,671142,861229,24550,51

Tab. 27: Kapitalwerte bei geg. Nutzungsdauern und einfacher Durchführung

Berechnung der Wiedergewinnungsfaktoren

Die Wiedergewinnungsfaktoren errechnet man einzeln für jedes unterschiedliche n oder schaut sie in der hinten stehenden Tabelle nach:

$\ n = 1 \ldots \text{WGF} (1; 5\ \%)= q^1 \cdot {q-1 \over q^1 - 1} = q^1 = 1,05 $

$\ n = 2 \ldots WGF (2; 5\ \%)= q^2 \cdot {q-1 \over q^2 - 1} = 0,5378 $

$\ n = 3 \ldots WGF (3; 5\ \%)= q^3 \cdot {q-1 \over q^3 - 1} = 0,3672$ usw.

Berechnung der Annuitäten

Die Annuitäten A werden durch Multiplikation der einzelnen Wiedergewinnungsfaktoren mit dem Kapitalwert berechnet.

Nutzungsdauer 0 1 2 3 4
Kapitalwert0666,671.142,861229,24550,51
Wiedergewinnungsfaktor/1,050,53780,36720,282
Annuität/700,00614,63451,38155,24

Tab. 28: Optimale Nutzungsdauer bei unendlich häufiger Durchführung

Optimal ist es also die Investition exakt für ein Jahr zu tätigen und sie im Anschluss daran identisch zu wiederholen, erneut für die Dauer eines Jahres etc., dies dann unendlich zu wiederholen. 

Beispiel

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Beispiel 26:
Die Lauren GmbH möchte, eine Maschine anzuschaffen, welche $6.000€$ kostet und eine technische Nutzungsdauer von vier Jahren besitzt. Die jährlich zu erwartenden Einzahlungen hieraus liegen bei jeweils $6.500€$, die Auszahlungen steigen jährlich um 25% und liegen im ersten Jahr nach der Anschaffung bei $3.000 €$. Die Liquidationserlöse liegen bei $4.000 €$ im ersten, $2.500 €$ im zweiten, $1.000 €$ im dritten. Der Kalkulationszins sei $\text{5%} $.

  1. Berechne den Kapitalwert bei maximaler Nutzungsdauer.
  2. Berechne die optimale Nutzungsdauer.
  3. Wie ändert sich diese Nutzungsdauer bei unendlich häufiger Wiederholung?
  4. Wie lautet der Kapitalwert der Investitionskette?

Vertiefung

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a) Berechnung des Kapitalwerts bei maximaler Nutzungsdauer

a) Man rechnet den Kapitalwert für eine Nutzungsdauer von $n = 4$ aus:

ND01234
Einz. 6.500,006.500,006.500,006.500,00
Ausz.6.0003.000,003.750,004.687,505.859,38
EZÜ -6.0003.500,002.750,001.812,50640,62

Der Kapitalwert ist dann $C_0 = -8.000 + \ldots + 640,62 \cdot 1,05^{-4} = 1.920,41\ € $

Vertiefung

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b) Optimale Nutzungsdauer bei einfacher Durchführung

NAch der Tabelle liegt die optimale Nutzungsdauer bei einfacher Durchführung bei $n^* = 3 $.

Tab. 29: Zahlungsreihen und Kapitalwerte der Investitionsketten

Jahr01234Kapitalwert
n = 00    0
n = 1-6.0007.500,00   1.142,86
n = 2-6.0003.500,005.250,00  2.095,24
n = 3-6.0003.500,002.750,002.812,50 2.257,21
n = 4-6.0003.500,002.750,001.812,50640,621.920,41

Vertiefung

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c) Optimale Nutzungsdauer bei unendlich häufiger Wiederholung

Bei der nun auszurechnenden optimalen Nutzungsdauer im Fall der unendlich fachen Wiederholung multiplizieren wir nicht mit dem Wiedergewinnungsfaktor WGF(n; 10 %), sondern dividieren zur Übung mit dem Rentenbarwertfaktor RBWF(n; 10 %) – was klarerweise das identische Ergebnis für die Annuität A liefert.

 

Nutzungsdauer01234
Kapitalwert0 1.142,862.095,24  2.257,211.920,41 
Rentenbarwertfaktor0 0,95241,85942,72333,5461
Annuität0 1.199,981.069,33 828,85541,56

 

Tab. 29: Zahlungsreihen und Kapitalwerte der Investitionsketten

Die optimale Nutzungsdauer bei einfacher Durchführung ist demnach $n^* = 1 $. Die optimale Nutzungsdauer verringert sich also, wenn wir dieselbe Investition unendlich oft hintereinander ausführen.

Vertiefung

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d) Kapitalwert der Investitionskette

Der Kapitalwert der Investitionskette, die aus unendlich vielen, jeweils zweijährigen Investitionen besteht, ist:

$\ C_0 = { 1.199,98 \over 0,05} = 23.999,60 $

mit der Formel der ewigen, nachschüssigen Rente.

Video: Optimale Nutzungsdauer bei unendlich häufiger Wiederholung einer identischen Investition