ZU DEN KURSEN!

Operations Research - Aufstellen des Problems

Kursangebot | Operations Research | Aufstellen des Problems

Operations Research

Aufstellen des Problems

Zunächst müssen die Informationen aus der Aufgabenstellung in Ungleichungen übersetzt werden. Es bezeichne x1 die Anzahl der Mengeneinheiten des ersten Produkts, entsprechend x2 jene des zweiten.

Methode

Frage: Woher weiß man, welche die zu optimierenden Variablen sind? Ist es die Anzahl der Stunden auf der Maschine oder die Arbeitsstunden?

Antwort
: Man findet sie dadurch, dass man meistens jene Variablen nimmt, die mit monetären Informationen (Deckungsbeitrag, Gewinn, Kosten, Umsätze, etc.) behaftet sind. Diese stehen oftmals im letzten Satz der Aufgabenstellung und bilden die Zielfunktion, hier also die Mengeneinheiten der beiden Produkte.

 Wir stellen unterschiedliche Restriktionen fest:

Die Absatzrestriktionen sind leicht aufgestellt:

x1 $ \le $ 60  und  x2 $ \le $ 150 

Alsdann kümmern wir uns um die Maschinenkapazität:

Man weiß, dass eine ME des ersten Produkts eine Minute Zeit benötigt, eine ME von 2 hingegen 12 Sekunden, also 0,2 Minuten. Damit ist

  • 1xi jene Zeit,
  • die für die Produktion für das erste Gut auf der Maschine benutzt wird,
  • entsprechend 0,2x2
  • jene für das zweite Gut.

Da die Maschine nur insgesamt 70 Minuten einsatzfähig ist, muss die Gesamtzeit, also 1x1 + 0,2x2 kleiner oder gleich 70 sein.

Merke

 1x+ 0,2x2 $ \le $ 70                                                           (Maschinenkapazität) 

 Die Zeit auf der Maschine muss nicht komplett genutzt werden. Es könnte sich im Laufe der Rechnung als optimal herausstellen, dass man z.B. x1 = 40 ME von Gut 1 und x2 = 50 ME von Gut 2 herstellt, mithin lediglich 1 * 40 + 0,2 * 50 = 40 + 10 = 50 Minuten der Maschine benötigt werden und daher 20 Minuten ungenutzt verstreichen.

Merke

Wir kommen im Rahmen der sog. Schlupfvariablen auf diesen Punkt zurück.

Für die geleisteten Arbeitsstunden gilt ähnliches: 150 Stunden pro ME von Gut 1 bei x1 ME also 150x1 Arbeitsstunden, 50 Stunden pro ME 2 entsprechend 50x2 Arbeitsstunden für alle Einheiten von 2, also für x2 ME  viele. Wegen der Begrenzung der Zeit auf 12.500 gilt

Merke

150x1 + 50x2 $ \le $ 12.500                                                          (Zeitrestriktion)

Merke

Die Vorfaktoren der Variablen xund xin den Restriktionen nennt man Prozesskoeffizienten.

Wichtig und (leider oftmals vergessen) sind die sogenannten Nichtnegativitätsbedingungen, da keine negative Anzahl von Produkten hergestellt werden kann. Es gilt also

Merke

x1$ \ge $ 0, x2 $ \ge $ 0                                              (Nichtnegativitätsbedingungen)

Man erhält also insgesamt sechs Restriktionen.

Unter Beachtung dieser Beschränkungen soll nun die sogenannte Zielfunktion optimiert werden. Zur Bildung derselben schauen wir uns die monetären Informationen aus der Aufgabenstellung an. Wenn man x1 ME von Produkt 1 und pro Stück vom ersten Gut 270 € erzielt werden, dann erhält man für die Menge insgesamt 270x1 €. Für das zweite Produkt analog 45x2 €. Da der Gewinn zu maximieren ist, gilt

Merke

G= 270x1 + 45x2 $ \rightarrow max!$                                                      (Zielfunktion)

Merke

Es ist von großer Bedeutung für die Rechnung, ob die Zielfunktion maximiert oder minimiert werden soll. Wir betrachten im folgenden zunächst nur ein Maximierungsproblem.

Insgesamt gilt also

Merke

G= 270x1 + 45x2 $ \rightarrow max!$                                               (Zielfunktion)

unter den Nebenbedingungen

(1) x1$ \le $ 60 (Absatzrestriktion)
(2) x2 $ \le $ 150 (Absatzrestriktion)
(3) x1 + 0,2x2 $ \le $ 70 (Maschinenrestriktion)
(4) 150x1 + 50x2 $ \le $ 12.500   (Zeitrestriktion)
     x1 $\ge $ 0, x2 $ \ge $ 0 (Nichtnegativitätsbedingungen)

Dieses Problem kann nun 

  • graphisch und/oder
  • rechnerisch

gelöst werden (ab einer Anzahl von drei Variablen in der Zielfunktion hingegen nur noch rechnerisch).