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Grundlagen der Mikroökonomie - Mathematische Bestimmung der Skalenerträge

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Grundlagen der Mikroökonomie

Mathematische Bestimmung der Skalenerträge

Wie gehen wir nun die mathematische Bestimmung von Skalenerträgen an? Wir werden uns dies zuerst allgemein an einem Beispiel anschauen und danach die konkreten Fälle betrachten.

Hier nochmal die drei verschiedenen Möglichkeiten:
1. konstante Skalenerträge:$\ f(λx_1; λx_2) = λf(x_1; x_2) $

2. fallende Skalenerträge:  $\ f(λx_1; λx_2) > λf(x_1; x_2) $

3. steigende Skalenerträge: $\ f(λx_1; λx_2) < λf(x_1; x_2) $

Auf der linken Seite sehen wir die Erhöhung des Inputs, auf der rechten Seite die Erhöhung des Outputs.

Aus dem letzten Satz ergibt sich auch schon das Vorgehen. Dazu setzen wir den Vorfaktor λ zum einen vor den gesamten Output und zum anderen vor den jeweiligen Inputfaktor. Das bedeutet nichts weiter, als das wir den Input um den Faktor λ (z.B. 2, 3 oder jeden x-beliebigen Wert) erhöhen. Nun erwarten wir z.B. im ersten Fall (konstante Skalenerträge), dass sich auch der Output um den Faktor λ erhöht.

Als Beispiel nehmen wir folgende Funktion an:

$\ f(x_1;x_2) = x_1^a \cdot x_2^b $

Zuerst wird der Faktor λ für beide Seiten eingesetzt:
$\ λ (x_1^a \cdot x_2^b) = (λx_1)^a \cdot (λx_2)^b $
Das Gleichheitszeichen zwischen beiden Gleichungen ist im Folgenden völlig unbestimmt. Es könnte auch ein „> ” oder ein „ < ”.
Im nächsten Schritt lösen wir die Klammern auf der rechten Seite auf. Die linke Seite wird vorerst ignoriert:
$\ λ^a \cdot x_1^a \cdot λ^b \cdot x_2^b $

Kurz vereinfachen und umstellen:
$\ λ^{(a+b)} \cdot x_1^a \cdot x_2^b $

Der letzte Teil der Funktion mit $\ x_1 $ und $\ x_2 $ ist gleich der unveränderten Funktion $\ f(x_1;x_2) $. Ein Zwischenziel ist erreicht. Die nun folgenden Umformungen sind weniger wichtig, erst der Schluss wird wieder interessant.

Auf beide Seiten wird der natürliche Logarithmus angewandt:
$\ ln(λ) + ln(x_1^a \cdot x_2^b) = (a+b) \cdot ln(λ) + ln(x_1^a \cdot x_2^b) $
Auf beiden Seiten ist der letzte Term gleich. Wir können ihn daher abziehen. Außerdem können wir durch „ln(λ)” teilen.

Damit erhalten wir: 1 = a + b

Die ist der zentrale Ausdruck den wir benötigen. Ist die Summe der beiden Exponenten kleiner 1, haben wir fallende Skalenerträge. Ist er gleich 1, sind die Skalenerträge konstant und bei größer 1 sind sie schließlich steigend.

Ein letztes Zahlenbeispiel zum Verständnis. Diesmal sei λ=2 und die Funktion laute: $\ f(x_1;x_2)= x_1^2 \cdot x_2^2 $. Die Summe der Exponenten ergibt zusammen vier und ist damit größer als 1. Es liegen steigende Skalenerträge vor. Das liegt daran, dass wenn wir die jeweiligen Exponenten auf λ=2 anwenden, sich der Faktor 4 für jeden Inputfaktor ergibt. Für beide zusammen damit 16. Insgesamt versechzehnfacht sich der Output in unserem (etwas unrealistischem) Beispiel, wenn beide Inputfaktoren nur verdoppelt werden. Jeder kann dies nachprüfen, in dem er beliebig Werte für $\ x_1 $ und $\ x_2 $ einsetzt, mal mit, mal ohne λ. Analog gilt diese Überlegung für konstante und steigende Skalenerträge natürlich auch.