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Optimales Güterbündel bei einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion
Schließlich wenden wir uns noch der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion zu. Einem der üblichen Fälle mit denen wir es zu tun haben.
Beispiel
$\ m = 90 $,
$\ p_1 = 2 $,
$\ p_2 = 5 $
Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: $$\ u(x_1; x_2)=x_1^2 \cdot x_2^1 $$
Wir nutzen dieselbe Vorgehensweise wie bei den perfekten Substituten. Zuerst wird die MRS bestimmt. Die Ableitung der Nutzenfunktion nach $\ x_1 $ lautet: $\ MU_1= 2x_1 \cdot x_2 $, die nach $\ x_2: MU_2= x_1^2 $.
Um die MRS zu bekommen teilen wir $\ MU_1 $ durch $\ MU_2: MRS = {2 \cdot x_1 \cdot x_2 \over x_1^2} = {2 \cdot x_2 \over x_1} $. Die Steigung der Budgetgeraden lautet: $\ {p_1 \over p_2} = {2 \over 5} $. Beides wird gleichgesetzt und umgeformt nach $\ x_1 $ oder $\ x_2 $. $$\ \begin{align} & {p_1 \over p_2} = MRS \\ & \Leftrightarrow {p_1 \over p_2} = { MU_1 \over MU_2} \\ & \Leftrightarrow {2 \over 5} = {2 \cdot x_2 \over x_1}\\ & \Leftrightarrow {1 \over 5} \cdot x_1 = x_2 \end{align} $$ Hiermit ersetzten wir das $\ x_2 $ in der Formel für die Budgetbeschränkung und erhalten eine Gleichung mit einer Unbekannten, die leicht zu lösen ist. $$\ \begin{align} & 90=2x_1 + 5 \cdot {1 \over 5} x_1 \\ & 90=2x_1 + x_1 \\ & 90=3x_1 \\ & 30=x_1 \end{align} $$ Die optimale Menge für $\ x_1 $ kann wieder in die Budgetgerade eingesetzt werden, um $\ x_2 $ zu errechnen, $\ x_2=6 $.
Berechnung des Haushaltsoptimums
Die Berechnung des Haushaltsoptimums bei einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion wird in diesem Video nochmals zur Verdeutlichung vorgerechnet.
Lernvideo - Berechnung des Haushaltsoptimums
Es gibt noch einen weiteren, etwas informelleren, Weg zur Bestimmung der Gütermengen.
Dazu werfen wir einen Blick auf die Exponenten, in unserem Fall "2" (für $\ x_1 $) und "1" (für $\ x_2 $). Sie werden addiert und in Verhältnis gesetzt zu den einzelnen Exponenten, also für $\ x_1= {2 \over 3} $ und für $\ x_2= {1 \over 3} $. Diese Zahlen geben an, wie der Konsument sein Einkommen auf die Güter verteilt, zu $\ {2 \over 3} $ auf Gut 1 und zu $\ {1 \over 3} $ auf Gut 2.
Für unser Beispiel ergibt das $\ x_1=90 \cdot {2 \over 3}=60 $ und $\ x_2= 90 \cdot {1 \over 3}=30 $. Dies geteilt durch die Preise ergibt wieder (30; 6). Dies gilt für alle möglichen Exponenten. Auf die genaue Herleitung verzichten wir.
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