Weiterer Simplex-Schritt und Interpretation des Optimaltableaus

Aufgrund der „+45“ in der Zielfunktionszeile ist ein weiterer Simplex-Schritt (= Basis-Tausch) vorzunehmen.

• wegen +45 als größte Zahl in der Zielfunktionszeile ist die Pivotspalte unter x₂

• Spalte der Quotienten: (-, 150, 50, 70)

• das Mindeste ist 50, demnach ist die Pivotzeile y₃ 

• Pivotelement ist 0,2.

Die y₃-Zeile wird durch 0,2 geteilt, damit das Pivotelement 1 ergibt. 
Daraus resultiert das folgende Tableau:

Tab. 5: Tableu mit Pivotelement = 1

Zu rechnen ist:

• nichts in der 1. Zeile, da schon eine null in der Pivotspalte steht.

• II – III = II^neu  in der 2. Zeile

• IV – 50·III = IV^neu in der 4. Zeile

• ZF – 45·III = ZF^neu in der ZF-Zeile

Daraus ergibt sich das folgende Optimaltableau:

Zu verstehen sind die Zahlen der

• Basisvariablen (= Werte der rechten Seite) 

• Nichtbasisvariablen (= Werte der Zielfunktionszeile)

• Werte innerhalb des Tableaus

1. Werte der rechten Seite

Es gilt für die Basisvariablen:

• x₁ = 60 ME

• x₂ = 50 ME,

• y₂ = 100 ME,

  • es bedeutet, dass der Absatz 100 ME unter dem maximal möglichen ist.

• y₄ = 1.000 Stunden,

  • ungenutzt blieben 1.000 Arbeitsstunden, da: 150·60 + 50·50 = 11.500

  • die Zahl liegt um 1.000 Stunden unter dem maximal möglichen Wert von 12.500.

2. Werte der Zielfunktionszeile

Es ergibt sich für die Nichtbasisvariablen:

• y₁ = 0, da die erste Absatzrestriktion von x₁ ≤ 60, da x₁ = 60 ausgelastet ist.

• y₃ = 0, da die Maschinenkapazität 1·60 + 0,2·50 = 70 ausgelastet ist.

Die Nichtbasisvariablen ergeben einen Wert von null (außer bei entarteten Problemen, wie später deutlich wird). Die Werte entsprechen nicht den Zahlen -45 und -225, welche unter ihnen in der Zielfunktionszeile stehen.

Daraus ergibt sich folgendes (gilt nicht für entartete Probleme!):

Nun beschäftigen wir uns mit dem Maximalgewinn, dieser beträgt:

G = 270·60 + 45·50 = 18.450.

Weiter geht es mit den übrigen Zahlen der Zielfunktionszeile, welche den Zahlen im Tableau selbst entsprechen.

3. Werte innerhalb des Tableaus

Die Nichtbasisvariable y₁ (welche null ist), wird auf 1 gesetzt, was soviel bedeutet, dass die Anzahl der möglichen verkauften Mengeneinheiten von Gut a auf 59 verringert werden. Aufgrund der Spalte (1, 5, -5, 100, -45) unter y₁ passiert dann folgendes:

• x₁ sinkt um 1,

  • somit kann nur noch 1 ME weniger hergestellt werden

• y₂ sinkt um 5,

  • somit werden 5 ME vom Gut b zusätzlich hergestellt (was wegen „x₂ um 5“ steigt)

• x₂ steigt um 5,

  • die Anzahl der produzierten ME von Gut b steigt um 5 (entspricht somit „y₂ und sinkt um 5“)

• y₄ sinkt um 100,

  • unausgenutzte Arbeitsstunden sinken um 100 wegen 150·59 + 50·55 = 11.600, d.h. die vorherige „Lücke“ in Höhe von 1.000 (zu 12.500) senkt sich auf 900. Somit wurden 100 Stunden mehr gearbeitet.

• ZF sinkt um 45,

  • zuvor betrug der ZF-Wert 18.450 und nun ZF = 270·59 + 45·55 = 18.405.
    Wird die Nichtbasisvariable y₁ (die null ist) auf 1 gesetzt (uns somit in die Basis übergeht), sinkt der Gewinn um 45 €. Es wäre demnach keine optimale Lösung. Dies ist logisch, da andernfalls die Lösung vorher nicht optimal gewesen wäre. 

Zum tieferen Verständnis des Tableaus hier noch einmal der Verweis auf das generelle Vorgehen beim Lösen von linearen Optimierungsproblemen:

Fassen wir einmal zusammen, was wir bis hierhin gelernt haben: