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Investitionsrechnung - Optimale Nutzungsdauer bei einmaliger Durchführung einer Investition

Kursangebot | Investitionsrechnung | Optimale Nutzungsdauer bei einmaliger Durchführung einer Investition

Investitionsrechnung

Optimale Nutzungsdauer bei einmaliger Durchführung einer Investition

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Methoden zur Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit einer nur einmalig getätigten Investition, die nicht wiederholt wird. Nach Ablauf der optimalen wirtschaftlichen Nutzungsdauer wird diese verschrottet. Beschäftigen wir uns mit diesem Beispiel:

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Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 24:

Die Anschaffungsauszahlung einer Investition der Mayer GmbH liegt bei 6.000€. Die Einzahlungsüberschüsse der folgenden Jahre sind 2.500€ im ersten Jahr, im zweiten 2.250€ , im dritten Jahr 1.750€  und 750€ im vierten Jahr. Der Liquidationserlös errechnet sich nach Maßgabe der Abschreibungen (man nehmen lineare Abschreibung an). Die Maschine kann maximal vier Jahre genutzt werden. Man rechnet mit einem Kalkulationszins von i = 5 %.

Nach welchem Jahr sollte man die Nutzung der Maschine einstellen?

Zur Berechnung der optimale Nutzungsdauer bei einfacher Durchführung kann man zwei Methoden anwenden:

  1. Kapitalwertmethode
  2. Methode der Grenzeinzahlungsüberschüsse

 

1. Optimale Nutzungsdauer - Kapitalwertmethode

Folgender Gedanke steht hinter der Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer mit der Kapitalwertmethode: für unterschiedliche mögliche Nutzungsdauern bestimmt man den den Kapitalwert und sucht den mit dem maximalen Kapitalwert für die einfache Durchführung der Investition aus.

Dieses sehr einfache Schema zur Berechnung der optimalen Nutzungsdauer bei einfacher Durchführung wird dabei angewendet:

Methode

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Optimale Nutzungsdauer bei einfacher Durchführung:

  1. Stelle die Zeitreihe für die einzelnen Jahre auf. Beachte hierbei den jeweils unterschiedlich anfallenden Liquidationserlös.

  2. Berechne die Kapitalwerte $\ C_0 $ in Abhängigkeit der möglichen Nutzungsdauern, d.h. berechne $\ C_0^{n=0} $, $\ C_0^{n=1} $, $\ C_0^{n=2} $ usw.

  3. Wähle den maximalen Kapitalwert aus.

Um es zu veranschaulichen, wenden wir es auf unser Beispiel an:

Beispiel

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Beispiel 24:

Die Anschaffungsauszahlung einer Investition der Mayer GmbH liegt bei 6.000 €. Die Einzahlungsüberschüsse der folgenden Jahre sind 2.500 € im ersten Jahr, im zweiten 2.250 €, im dritten Jahr 1.750 € und 750 € im vierten Jahr. Der Liquidationserlös errechnet sich nach Maßgabe der Abschreibungen (man nehmen lineare Abschreibung an). Die Maschine kann maximal vier Jahre genutzt werden. Man rechnet mit einem Kalkulationszins von i = 5 %.

Nach welchem Jahr sollte man die Nutzung der Maschine einstellen?

Bezogen auf die obige Aufgabe erhält man dann

Bitte Beschreibung eingeben
Tab. 19: Zahlungsreihe der Investition zzgl. der Liquidationserlöse

Berechnung der optimalen Nutzungsdauer

Zunächst stellt man Zahlungsreihe auf und ergänzt um die jeweiligen Liquidationserlöse. Wenn man nun z.B. nach drei Perioden die Nutzung abbricht, dann ist die Zahlungsreihe der Investition wie folgt:

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Tab. 20: Einzahlungsüberschüsse der Investition bei Nutzungsdauer n = 3

Diese Zahlen sind so zu lesen:

Erst wenn man in t = 3 die Maschine liquidiert, dann fällt der Liquidationserlös in t = 3 in Höhe von 1.500 € an.

Die Zeitreihe für eine Nutzungsdauer von $n = 4$ wäre hingegen

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Tab. 21: Zahlungen, wenn in vierter Periode liquidiert wird

Also erhält man folgendes Gitter:

Bitte Beschreibung eingeben
Tab. 22: Zahlungssalden, in Abhängigkeit der Nutzungsdauern

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Hier klicken zum AusklappenDer Liquidationserlös fällt also – logischerweise – erst dann an, wenn die Anlage verkauft wird. Die jeweiligen Werte davor entstehen dann nicht und werden auch nicht geschrieben.

Zudem:

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Hier klicken zum AusklappenDer Liquidationserlös $\ L_t $ wird also immer erst in den Ecken des Gitters draufaddiert.

