Die Engel-Kurve

Aus der EinkommenskonsumKurve können wir eine weitere Beziehung ableiten, die sogenannte Engel-Kurve. Sie zeigt die Beziehung zwischen dem Einkommen und der Nachfrage nach einem Gut. Dementsprechend zeichnen wir diese Kurve in ein $\ (x_1; m) $-Diagramm ein. 

Die Engel-Kurve wurde bereits im 19. Jahrhundert von Ernst Engel entwickelt. In der einschlägigen Literatur wird der von Engel beschriebene Zusammenhang auch Engelsches Gesetz genannt. Das engelsche Gesetz ist eine von ihm erstmals beschriebene Gesetzmäßigkeit, dass der Einkommensanteil, den ein Privathaushalt für die Ernährung ausgibt, mit steigendem Einkommen sinkt. Dieser Zusammenhang ist im Übrigen vielfach empirisch nachgewiesen. Der Anteil des für die Ernährung ausgegebenen Einkommens wird auch Engel-Koeffizient genannt.

Wieder wenden wir uns den bekannten Fällen zu, um zu sehen, welche Form die Engel-Kurve hat.

Engel-Kurve bei unterschiedlichen Präferenzen

Bei perfekten Substituten wird bei einer Randlösung nur ein Gut konsumiert. Das gesamte Einkommen wird für das Gut ausgegeben, welches der Konsument als Bestes ausgewählt hat. Es muss demnach folgende Formel gelten: $\ m=p_i \cdot x_i $. Die Engel-Kurve ist hier also eine Gerade mit der Steigung $\ p_i $.

Bei den perfekten Komplementen machen wir uns einen Trick zunutze. Wir gehen denselben Weg, als wenn wir die optimale Konsummenge von $\ x_1 $ und $\ x_2 $ berechnen, außer dass wir nun das Einkommen m nicht als Zahlenwert, sondern als Variable angeben.

Beispiel und Berechnung

Dazu folgendes allgemeines Beispiel für die Engel-Kurve $\ x_1: u(x_1;\ x_2)=min (ax_1;\ bx_2);\ m=p_1x_1+p_2x_2 $.
Das Einsatzverhältnis beträgt: $\ x_2={a \over b} \cdot x_1 $. Dies setzen wir in die Budgetgerade ein:
$\ m=p_1x_1+p_2 \cdot {a \over b} \cdot x_1 \Leftrightarrow m=x_1(p_1+p_2 \cdot {a \over b}) $
Und schon haben wir die erste der beiden Engel-Kurven. Für $\ x_2 $ sähe die Funktion parallel so aus:
$$\ m=x_2(p_1\cdot{b\over a}+p2) $$ Auch in diesem Fall ist die Engel-Kurve eine Gerade.

Kommen wir zu den Cobb-Douglas-Präferenzen. Hier gehen wir wieder den genau gleichen Weg wie zuvor.

$\large{m=p_1x_1+p_2x_2;\ u(x_1; x_2)=x_1^y \cdot x_2^z}$

$\large{MU_1=y \cdot x_1^{(y-1)}\cdot x_2^z}$

$\large{MU_2=z \cdot x_1^y \cdot x_2^{(z-1)}}$

$\large{MRS={y \cdot x_1^{(y-1)} \cdot x_2^z \over z \cdot x_1^y \cdot x_2^{(z-1)}}}$

$\large{MRS={y \over z} \cdot {x_2 \over x_1}}$

$\large{MRS={p_1 \over p_2} \Leftrightarrow {y \over z} \cdot {x_2 \over x_1}={p_1 \over p_2} \Leftrightarrow x_2={p_1 \over p_2} \cdot {z \over y} \cdot x_1}$

Einsetzen in die Budgetgerade:

$\large{m=p_1x_1+p_2 \cdot {p_1 \over p_2} \cdot {z \over y} \cdot x_1}$ ($\large{p_2} $ kürzt sich weg)

$\large{m=p_1x_1+p_1 \cdot {z \over y} \cdot x_1}$ ($\large{p_1x_1}$ ausklammern)

$\large{m=p_1x_1(1+{z \over y})}$

(Nun folgt noch ein kleiner "Trick". Wir schreiben die "1" in der Klammer als "$\ {y \over y} $", um innerhalb der Klammer addieren zu können.)

$\large{m=p_1x_1({y \over y} +{z \over y}) \Leftrightarrow m=p_1x_1({y+z \over y})}$

Dies ist die Funktion der Engel-Kurve für Gut 1.

Alle Engel-Kurven, die wir bisher kennengelernt haben, sind Geraden. Das muss nicht immer der Fall sein. In den Beispielen ist es nur so, weil die Nachfrage nach einem Gut mit der Erhöhung des Einkommens proportional steigt, also im selben Verhältnis. In der Fachsprache heißt diese Eigenschaft "homothetisch".

Engel-Kurve bei notwendigen Gütern und bei Luxusgütern

Es gibt aber natürlich auch Ausnahmen und zwar notwendige Güter und Luxusgüter.

Engel-Kurve für Luxusgüter

Engel-Kurve für notwendige Güter

Bei notwendigen Gütern kauft der Verbraucher mit steigendem Einkommen unterproportional mehr. Dies ist zum Beispiel der Fall bei Lebensmitteln. Jemand dem nur 700€ pro Monat zum Leben zur Verfügung stehen, wird mit einen größeren Anteil davon Lebensmittel kaufen, als jemand der über 3.000€ verfügt.

Das Gegenteil geschieht bei Luxusgütern. Hier wird überproportional mehr gekauft, denn der Verbraucher kann sich diese Güter nun leisten, ohne auf wichtige Dinge verzichten zu müssen.