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Operations Research - Aufstellung des Problems

Kursangebot | Operations Research | Aufstellung des Problems

Operations Research

Aufstellung des Problems

Im ersten Schritt sind die Informationen aus der Aufgabenstellung in Ungleichungen zu übersetzen. Mit xwird die Anzahl der Mengeneinheiten des Produktes a bezeichnet und die des Produktes b mit x2.

Beispiel

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Das Unternehmen Uruh GmbH produziert und verkauft die beiden Produkte a und b. Abzusetzen sind vom Produkt a nur maximal 60 ME und vom Produkt b 150 ME. Zur Herstellung beider Produkte werden entsprechende Maschinen mit einer Kapazität von 70 Minuten benötigt. Um eine Einheit von Produkt a herzustellen, bedarf es eine Minute und zur Herstellung einer Einheit von Produkt b dagegen 12 Sekunden. Die beiden Produkte werden nach der Produktion durch die Maschine mit der Hand nachgeformt, was bei Produkt a ca. 150 Stunden in Anspruch nimmt und bei Produkt b 50 Stunden. Die dafür benötigten Arbeiter stehen hierfür maximal 12.500 Stunden zur Verfügung.

Es lässt sich für das Produkt a ein Stückdeckungsbeitrag von 270 € erreichen und für das Produkt b von 45 €.


Aufgabe: Geben Sie das deckungsbeitragsmaximale Produktionsprogramm an.

Methode

Hier klicken zum AusklappenWie kann herausgefunden werden, ob die Variable der Stundenanzahl der Maschine oder die Variable der Arbeitsstunden zu optimieren ist?

Lösung:
Man bekommt dies meist dann heraus, indem die Variablen gewählt werden, welche monetäre Informationen enthalten, wie z.B. die des Deckungsbeitrags, Gewinns, Kosten, Umsätze, etc.. Zu finden sind diese Informationen meist am Ende der Aufgabenstellung, wodurch gleichzeitig die Zielfunktion der Mengeneinheit der beiden Produkte gebildet wird.

 Festzustellen sind diese unterschiedlichen Restriktionen:

Die Absatzrestriktionen sind einfach aufgestellt:

x1 $ \le $ 60  und  x2 $ \le $ 150 

Im Anschluss beschäftigen wir uns mit der Maschinenkapazität:

Man weiß, dass eine ME des Produkts a eine Minute Zeit benötigt, eine ME von Produkt b hingegen 12 Sekunden (0,2 Minuten).

Gegeben sind die folgenden Informationen: Es benötigt eine Minute um eine ME des Produktes a und 12 Sekunden (0,2 Minuten), um eine ME des Produktes b herzustellen.

  • 1x1 ist die Zeit, welche für die Produktion a auf der Maschine benutzt wird,
  • demnach beträgt 0,2x2 die Zeit, für das zweite Gut.

Da die Maschine nur insgesamt 70 Minuten einsatzfähig ist, muss die Gesamtzeit, also 1x1 + 0,2x2, kleiner oder gleich 70 sein.

Aufgrund der begrenzten Einsatzdauer der Maschine von 70 Minuten, muss die Gesamtzeit (demnach 1x1 + 0,2x2) niedriger oder gleich 70 sein.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Maschinenkapazität 
1x+ 0,2x2 $ \le $ 70                                                           

Es ist nicht zwingend notwendig, dass die gesamte Zeit der Maschine genutzt wird, denn es könne sich ebenso im Verlauf der Rechnung herausstellen, dass ein optimaleres Vorgehen bei der Herstellung beispielsweise folgendes sei: x1 = 40 ME von Gut a und x2 = 50 ME von Gut b. Demnach wären nur 1 * 40 + 0,2 * 50 = 40 + 10 = 50 von den 70 Minuten der Maschine nötig.

Hinweis

Hier klicken zum AusklappenBei der thematischen Behandlung der sog. Schlupfvariablen werden wir uns noch tiefer damit auseinandersetzen.

Ähnliches gilt für die geleisteten Arbeitsstunden: 150 Stunden pro ME von Gut a. Bei x1 ME demnach 150x1 Arbeitsstunden. Deshalb gilt für das Produkt a: bei 50 Stunden pro ME kommen für xME somit 50x2 Arbeitsstunden heraus.
Aufgrund der Begrenzung der Zeit auf 12.500 Stunden gilt:

Merke

Hier klicken zum AusklappenZeitrestrektion:
150x1 + 50x2 $ \le $ 12.500                 

Bezeichnet werden die Vorfaktoren der Variablen x1 und x2 in den Restriktionen Prozesskoeffizienten.

Zu beachten sind unbedingt die sogenannten Nichtnegativitätsbedingungen, da keine negative Anzahl von Produkten hergestellt werden kann. Es gilt also:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Nichtnegativitätsbedingungen
x1$ \ge $ 0, x2 $ \ge $ 0              

Im Gesamten ergeben sich demnach sechs Restriktionen.

In Bezugnahme auf diese Beschränkungen ist die sogenannte Zielfunktion zu optimieren. Dafür betrachten wir nochmals die monetären Informationen der Aufgabenstellung. Wird von Produkt a eine x1 ME produziert und pro Stück 270€ erlangt, so kommt für diese Menge ein Gewinn von 270x1 Euro heraus. Bei dem Produkt a beträgt der Gewinn 45x2. Da der Gewinn gesteigert werden soll, gilt:

Merke

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Zielfunktion
G= 270x1 + 45x2 $ \rightarrow max!$     

Hinsichtlich der Rechnung ist es wichtig zu wissen, ob die Zielfunktion zu maximieren oder minimieren ist.

Im Folgenden wird vorerst lediglich ein Maximierungsproblem betrachtet.                               

 

Allumfassend gilt:

Merke

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Zielfunktion
G= 270x1 + 45x2 $ \rightarrow max!$                                               

Unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen:

(1) x1$ \le $ 60(Absatzrestriktion)
(2) x2 $ \le $ 150(Absatzrestriktion)
(3) x1 + 0,2x2 $ \le $ 70(Maschinenrestriktion)
(4) 150x1 + 50x2 $ \le $ 12.500  (Zielrestriktion)
     x1 $\ge $ 0, x2 $ \ge $ 0(Nichtnegativitätsbedingungen)

Gelöst werden kann dieses Problem auf zweierlei Weise:

  • graphisch und/oder
  • rechnerisch

Die Zielfunktion ist jedoch nur ab einer Anzahl von drei Variablen rechnerisch lösbar.