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Grundlagen der Mikroökonomie - Funktionen mit zwei Variablen

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Grundlagen der Mikroökonomie

Funktionen mit zwei Variablen

Einige Funktionen, denen wir begegnen, sind von zwei Variablen abhängig. Diese Funktionen können fast genauso abgeleitet werden wie Funktionen mit einer Variablen. Der "Trick" ist, einfach eine der Variablen als Konstante anzusehen.

Allgemein:



Diese Funktion soll nun nach $\ x_1 $ und $\ x_2 $ abgeleitet werden.

Ableitung nach $\ x_1 $:



Die Potenz der Variablen wird als multiplizierender Faktor vor die Funktion geschrieben und die Potenz um 1 reduziert. Die andere Variable bleibt unberührt.

Analog ergibt die Ableitung nach $\ x_2 $:



In diesem Beispiel sind beide Variablen Multiplikatoren.

Partielle Ableitungen dividieren

Es wird häufiger vorkommen, dass wir eine der beiden partiellen Ableitungen durch die andere teilen und gleich einem Wert setzen. Die beiden Funktionen zu dividieren ist allerdings leichter als es zuerst scheint.
Dividieren wir beide Funktionen beispielhaft und setzen sie gleich dem Verhältnis $\ s \over t $.



a kürzt sich weg; der Teil unter dem Bruchstrich wird umgeschrieben, siehe dazu die Umformungen am Ende des vorherigen Matheteils!



Die Vorzeichen der Potenzen des Teils unter dem Bruchstrich haben sich umgekehrt und der Bruchstrich wurde zum "Mal-Punkt".

Werden gleiche Variablen wie x und x multipliziert, addieren sich ihre Potenzen. Somit wird die lange Funktion zu einer einfachen Additionsaufgabe.



Sieht schon besser aus. Nutzen wir noch einmal die Umformungen, so erhalten wir:



Ein letzter Punkt soll noch angesprochen werden. Eine Funktion der folgenden Form soll nach einer der beiden Variablen aufgelöst werden:



Solch eine Funktion können wir zum Beispiel durch partielles Ableiten erhalten. Dann liegen aber zwei davon vor. Durch das Auflösen nach einer Variablen kann in der anderen Funktion dann diese Variable ersetzt werden.

Die Funktion soll beispielhaft nach x aufgelöst werden:

Zuerst stellen wir nur ein wenig um:



Durch b dividieren und es ergibt sich folgende Zeile:



Nun fehlt nur noch die Potenz s von x. Dazu müssen beide Seiten der Gleichung mit dem Kehrwert von s, also $\ 1\over s $ potenziert werden.