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Grundlagen der Mikroökonomie - Gewinnmaximierung bei zwei variablen Faktoren

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Grundlagen der Mikroökonomie

Gewinnmaximierung bei zwei variablen Faktoren

Das Beispiel bleibt hier das selbe wie bei der vorherigen Gewinnmaximierung mit einem variablen Faktor, allerdings ist nun der zweite Faktor ebenfalls variabel und damit nicht vorgegeben.

Beispiel

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$\ f(x_1; x_2) = 3x_1^{3/4} \cdot x_2^{1/3} $
$\ p = 4 $
$\ w_1 = 9 $
$\ w_2 = 12 $

Sind beide Faktoren beeinflussbar, müssen sie simultan bestimmt werden, da die gewinnmaximale Einsatzmenge eines Faktors abhängig ist von der Einsatzmenge des anderen Faktors und umgekehrt. Also haben wir hier ein Zirkelproblem.

Zur mathematischen Bestimmung könnten wir wieder die Gewinnfunktion aufstellen, was wir aber überspringen. Hier gehen wir direkt zur Bestimmung der Grenzprodukte über.

$\ MP1 = {df(x_1;x_2) \over {dx_1}} = 2,25x_1^{-1/4} \cdot x_2^{1/3} $
$\ MP2 = {df(x_1;x_2) \over {dx_2}} = x_1^{3/4} \cdot x_2^{-2/3} $

Beim vorherigen Beispiel hatten wir festgehalten, dass ein Faktor im Optimum mit seinen Grenzkosten entlohnt wird. Dazu muss das Grenzprodukt mit dem Outputpreis bewertet werden um das Wertgrenzprodukt zu erhalten, was dann gleichgesetzt wird mit seinen Kosten [$\ p \cdot MP = w $].
Der Preis des Outputs beträgt $\ p = 4 $ und die Kosten für die beiden Inputfaktoren $\ w_1 = 9 $ und $\ w_2 = 12 $. Somit erhalten wir:
$\ 4 \cdot 2,25x_1^{-1/4} \cdot x_2^{1/3} = 9 $
$\ 4 \cdot x_1^{3/4} \cdot x_2^{-2/3} = 12 $
Der nächste Schritt ist die Bestimmung von $\ x_1 $ und $\ x_2 $. Mit welcher Formel man arbeitet ist egal.

Bestimmung von $\ x_1 $ aus $\ 4 \cdot 2,25x_1^{-1/4} \cdot x_2^{1/3} = 9 $
$\ 9 \cdot x_1^{-1/4} \cdot x_2^{1/3} = 9 $ |:9
$\ x_1^{-1/4} \cdot  x_2^{1/3} = 1 $ |$\ :x_2^{1/3} $ oder $\ \cdot x_2^{-1/3} $
$\ x_1^{-1/4} = x_2^{-1/3} $ |quadrieren mit -4 (dem Kehrwert von -1/4)
$\ x_1 = x_2^{4/3} $

Damit haben wir $\ x_1 $ errechnet. Das gleiche Spiel nochmal mit $\ x_2 $.
$\ 4 \cdot x_1^{3/4} \cdot x_2^{-2/3} = 12 $ |:4
$\ x_1^{3/4} \cdot x_2^{-2/3} = 3 $ |$\:x_1^{3/4} $ oder $\ x_1^{-3/4} $
$\ x_2^{-2/3} = 3 \cdot x_1^{-3/4} $ |quadrieren mit  $\ {-3 \over 2 } $
$\ x_2 = 3^{-3/2} \cdot x_1^{9/8} $
Nachdem beide Faktoren bestimmt sind, kommt der finale Schritt. Mit einer der beiden Gleichungen wird in der anderen der jeweilige Faktor ersetzt.
Hier ersetzen wir mit $\ x_2 = 3^{-3/2} \cdot x_1^{9/8} $ das $\ x_2 $ in $\ x_1  = x_2^{4/3} $.

$\ x_1 = (3^{-3/2} \cdot x_1^{9/8})^{4/3} $
$\ x_1 = 3^{-2} \cdot x_1^{3/2} $ | $\ x_1^{-3/2} $
$\ x_1 \cdot x_1^{-3/2} = {1 \over 9} $
$\ x_1^{-1/2} = {1 \over 9} $ |quadrieren mit -2
$\ x_1 = 81 $
Mit dem Ergebnis für $\ x_1 $ kann auch leicht $\ x_2 $ errechnet werden, dazu einfach $\ x_1 = 81 $ in $\ x_2 = 3^{-3/2} \cdot x_1^{9/8} $ einsetzen. Das Ergebnis hier lautet $\ x_2 = 27 $.
Ein anderer, aber umständlicherer, Weg wäre die Rechnung andersrum nochmal zu machen. Wird zur Übung allerdings empfohlen.