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Grundlagen der Mikroökonomie - Übung Gewinnmaximierung mit zwei variablen Faktoren

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Grundlagen der Mikroökonomie

Übung Gewinnmaximierung mit zwei variablen Faktoren

In dieser Übung geht es um die Gewinnmaximierung mit zwei variablen Faktoren.

Beispiel

Die Produktionsfunktion für ein Unternehmen lautet:
$\ y = f(x_1; x_2) = 4 \cdot x_1^{0,5} \cdot x_2^{0,25} $
Der Verkaufspreis des Produktes liegt bei 8€, der Preis für den Rohstoff 1 liegt bei 4€, der für den zweiten bei 2€.

Fragen:
1. Wie lauten die Grenzprodukte MP1 und MP2?

2. Hat der Inputfaktor 1 steigende oder fallende Grenzerträge?

3. Wie lautet die Gewinnfunktion?

4. Wieviele Einheiten von $\ x_1 $ bzw. von $\ x_2 $ werden eingesetzt und wieviele Einheiten des Endproduktes werden hergestellt?

5. Der Verkaufspreis sinkt nun von 8 auf 6€ pro Stück, wohingegen der Preis für den Inputfaktor 2 wegen einer Verknappung auf 12 ansteigt. Wie viele Einheiten von y werden nun hergestellt und wie hoch ist der Gewinn?

Lösungen weiter unten.



































Antworten:
1. $\ MP1 = 2 \cdot x_1^{-0,5} \cdot x_2^{0,25} = 2 \cdot {x_2^{0,25} \over {x_1^{0,5}}} $
    $\ MP2 = x_1^{0,5} \cdot x_2^{-0,75} = {x_1^{0,5} \over {x_2^{0,75}}} $

2. Fallende Grenzerträge

3. $\ G = p \cdot f(x_1; x_2) - w_1 \cdot x_1 - w_2 \cdot x_2
    = 8 \cdot 4x_1^{0,5} \cdot x_2^{0,25} -4 \cdot x_1 - 2 \cdot x_2
    = 32 \cdot x_1^{0,5} \cdot x_2^{0,25} - 4 x_1 - 2x_2 $

4. $\ x_1 = 256 ; x_2 = 256; y = 256 $

5. $\ y = 18; G = 27 $