Die jeweiligen Kapitalwerte werden aus den Zeilen des Gitters errechnet.

$\ C_0^{n=1} = -6.000 + {7.000 \over 1,05} = 666,67 \ € $

$\ C_0^{n=2} = -6.000 + {2.500 \over 1,05} + {5.250 \over 1,05^2} = 1.142,86\ € $

$\ C_0^{n=3} = -6.000 + {2.500 \over 1,05} + {2.250 \over 1,05^2} + {3.250 \over 1,05^3} = 1.229,24\ € $, usw.

Die obige Tabelle kann um die Kapitalwerte der jeweiligen Nutzungsdauer erweitern:

Bitte Beschreibung eingeben
Tab. 23: Zahlungssalden, in Abhängigkeit der Nutzungsdauern und Kapitalwerte

Damit ist der Kapitalwert bei einer Nutzungsdauer von drei Jahren mit $1.229,24 €$ maximal. Die optimale Nutzungsdauer (= wirtschaftliche Nutzungsdauer) ist damit für den Fall der einmaligen Durchführung $n^* = 3 $.

Video: Optimale Nutzungsdauer bei einmaliger Durchführung einer Investition

2. Methode der Grenzeinzahlungsüberschüsse

Eine andere Methode, um die optimale Nutzungsdauer bei einfacher Durchführung bestimmen zu können, ist die der Grenzeinzahlungsüberschüsse.

Methode der Grenzeinzahlungsüberschüsse:

Liquidiert man die Investition nicht zum Zeitpunkt n - 1, sondern behält sie noch eine weitere bis zur Periode n, so entstehen durch diese Entscheidung sowohl Kosten als auch Nutzen bzw. Ertrag:

Die Kosten belaufen sich auf:

$\ L_{n-1} – L_n $ (niedrigerer Liquiditätserlös)
Durch das länger Behalten der Investition bspw. einer Maschine entstehen Kosten dadurch, dass man auf den Liquiditätserlös aus der Perioden n-1 verzichtet und stattdessen den  (geringeren) aus Periode n erhält. Diese Differenz der zwei Liquidationserlöse $ L_{n-1} – L_n $ bezeichnet man dann als Kosten, die durch den Verzicht auf Liquidationserlös entstehen.

$\ i \cdot L_{n-1} $ (entgangener Zinsgewinn)
Außerdem entstehen Kosten durch den entgangenen Zinsgewinn. Hätte man die Maschine mit dem Restwert $\ L_{n-1}$ veräußert, so hätte dieser zu einem Zinssatz von i % angelegt werden können und hätte in der Folgeperiode einen Zinsgewinn $\ i \cdot L_{n-1} $. Dadurch, dass man dies nicht tut, sondern die Anlage noch ein weiteres Jahr behält, entgeht einem dieser Zinsgewinn. Der Posten $\ i \cdot L_{n-1} $ gibt also die Opportunitätskosten durch den Verzicht auf den Zinsgewinn an.

Der Ertrag ist gegeben durch:

$\ Z_n $: verlängert man die Dauer der Nutzung von der Periode n-1 um eine weitere, so erhält man Einzahlungen aus der n. Periode.

Es gilt folgende Regel:

Merke

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Also ist eine Verlängerung der Nutzungsdauer um eine weitere Periode (also von Periode n - 1 zur n. Periode) genau dann sinnvoll, wenn der Ertrag aus der Verlängerung größer ist als die daraus entstehenden Kosten:

$$\ Z_gn> (L_{n-1}-L_n)+i \cdot L_{n-1} $$

Wenn man die Ausdrücke der rechten Seite auf die linke bringt, so erhält man den sog. Grenzeinzahlungsüberschuss

$\ Z_gn $ mit $$\ Z_gn=Z_n+(L_n-L_{n-1})-i \cdot L_{n-1} $$

Wichtig ist, dass $\ L_n $

Man erhält folgende Regel, die klarerweise äquivalent zur oben erwähnten ist:

Verlängere die Nutzungsdauer um eine weitere Periode, solange $\ Z_n \geq 0 $ ist.

Merke

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Hinreichend dafür, dass man mit der Methode der Grenzeinzahlungsüberschüsse dieselben Ergebnisse erhält wie mit der Kapitalwertmethode, sind monoton sinkende Grenzeinzahlungsüberschüsse.
Es muss $\ Z_gn $, d.h. $\ Z_1 \geq Z_2 \geq Z_3 \geq \ldots $ erfüllt sein.

