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Operations Research - Weiterer Simplex-Schritt und Interpretation des Optimaltableaus

Kursangebot | Operations Research | Weiterer Simplex-Schritt und Interpretation des Optimaltableaus

Operations Research

Weiterer Simplex-Schritt und Interpretation des Optimaltableaus

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Wegen der „+45“ in der Zielfunktionszeile sind wir noch nicht fertig. Also wieder einen Simplex-Schritt (= Basis-Tausch) rechnen:

  • Pivotspalte unter x2 wegen +45 als größte Zahl in der Zielfunktionszeile

  • Spalte der Quotienten: (-, 150, 50, 70)

  • Minimum ist 50, also ist bei y3 die Pivotzeile

  • Pivotelement ist 0,2.

x1

x2

y1

y2

y3

y4

RS

Q.

x1

1

0

1

0

0

0

60

-

y2

0

1

0

1

0

0

150

150

y3

0

0,2

-1

0

1

0

10

50

y4

0

50

-150

0

0

1

3.500

70

ZF

0

45

-270

0

0

0

-16.200

Tab. 4: Suche nach Pivotzeile für zweiten Austauschschritt

Dann wird die y3-Zeile durch 0,2 dividiert, damit das Pivotelement zu 1 wird:

x1

x2

y1

y2

y3

y4

RS

x1

1

0

1

0

0

0

60

y2

0

1

0

1

0

0

150

y3

0

1

-5

0

5

0

50

y4

0

50

-150

0

0

1

3.500

0

45

-270

0

0

0

-16.200

Also rechnet man:

  • 1. Zeile

    • nichts,

    • weil eine null bereits in der Pivotspalte steht

  • 2. Zeile

    • II – III = IIneu

  • 4. Zeile

    • IV – 50·III = IVneu

  • ZF-Zeile:

    • ZF – 45·III = ZFneu

Man erhält folgendes Optimaltableau:

x1

x2

y1

y2

y3

y4

RS

x1

1

0

1

0

0

0

60

y2

0

0

5

1

-5

0

100

x2

0

1

-5

0

5

0

50

y4

0

0

100

0

-250

1

1.000

0

0

-45

0

-225

0

-18.450

Tab. 6: Optimaltableau

 Man kann die Zahlen bei den

  • Basisvariablen (= Werte der rechten Seite) und bei den

  • Nichtbasisvariablen (= Werte der Zielfunktionszeile) und die

  • Werte innerhalb des Tableaus

verstehen.

1. Werte der rechten Seite

Für die Basisvariablen gilt:

  • x1 = 60 ME und

  • x2 = 50 ME,

  • y2 = 100 ME,

    • d.h. der Absatz ist 100 ME unter dem maximal möglichen.

  • y4 = 1.000 Stunden,

    • es sind 1.000 Arbeitsstunden ungenutzt

    • wegen 150·60 + 50·50 = 11.500

    • und diese Zahl liegt um 1.000 Stunden unter dem maximal möglichen Wert von 12.500.

Merke

Die Werte der Basisvariablen sind also direkt am rechten Rand ablesbar.

2. Werte der Zielfunktionszeile

Für die Nichtbasisvariablen sieht man:

  • y1 = 0

    • die erste Absatzrestriktion von x1 ≤ 60 ist also ausgelastet

    • wegen x1 = 60,

  • y3 = 0

    • die Maschinenkapazität ist ebenfalls vollständig ausgelastet

    • wegen 1·60 + 0,2·50 = 70.

Die Werte der Nichtbasisvariablen sind also null (bis auf entartete Probleme, siehe später). Ihre Werte sind damit gerade nicht die Zahlen – 45 und –225, die unter ihnen in der Zielfunktionszeile stehen.

Man erhält folgende (nicht für entartete Probleme geltende!)

Die Nichtbasisvariablen sind jene Variablen,

• denen im jeweiligen Tableau eine null zugeordnet wird,

• unter denen in der Zielfunktionszeile eine Zahl ungleich null steht.

Die Basisvariablen sind jene Variablen,

• denen im jeweiligen Tableau ein Wert ungleich null zugeordnet wird

• unter denen in der Zielfunktionszeile eine null steht

• unter denen innerhalb des Tableaus Einheitsvektoren stehen, d.h. genau eine eins und sonst nur nullen.

Weiter geht es mit dem Maximalgewinn, dieser ist

G = 270·60 + 45·50 = 18.450.

Nun zu den restlichen Zahlen der Zielfunktionszeile, die eng mit den Zahlen im Tableau selbst korrespondieren.

3. Werte innerhalb des Tableaus

Wir setzen die Nichtbasisvariable y1 (die null ist) auf 1, d.h. die Anzahl der möglichen verkauften Mengeneinheiten von Gut 1 wird verringert auf 59. Dann passiert wegen der Spalte (1, 5, -5, 100, -45) unter y1 folgendes:

  • x1 sinkt um 1,

    • es kann nun nur noch 1 ME weniger produziert werden

  • y2 sinkt um 5,

    • es werden 5 ME vom zweiten Gut zusätzlich produziert (was wegen „x2 steigt um 5“ möglich ist)

  • x2 steigt um 5,

    • die Anzahl der produzierten ME vom zweiten Gut steigt um 5 (korrespondiert klarerweise mit „y2 sinkt um 5“)

  • y4 sinkt um 100,

    • die nicht ausgenutzten Arbeitsstunden sinken um 100 wegen 150·59 + 50·55 = 11.600, d.h. die „Lücke“ in Höhe von 1000 (zu 12.500) sinkt von 1.000 auf 900. Auf deutsch: es wird 1000 Stunden mehr gearbeitet.

  • ZF sinkt um 45,

    • wegen ZF = 270·59 + 45·55 = 18.405 sinkt er von 18.450, also um 45 €. Wenn man die Nichtbasisvariable y1 (die null ist) auf 1 setzt, also in die Basis nimmt, dann sinkt der Gewinn um 45 €. Es ist also nicht optimal, dies zu tun (was klar ist, denn sonst wäre die Lösung vorher nicht optimal gewesen)

Die Zahlen innerhalb des Tableaus sind immer mit umgekehrtem Vorzeichen zu verstehen (bei „+“ fällt die entsprechende Basisvariable, bei „-“ steigt sie an.
Die Zahlen in der Zielfunktionszeile unterhalb der Nichtbasisvariablen sind fürs Verständnis hingegen nicht umzudrehen. Bei „-“ sinkt der Gewinn, bei „+“ steigt er an (Achtung: da die Interpretationen nicht nur für das Optimaltableau möglich sind, sondern für alle, ist ein „+“-Zeichen auch wirklich möglich).

Video: Weiterer Simplex-Schritt und Interpretation des Optimaltableaus

Nun noch ein Lernvideo zum Verständnis der Tableaus:

Video: Weiterer Simplex-Schritt und Interpretation des Optimaltableaus