Zunächst versuchen wir, das
Kalkül des Simplex-Algorithmus, danach
die Zahlen der Tableaus
zu verstehen.
Methode
1. Bestimme die Pivot-Spalte
Suche hierzu die Spalte mit dem größten Zielfunktionskoeffizienten
2. Bestimme die Pivot-Zeile
•teile alle Elemente der rechten Seite durch die – streng positiven – Elemente der Pivot-Spalte
•nimm das Minimum der Zahlen aus a.
3. Bestimme das Pivot-Element
Dies befindet sich im Schnittpunkt aus Pivotspalte und Pivotzeile
4. Dividiere die Elemente der Pivotzeile durch das Pivotelement
Dadurch wird das Pivotelement zu eins
5. Mache alle Elemente der Pivotspalte – mit Ausnahme des Pivotelements selbst – zu null
Subtrahiere geeignete Vielfache der Pivotzeile von den jeweiligen Zeilen des Tableaus.
In unserem ersten Beispiel aus dem Kapitel "Beste Lösung" ist die Pivotspalte bei x1, da der Zielfunktionswert mit 270 maximal ist.
Merke
Dann sucht man die Pivotzeile. Die Elemente der rechten Seite, dividiert durch die Pivotspalte, liefern Quotienten, die ganz rechts eingetragen werden:
x1 | x2 | y1 | y2 | y3 | y4 | RS | Divisionen | |
y1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 60 | 60 : 1 = 60 |
y2 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 150 | - |
y3 | 1 | 0,2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 70 | 70 : 1 |
y4 | 150 | 50 | 0 | 0 | 0 | 1 | 12.500 | 12.500 : 150 = 83,33 |
ZF | 270 | 45 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Tab. 2: Suche nach der Pivotzeile und dem Pivotelement
Minimal ist die Zahl 60, so dass die erste Zeile zur Pivotzeile wird. Das Pivotelement liegt im Drehkreuz aus Pivotspalte und Pivotzeile und ist hier also 1. Der vierte Schritt des obigen Kochrezepts entfällt, da das Pivotelement bereits gleich 1 ist. Mache danach die einzelnen Elemente der Pivotspalte zu null. In der zweiten Zeile rechnet man nichts, da der Eintrag bereits null ist.
In der dritten Zeile
rechnet man III – I = IIIneu
Für die vierte Zeile
kalkuliert man –150·I + IV = IVneu
In der Zielfunktionszeile
- rechnet man ZF – 270·I =ZFneu
Nach diesem Simplex-Schritt erhält man folgendes Tableau:
x1 | x2 | y1 | y2 | y3 | y4 | RS | |
x1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 60 |
y2 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 150 |
y3 | 0 | 0,2 | -1 | 0 | 1 | 0 | 10 |
y4 | 0 | 50 | -150 | 0 | 0 | 1 | 3.500 |
0 | 45 | -270 | 0 | 0 | 0 | -16.200 |
Zum tiefergehenden Verständnis sind noch einige Erklärungen notwendig:
Wir befinden uns im Punkt (E) der Abb. 4, denn es ist x1= 60 und x2= 0.
x1 ist nun Basisvariable, nicht mehr Nichtbasisvariable wie vorher. Gut 1 wird also produziert und Gut 2 nicht (x2 ist weiterhin Nichtbasisvariable). x1 steht deshalb nun auch am linken Rand des Tableaus und nicht mehr lediglich oben.
y1 ist nicht mehr Basis-, sondern Nichtbasisvariable. Es wird also der Wert y1 = 0 zugewiesen. Wenn x1 = 60 ist, dann ist die Absatzkapazität komplett ausgereizt. Mehr Absatz ist beim ersten Produkt nicht möglich.
Bei einer Menge von x1= 60 ME und x2= 0 ME ist der Gewinn G = 270·60 + 45·0 = 16.200 €. Der Wert in der rechten unteren Ecke des Tableaus ist also der Gewinn, der bei Betrachtung der jeweiligen Ecke entsteht.
Methode
Das Minus-Zeichen bedeutet nicht, dass der Gewinn negativ ist!
Zu den restlichen Werten der rechten Seite:
y2= 150
die zweite Absatzkapazität ist noch komplett unausgelastet,
es ist also noch Platz für 150 zu produzierende Mengeneinheiten
y3= 10
auf der Maschine beträgt die Restkapazität noch 10 Minuten
die genutzte Kapazität von 1·60 + 0,2·0 = 60 liegt 10 Minuten unter der maximalen Kapazität von 70
y4= 3.500
es sind noch 3.500 Arbeitsstunden unausgenutzt
die genutzten Arbeitsstunden sind 150·60 + 50·0 = 9.000,
dies liegt 3.500 Stunden unter der maximalen Kapazität von 12.500.
Auch die restlichen Zahlen sind interpretierbar. Hierum kümmern wir uns jedoch erst im Optimaltableau (was allerdings in jedem anderen Tableau auch geht).
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