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Makroökonomie - Grenzrate der Substitution im Totalmodell

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Makroökonomie

Grenzrate der Substitution im Totalmodell

Folgend wird die Grenzrate der Substitution näher thematisiert, z.B. $ \frac {dN}{dK}$.

Rechenbeispiel Grenzrate der Substitution

Beispiel

Es liegt eine Produktionsfunktion von $Y = N^{0,5}*K^{0,5}$ vor.

a) Zu berechnen ist die Grenzrate der Substitution $ \frac {dN}{dK}$ an der Stelle $N = 4$, $K = 9$.

b) Was wird damit ausgesagt?

Zu berechnen ist die Grenzrate wie folgt:

Expertentipp

SCHEMA:

1. Setze den Output konstant.

2. Löse nach N bzw. einer der beiden Variablen auf.

3. Leite nach K ab.

4. Setze die gewünschte Stelle ein.

Zu rechnen ist $N = \frac {Y²}{K}$. Nach K abgeleitet wird $ \frac {dN}{dK} = -\frac {Y²}{K²} $.

Beim Einsetzen von Y erhält man $\frac {dN}{dK}=-\frac{(N^{0,5}*K^{0,5})²}{K²}=- \frac {-N*K}{K²}=- \frac {N}{K}$.

An der Stelle $(N,K) = (4,9)$ erhält man demnach $ \frac {dN}{dK} = \frac {-4}{9} = -0,4444$.

Merke

Wird das Kapital (K) um eine ME erhöht, kann auf 0,44 ME Arbeit verzichtet werden und erhält dennoch den selben Output.

Proberechnung zur Bestätigung der Lösungsinterpretation

Die Behauptung wird zur Kontrolle nachgerechnen: Der Output liegt in der Situation.

$(N,K) = (4,9)$ bei $ Y = 4^{0,5}* 9^{0,5}= 2 · 3 = 6$.

Wird nun vom Kapital eine ME weniger eingesetzt und $0,44 ME$ zusätzlich von $N$, dann liegt der Output bei $ Y =\frac{ N^{0,5}}{K^{0,5}}= Y = 4,44^{0,5}* 8^{0,5}= 5,9628$.

Dies ergibt ungefähr 6.

Hinweis

Die obige Aussage gilt nicht für eine ganze Mengeneinheit, sondern nur für eine marginale (unendlich kleine) Mengeneinheit. Deshalb stimmt es nur ungefähr und nicht exakt.