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Makroökonomie - Grenzrate der Substitution im Totalmodell

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Makroökonomie

Grenzrate der Substitution im Totalmodell

Dies führt auf den Begriff der Grenzrate der Substitution, z.B. $ \frac {dN}{dK}$.

Beispiel

Es sei eine Produktionsfunktion $Y = N^{0,5}*K^{0,5}$ gegeben.

a) Berechne die Grenzrate der Substitution $ \frac {dN}{dK}$ an der Stelle $N = 4$, $K = 9$.

b) Was sagt sie aus?

Wir berechnen die Grenzrate wie folgt:

KOCHREZEPT:

1. Setze den Output konstant.

2. Löse nach einer der beiden Variablen auf, hier nach N

3. Leite nach K ab

4. Setze die gewünschte Stelle ein.

Man rechnet $N = \frac {Y²}{K}$. Dies ergibt nach K abgeleitet $ \frac {dN}{dK} = -\frac {Y²}{K²} $. Setzt man dann Y ein, so erhält man$\frac {dN}{dK}=-\frac{(N^{0,5}*K^{0,5})²}{K²}=- \frac {-N*K}{K²}=- \frac {N}{K}$. An der Stelle $(N,K) = (4,9)$ erhält man also $ \frac {dN}{dK} = \frac {-4}{9} = -0,4444$.

Also: wenn das Kapital K um eine ME erhöht wird, dann kann man auf 0,44 ME Arbeit verzichten und erhält trotzdem denselben Output. 

Diese Behauptung rechnen wir nach: der Output liegt in der Situation $(N,K) = (4,9)$ bei $ Y = 4^{0,5}* 9^{0,5}= 2 · 3 = 6$. Wenn nun vom Kapital eine ME weniger eingesetzt wird und $0,44 ME$ zusätzlich von $N$, so liegt der Output bei $ Y =\frac{ N^{0,5}}{K^{0,5}}= Y = 4,44^{0,5}* 8^{0,5}= 5,9628$. Dies ist ungefähr gleich 6.

Merke

Die Tatsache, dass dies nur ungefähr und nicht exakt stimmt, liegt darin begründet, dass die obige Aussage nicht für eine (ganze) Mengeneinheit gilt, sondern lediglich für eine unendlich kleine (= marginale) Mengeneinheit.