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Operations Research - Weiterer Simplex-Schritt und Interpretation des Optimaltableaus

Kursangebot | Operations Research | Weiterer Simplex-Schritt und Interpretation des Optimaltableaus

Operations Research

Weiterer Simplex-Schritt und Interpretation des Optimaltableaus

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Aufgrund der „+45“ in der Zielfunktionszeile ist ein weiterer Simplex-Schritt (= Basis-Tausch) vorzunehmen.

  • wegen +45 als größte Zahl in der Zielfunktionszeile ist die Pivotspalte unter x2

  • Spalte der Quotienten: (-, 150, 50, 70)

  • das Mindeste ist 50, demnach ist die Pivotzeile y3 

  • Pivotelement ist 0,2.
 

x1

x2

y1

y2

y3

y4

RS

Q.

x1

1

0

1

0

0

0

60

-

y2

0

1

0

1

0

0

150

150

y3

0

0,2

-1

0

1

0

10

50

y4

0

50

-150

0

0

1

3.500

70

ZF

0

45

-270

0

0

0

-16.200

 

Tab. 4: Suche nach Pivotzeile für zweiten Austauschschritt

Die y3-Zeile wird durch 0,2 geteilt, damit das Pivotelement 1 ergibt. 
Daraus resultiert das folgende Tableau:

 

x1

x2

y1

y2

y3

y4

RS

x1

1

0

1

0

0

0

60

y2

0

1

0

1

0

0

150

y3

0

1

-5

0

5

0

50

y4

0

50

-150

0

0

1

3.500

 

0

45

-270

0

0

0

-16.200

Tab. 5: Tableu mit Pivotelement = 1

Zu rechnen ist:

  • nichts in der 1. Zeile, da schon eine null in der Pivotspalte steht.

  • II – III = IIneu  in der 2. Zeile

  • IV – 50·III = IVneu in der 4. Zeile

  • ZF – 45·III = ZFneu in der ZF-Zeile

Daraus ergibt sich das folgende Optimaltableau:

 

x1

x2

y1

y2

y3

y4

RS

x1

1

0

1

0

0

0

60

y2

0

0

5

1

-5

0

100

x2

0

1

-5

0

5

0

50

y4

0

0

100

0

-250

1

1.000

 

0

0

-45

0

-225

0

-18.450

Tab. 6: Optimaltableau

Zu verstehen sind die Zahlen der

  • Basisvariablen (= Werte der rechten Seite) 

  • Nichtbasisvariablen (= Werte der Zielfunktionszeile)

  • Werte innerhalb des Tableaus

 

1. Werte der rechten Seite

Es gilt für die Basisvariablen:

  • x1 = 60 ME

  • x2 = 50 ME,

  • y2 = 100 ME,

    • es bedeutet, dass der Absatz 100 ME unter dem maximal möglichen ist.

  • y4 = 1.000 Stunden,

    • ungenutzt blieben 1.000 Arbeitsstunden, da: 150·60 + 50·50 = 11.500

    • die Zahl liegt um 1.000 Stunden unter dem maximal möglichen Wert von 12.500.

Merke

Hier klicken zum AusklappenAm rechten Rand sind die Werte der Basisvariablen direkt abzulesen.

2. Werte der Zielfunktionszeile

Es ergibt sich für die Nichtbasisvariablen:

  • y1 = 0, da die erste Absatzrestriktion von x1 ≤ 60, da x1 = 60 ausgelastet ist.

  • y3 = 0, da die Maschinenkapazität 1·60 + 0,2·50 = 70 ausgelastet ist.

Die Nichtbasisvariablen ergeben einen Wert von null (außer bei entarteten Problemen, wie später deutlich wird). Die Werte entsprechen nicht den Zahlen -45 und -225, welche unter ihnen in der Zielfunktionszeile stehen.

Daraus ergibt sich folgendes (gilt nicht für entartete Probleme!):

Expertentipp

Hier klicken zum AusklappenDie Nichtbasisvariablen sind Variablen,

• welchen im entsprechenden Tableau eine null zugeschrieben wird,
• unter welchen in der Zielfunktionszeile eine Zahl ungleich null steht.

Die Basisvariablen sind Variablen,

• welchen im entsprechenden Tableau ein Wert ungleich null zugeschrieben wird
• unter welchen in der Zielfunktionszeile eine null steht
• unter welchen innerhalb des Tableaus Einheitsvektoren stehen (eine eins und ansonsten nur nullen).

Nun beschäftigen wir uns mit dem Maximalgewinn, dieser beträgt:

G = 270·60 + 45·50 = 18.450.

Weiter geht es mit den übrigen Zahlen der Zielfunktionszeile, welche den Zahlen im Tableau selbst entsprechen.

3. Werte innerhalb des Tableaus

Die Nichtbasisvariable y1 (welche null ist), wird auf 1 gesetzt, was soviel bedeutet, dass die Anzahl der möglichen verkauften Mengeneinheiten von Gut a auf 59 verringert werden. Aufgrund der Spalte (1, 5, -5, 100, -45) unter y1 passiert dann folgendes:

  • x1 sinkt um 1,

    • somit kann nur noch 1 ME weniger hergestellt werden

  • y2 sinkt um 5,

    • somit werden 5 ME vom Gut b zusätzlich hergestellt (was wegen „x2 um 5“ steigt)

  • x2 steigt um 5,

    • die Anzahl der produzierten ME von Gut b steigt um 5 (entspricht somit „y2 und sinkt um 5“)

  • y4 sinkt um 100,

    • unausgenutzte Arbeitsstunden sinken um 100 wegen 150·59 + 50·55 = 11.600, d.h. die vorherige „Lücke“ in Höhe von 1.000 (zu 12.500) senkt sich auf 900. Somit wurden 100 Stunden mehr gearbeitet.

  • ZF sinkt um 45,

    • zuvor betrug der ZF-Wert 18.450 und nun ZF = 270·59 + 45·55 = 18.405.
      Wird die Nichtbasisvariable y1 (die null ist) auf 1 gesetzt (uns somit in die Basis übergeht), sinkt der Gewinn um 45 €. Es wäre demnach keine optimale Lösung. Dies ist logisch, da andernfalls die Lösung vorher nicht optimal gewesen wäre. 

Expertentipp

Hier klicken zum AusklappenZu verstehen sind die Zahlen innerhalb des Tableaus immer mit umgekehrtem Vorzeichen (die Basisvariable fällt bei „+“ und steigt bei „-“). Die Zahlen in der Zielfunktionszeile unterhalb der Nichtbasisvariablen sind allerdings für das Verständnis nicht umgedreht zu verstehen, denn bei „-“ sinkt der Gewinn und bei „+“ steigt der Gewinn. 

Zu beachten ist, dass die Interpretation nicht nur für das Optimaltableau möglich ist, sondern, dass das „+“ und "-" Zeichen tatsächlich für alle gelten kann.

Video: Weiterer Simplex-Schritt und Interpretation des Optimaltableaus

Zum tieferen Verständnis des Tableaus ein weiteres Lernvideo:

Video: Weiterer Simplex-Schritt und Interpretation des Optimaltableaus