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Grundlagen der Mikroökonomie - Übung Gewinnmaximierung mit einem variablen Faktor

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Grundlagen der Mikroökonomie

Übung Gewinnmaximierung mit einem variablen Faktor

In diesem Teil soll die Gewinnmaximierung mit einem variablen Faktor geübt werden. Die Lösungen finden sich weiter unten auf der Seite. Natürlich sollte zuerst versucht werden, die Aufgabe selbstständig zu lösen.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen


Folgende Daten sind gegeben:
$\ y = f(x) = 12x^{0,5} $
$\ p = 9 $
$\ w = 3 $

Fragen:

1. Wie lautet die IsoGewinnfunktion für einen Gewinn von 1.800?

2. Wie lautet das Grenzprodukt des Inputfaktors x?

3. Wieviele Einheiten von x werden eingesetzt, um den Gewinn zu maximieren?

4. Wie hoch ist der Gewinn?

Lösungen sind weiter unten zu finden.




































Antworten:

1. Isogewinnlinie

allgemein:

$\ G=p \cdot y - w \cdot x $   Zahlen einsetzen und nach y auflösen

$\ 1800 = 9 \cdot y - 3 \cdot x $

$\ 200 = y - {1 \over 3} \cdot x $

$\ 200 + {1 \over 3} \cdot x = y $

oder erst nach y auflösen und dann Zahlen einsetzen:

$\ y = {G \over p} + {w \over p} \cdot x = {1.800 \over 9} + {3\over 9} \cdot x = 200 + {1 \over 3} \cdot x $


2. Grenzprodukt

$\ y= 12x^{0,5} $ ableiten nach x

$\ MP = 6x^{-0,5} $                    $ ^{-0,5}$  <1      fallende Skalenerträge: Eine Verdopplung des Inputs führt nur zu                                                                       einer unterproportionalen Zunahme des Outputs

3. Gewinnmaximierung

$\ G= 9 \cdot 12x^{0,5} -3x= 108x^{0,5} -3x $ nach x ableiten

$\ 54x^{-0,5} -3 = 0 $

$\ 54x^{-0,5} = 3 $

$\ x^{-0,5} = {1 \over 18} $

$\ x = {1 \over 18} ^{-2} = 324 $ optimale Menge


4. Höhe des Gewinns 

Optimale Menge in Gewinnfunktion einsetzen

$\ G = p \cdot y - w \cdot x = 9 \cdot 12x^{0,5} - 3x =  9 \cdot 12 \cdot 324^{0,5} - 3 \cdot 324 = 972 $