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Operations Research - Aufstellen des Problems

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Operations Research

Aufstellen des Problems

Zunächst müssen die Informationen aus der Aufgabenstellung in Ungleichungen übersetzt werden. Es bezeichne x1 die Anzahl der Mengeneinheiten des ersten Produkts und x2 jene des zweiten Produkts.

Beispiel

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Das Unternehmen Chaos AG stellt die beiden Produkte 1 und 2 her und vertreibt diese auch.
Vom ersten Produkt können höchstens 60 ME abgesetzt werden, vom zweiten maximal 150 ME. Zur Produktion der beiden Güter ist eine Maschine nötig, die eine Kapazität von 70 Minuten besitzt. Für eine Einheit von Produkt 1 wird eine Minute benötigt, für eine Einheit von Produkt 2 hingegen 12 Sekunden.
Nach der Bearbeitung auf der Maschine werden beide Produkte noch per Hand nachbearbeitet. Dies dauert bei Produkt 1 insgesamt 150 Stunden und bei Produkt 2 nur 50 Stunden. Die Arbeiter stehen für maximal 12.500 Stunden zur Verfügung.

Für Produkt 1 lässt sich ein Stückdeckungsbeitrag von 270 € erzielen, für das zweite Produkt schließlich 45 €.

Methode

Hier klicken zum AusklappenFrage: Woher weiß man, welche die zu optimierenden Variablen sind? Ist es die Anzahl der Stunden auf der Maschine oder sind es die Arbeitsstunden?

Antwort
: Man findet sie indem man meistens jene Variablen nimmt, die mit monetären Informationen (Deckungsbeitrag, Gewinn, Kosten, Umsätze, etc.) behaftet sind. Diese stehen oftmals im letzten Satz der Aufgabenstellung und bilden die Zielfunktion, hier also die Mengeneinheiten der beiden Produkte.

 Wir stellen unterschiedliche Restriktionen fest:

Die Absatzrestriktionen sind leicht aufgestellt:

x1 $ \le $ 60  und  x2 $ \le $ 150 

Anschließend kümmern wir uns um die Maschinenkapazität:

Man weiß, dass eine ME des ersten Produkts eine Minute Zeit benötigt, eine ME von Produkt 2 hingegen 12 Sekunden, also 0,2 Minuten. Damit ist

  • 1x1 jene Zeit,
  • die für die Produktion des ersten Gutes auf der Maschine benutzt wird,
  • entsprechend 0,2x2
  • jene für das zweite Gut.

Da die Maschine nur insgesamt 70 Minuten einsatzfähig ist, muss die Gesamtzeit, also 1x1 + 0,2x2 kleiner oder gleich 70 sein.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen 1x+ 0,2x2 $ \le $ 70                                                           (Maschinenkapazität) 

Die Zeit auf der Maschine muss nicht komplett genutzt werden. Es könnte sich im Laufe der Rechnung als optimal herausstellen, dass man z.B. x1 = 40 ME von Gut 1 und x2 = 50 ME von Gut 2 herstellt. Damit würden lediglich 1 * 40 + 0,2 * 50 = 40 + 10 = 50 Minuten der Maschine benötigt werden und daher 20 Minuten ungenutzt verstreichen.

Merke

Hier klicken zum AusklappenWir kommen im Rahmen der sog. Schlupfvariablen auf diesen Punkt zurück.

Für die geleisteten Arbeitsstunden gilt ähnliches: 150 Stunden pro ME von Gut 1. Bei x1 ME also 150x1 Arbeitsstunden. Dementsprechend gilt für Produkt 2: 50 Stunden pro ME führen bei xME zu 50x2 Arbeitsstunden.
Wegen der Begrenzung der Zeit auf 12.500 gilt

Merke

Hier klicken zum Ausklappen150x1 + 50x2 $ \le $ 12.500                                                          (Zeitrestriktion)

Merke

Hier klicken zum AusklappenDie Vorfaktoren der Variablen xund xin den Restriktionen nennt man Prozesskoeffizienten.

Wichtig (und leider oftmals vergessen) sind die sogenannten Nichtnegativitätsbedingungen, da keine negative Anzahl von Produkten hergestellt werden kann. Es gilt also

Merke

Hier klicken zum Ausklappenx1$ \ge $ 0, x2 $ \ge $ 0                                              (Nichtnegativitätsbedingungen)

Insgesamt erhält man also sechs Restriktionen.

Unter Beachtung dieser Beschränkungen soll nun die sogenannte Zielfunktion optimiert werden. Zur Bildung derselben schauen wir uns die monetären Informationen aus der Aufgabenstellung an. Wenn man x1 ME von Produkt 1 herstellt und pro Stück 270 € erzielt werden, dann erhält man für die Menge insgesamt einen Gewinn in Euro in Höhe von 270x1. Für das zweite Produkt liegt der Gewinn analog bei 45x2. Da der Gewinn zu maximieren ist, gilt

Merke

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G= 270x1 + 45x2 $ \rightarrow max!$                                                      (Zielfunktion)

Merke

Hier klicken zum AusklappenEs ist von großer Bedeutung für die Rechnung, ob die Zielfunktion maximiert oder minimiert werden soll. Wir betrachten im Folgenden zunächst nur ein Maximierungsproblem.

Insgesamt gilt also

Merke

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G= 270x1 + 45x2 $ \rightarrow max!$                                               (Zielfunktion)

unter den Nebenbedingungen

(1) x1$ \le $ 60(Absatzrestriktion)
(2) x2 $ \le $ 150(Absatzrestriktion)
(3) x1 + 0,2x2 $ \le $ 70(Maschinenrestriktion)
(4) 150x1 + 50x2 $ \le $ 12.500  (Zielrestriktion)
     x1 $\ge $ 0, x2 $ \ge $ 0(Nichtnegativitätsbedingungen)

Dieses Problem kann nun 

  • graphisch und/oder
  • rechnerisch

gelöst werden. Ab einer Anzahl von drei Variablen in der Zielfunktion ist allerdings nur noch die rechnerische Lösung möglich.