Exemplarisch zeigen wir es wieder an unserem vorherigen Beispiel:

Beispiel

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Beispiel 24:

Die Anschaffungsauszahlung einer Investition der Mayer GmbH liegt bei 6.000 €. Die Einzahlungsüberschüsse der folgenden Jahre sind 2.500 € im ersten Jahr, im zweiten 2.250 €, im dritten Jahr 1.750 € und 750 € im vierten Jahr. Der Liquidationserlös errechnet sich nach Maßgabe der Abschreibungen (man nehmen lineare Abschreibung an). Die Maschine kann maximal vier Jahre genutzt werden. Man rechnet mit einem Kalkulationszins von i = 5 %.

Nach welchem Jahr sollte man die Nutzung der Maschine einstellen?

 

$\ Z_1= Z_1 + (L_1 - L_0) - i \cdot L_0 = 2.500 + (4.500 - 6.000) - 0,05 \cdot 6.000 = 700 $
$\ Z_2= Z_2 + (L_2 - L_1) - i \cdot L_1 = 2.250 + (3.000 - 4.500) - 0,05 \cdot 4.500 = 525 $
$\ Z_3= Z_3 + (L_3 - L_2) - i \cdot L_2 = 1.750 + (1.500 - 3.000) - 0,05 \cdot 3.000 = 100 $
$\ Z_4= Z_4 + (L_4 - L_3) - i \cdot L_3 =    750 + (0       - 1.500) - 0,05 \cdot 1.500 = -825 $

Die Grenzeinzahlungsüberschüsse bilden also eine monoton fallende Folge, wie oben gefordert, also $\ Z_1 \geq Z_2 \geq Z_3 \geq Z_4 $ wegen $\ 700 \geq 525 \geq 100 \geq -825 $, also kann die Methode der Grenzeinzahlungsüberschüsse angewendet werden.

Man denkt in jeder der Perioden über den Ersatz nach:

Im Zeitpunkt $n = 0$ stellt man folgende Überlegung an:

Die Kosten der Verlängerung um eine Periode nach n = 1 sind
$\ (L_{1-1}-L_1) + i \cdot L_{1-1}=(L_0 - L_1)+i \cdot L_0 =
(6.000 - 4.500) + 0,05 \cdot 6.000 = 1.500 + 300 = 1.800 $

Die Kosten belaufen sich also einmal auf die 1500€, auf die man verzichtet aufgrund des sinkenden Liquidationserlös von Periode n=0 zu n = 1. Zum anderen entgehen einem zusätzlich 300€ Zinsgewinn, den man erzielt hätte durch das Anlegen des Liquidationserlöses von 6000€ zu einem Zins von 5%.
Der Ertrag den man durch die Verlängerung der Nutzungsperiode von n=0 nach n=1 erwirtschaftet beträgt $\ Z_1 = 3.800 $. Dieser ist größer als die dadurch entstehenden Kosten und zwar um $2.500€ - 1.800€ = 700€$
Dies ist der Grenzeinzahlungsüberschuss Z.

Daraus folgt, dass in der Periode n=0 die Nutzungsdauer um min. eine weitere verlängert wird, weil die Erträge die Kosten übersteigen.

Analog rechnet man für die 1. Perioden (n=1). Zur Übung rechne doch bis zu dem Punkt, bis sich eine Verlängerung nicht mehr lohnt.

Vertiefung

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Berechnung der Grenzeinzahlungsüberschüsse  weiterer Perioden:

n = 1
Die Kosten der Verlängerung:
$\ (L_1-L_2)+ i \cdot L_1 = (4.500 - 3.000) + 0,05 \cdot 4.500 = 1.725 $.

Die Erträge der Verlängerung belaufen sich auf $2.250 €$

Somit wird in $n = 1$ die Nutzungsdauer um wenigstens eine Periode verlängert.

n = 2
Die Kosten der Verlängerung:
$\ (L_1-L_2)+ i \cdot L_1 = (3.000 - 1500) + 0,05 \cdot 3000 = 1.650 $.

Die Erträge der Verlängerung belaufen sich auf $1.750 €$

Ergo wird auch in $n = 2$ die Nutzungsdauer um min. eine Periode verlängert.

n = 3
sieht es anders aus: die Erträge der Weiterführung sind mit $\ Z_4 = 750\ € $ niedriger als die Kosten mit $1.575 €$. Damit wird in $n = 3$ die Nutzung nicht um eine Periode verlängert, die optimale Nutzungsdauer ist $n* = 3$.

Hier nochmals die Erträge, Kosten und Grenzeinzahlungsüberschüsse der einzelnen Perioden:

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Tab. 24: Optimale Nutzungsdauer, Methode Grenzeinzahlungsüberschüsse

Video

Video: Optimale Nutzungsdauer bei einmaliger Durchführung einer Investition