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Grundlagen der Mikroökonomie - Die mathematische Bestimmung bei einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

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Grundlagen der Mikroökonomie

Die mathematische Bestimmung bei einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

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Optimales Güterbündel bei einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

Schließlich wenden wir uns noch der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion zu. Einem der üblichen Fälle mit denen wir es zu tun haben.

Beispiel

Beispiel 

$\ m = 90 $,
$\ p_1 = 2 $,
$\ p_2 = 5 $
Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: $$\ u(x_1; x_2)=x_1^2 \cdot x_2^1 $$

Wir nutzen dieselbe Vorgehensweise wie bei den perfekten Substituten. Zuerst wird die MRS bestimmt. Die Ableitung der Nutzenfunktion nach $\ x_1 $ lautet: $\ MU_1= 2x_1 \cdot x_2 $, die nach $\ x_2: MU_2= x_1^2 $.
Um die MRS zu bekommen teilen wir $\ MU_1 $ durch $\ MU_2: MRS = {2 \cdot x_1 \cdot x_2 \over x_1^2} = {2 \cdot x_2 \over x_1} $. Die Steigung der Budgetgeraden lautet: $\ {p_1 \over p_2} = {2 \over 5} $. Beides wird gleichgesetzt und umgeformt nach $\ x_1 $ oder $\ x_2 $. $$\ \begin{align} & {p_1 \over p_2} = MRS \\ & \Leftrightarrow {p_1 \over p_2} = { MU_1 \over MU_2} \\ & \Leftrightarrow {2 \over 5} = {2 \cdot x_2 \over x_1}\\ & \Leftrightarrow {1 \over 5} \cdot x_1 = x_2 \end{align} $$ Hiermit ersetzten wir das $\ x_2 $ in der Formel für die Budgetbeschränkung und erhalten eine Gleichung mit einer Unbekannten, die leicht zu lösen ist. $$\ \begin{align} & 90=2x_1 + 5 \cdot {1 \over 5} x_1 \\ & 90=2x_1 + x_1 \\ & 90=3x_1 \\ & 30=x_1 \end{align} $$ Die optimale Menge für $\ x_1 $ kann wieder in die Budgetgerade eingesetzt werden, um $\ x_2 $ zu errechnen, $\ x_2=6 $.

Die Berechnung des Haushaltsoptimums bei einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion wird in diesem Video nochmals zur Verdeutlichung vorgerechnet.

Lernvideo - Berechnung des Haushaltsoptimums

Video: Die mathematische Bestimmung bei einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

Letzlich lässt sich das Haushaltsoptimum auch bei einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion auf dem mathematischen Weg bestimmen.

Es gibt noch einen weiteren, etwas informelleren, Weg zur Bestimmung der Gütermengen.
Dazu werfen wir einen Blick auf die Exponenten, in unserem Fall "2" (für $\ x_1 $) und "1" (für $\ x_2 $). Sie werden addiert und in Verhältnis gesetzt zu den einzelnen Exponenten, also für $\ x_1= {2 \over 3} $ und für $\ x_2= {1 \over 3} $. Diese Zahlen geben an, wie der Konsument sein Einkommen auf die Güter verteilt, zu $\ {2 \over 3} $ auf Gut 1 und zu $\ {1 \over 3} $ auf Gut 2.
Für unser Beispiel ergibt das $\ x_1=90 \cdot {2 \over 3}=60 $ und $\ x_2= 90 \cdot {1 \over 3}=30 $. Dies geteilt durch die Preise ergibt wieder (30; 6). Dies gilt für alle möglichen Exponenten. Auf die genaue Herleitung verzichten wir.