In diesem Teil soll die Gewinnmaximierung mit einem variablen Faktor geübt werden. Die Lösungen finden sich weiter unten auf der Seite. Natürlich sollte zuerst versucht werden, die Aufgabe selbstständig zu lösen.
Beispiel
Folgende Daten sind gegeben:
$\ y = f(x) = 12x^{0,5} $
$\ p = 9 $
$\ w = 3 $
Fragen:
1. Wie lautet die Isogewinnfunktion für einen Gewinn von 1.800?
2. Wie lautet das Grenzprodukt des Inputfaktors x?
3. Wieviele Einheiten von x werden eingesetzt, um den Gewinn zu maximieren?
4. Wie hoch ist der Gewinn?
Lösungen sind weiter unten zu finden.
Antworten:
allgemein:
$\ G=p \cdot y - w \cdot x $ Zahlen einsetzen und nach y auflösen
$\ 1800 = 9 \cdot y - 3 \cdot x $
$\ 200 = y - {1 \over 3} \cdot x $
$\ 200 + {1 \over 3} \cdot x = y $
oder erst nach y auflösen und dann Zahlen einsetzen:
$\ y = {G \over p} + {w \over p} \cdot x = {1.800 \over 9} + {3\over 9} \cdot x = 200 + {1 \over 3} \cdot x $
2. Grenzprodukt
$\ y= 12x^{0,5} $ ableiten nach x
$\ MP = 6x^{-0,5} $ $ ^{-0,5}$ <1 fallende Skalenerträge: Eine Verdopplung des Inputs führt nur zu einer unterproportionalen Zunahme des Outputs
3. Gewinnmaximierung
$\ G= 9 \cdot 12x^{0,5} -3x= 108x^{0,5} -3x $ nach x ableiten
$\ 54x^{-0,5} -3 = 0 $
$\ 54x^{-0,5} = 3 $
$\ x^{-0,5} = {1 \over 18} $
$\ x = {1 \over 18} ^{-2} = 324 $ optimale Menge
4. Höhe des Gewinns
Optimale Menge in Gewinnfunktion einsetzen
$\ G = p \cdot y - w \cdot x = 9 \cdot 12x^{0,5} - 3x = 9 \cdot 12 \cdot 324^{0,5} - 3 \cdot 324 = 972 $
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