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Operations Research - Schwankungen Deckungsbeitragskoeffizienten

Kursangebot | Operations Research | Schwankungen Deckungsbeitragskoeffizienten

Operations Research

Schwankungen Deckungsbeitragskoeffizienten

Bei der Betrachtung der grafischen Lösung wird ersichtlich, dass es zu einer Verschiebung der Zielfunktionsgerade lediglich innerhalb einer bestimmten Grenze kommt und sich die Lösung entsprechend dadurch verändert. Die Optimallösung verändert sich sobald diese stark nach links oder rechts ausschlägt.

Wodurch ergeben sich Veränderungen in der Zielfunktionsgeraden?

  • Wenn sich die Zielfunktionsgerade ZF erhöht oder sinkt verändert sich dieser Wert und es kommt zu einer entsprechenden Verschiebung der Gerade parallel nach rechts oder links.

Veränderung des Deckungsbetrags d1 oder d2

  • Es kommt zur Drehung der Gerade, mit Außnahme, dass sich die beiden Deckungsbeiträge im exakt gleichen Ausmaß verändern.

Es stellt sich allerdings die Frage, innerhalb welcher Grenzen sich d1 und d2 verändern können, ohne dass dabei eine neue Optimallösung entsteht.
Dazu nochmals das Optimaltableau:

 

x1

x2

y1

y2

y3

y4

RS

x1

1

0

1

0

0

0

60

y2

0

0

5

1

-5

0

100

x2

0

1

-5

0

5

0

50

y4

0

0

100

0

-250

1

1.000

 

0

0

-45

0

-225

0

-18.450

Tab. 8: Verwendung Optimaltableau für Sensitivitätsanalyse

Die folgende Bezeichnung ist einzuführen:

dj Deckungsbeitragskoeffizient der Zielfunktion im Starttableau

dj0 Deckungsbeitragskoeffizient im Optimaltableau

Die zu dj zugehörigen Variablen der Basisvariable oder Nichtbasisvariable geben an, inwieweit dj in den Bereichen schwanken darf.

xj ist eine Nichtbasisvariable

dj darf zwischen [-∞; dj - dj0] variieren, ohne, dass es zu einer Veränderung der Lösung kommt.

xj ist eine Basisvariable

Schwanken darf der Deckungsbeitrag dj zwischen  ]dj + λ1; dj + λ2[, allerdings

λ1 = maxj { $ \ \frac{d_j^0}{a_{ij}^0}$;−∞∣aij0 > 0},

λ2 = maxj { $ \ \frac{d_j^0}{a_{ij}^0}$;+∞∣aij0 < 0},

Die aij0 (i. Spalte, j. Zeile) sind jene Tableau-Elemente, welche sich in der gleichen Zeile wie die Basisvariable xj befinden. Der zu aij0 entsprechende Wert dj0 steht in der Zielfunktionszeile des Optimaltableaus in der aij0-Spalte.

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenDas Unternehmenden Uruh GmbH produziert und verkauft die beiden Produkte a und b. Abzusetzen sind vom Produkt a nur maximal 60 ME und vom Produkt b 150 ME. Zur Herstellung beider Produkte werden entsprechende Maschinen mit einer Kapazität von 70 Minuten benötigt. Um eine Einheit von Produkt a herzustellen, bedarf es einer Minute und zur Herstellung einer Einheit von Produkt b dagegen 12 Sekunden. Die beiden Produkte werden nach der Produktion der Maschine mit der Hand nachgeformt, was bei Produkt a ca. 150 Stunden in Anspruch nimmt und bei Produkt b 50 Stunden. Die dafür benötigten Arbeiter stehen dabei für maximal 12.500 Stunden zur Verfügung.

Es lässt sich für das Produkt a ein Stückdeckungsbeitrag von 270 € erreichen und für das Produkt b einer von 45 €.


Aufgabe: Geben Sie an, in welchem Bereich die  Deckungsbeitragskoeffizienten d1 = 270 und d2 = 45 variieren könne, ohne, dass eine Veränderung der Lösung zustande kommt. 

Die Basisvariablen sind  x1 und x2 und die Nichtbasisvariablen y1 und y3.

Schwankungsmöglichkeiten für den Deckungsbeitrag d1

 λ1 = maxj { $ \ \frac{-45}{1}$; −∞} = -45, λ2 = minj{-∞} = -∞

Schwankungsmöglichkeiten für den Deckungsbeitrag d2

λ1 = maxj { $ \ \frac{225}{5}$; -∞} = -45, λ2 = maxj {$ \ \frac{-45}{5}$; +∞} = +9

Es ist d10 = -45 und d30 = -225. Demnach ist d2 Є [45 – 45; 45 + 9[ = ]0; 54]. Ohne dass ein zusätzlicher Basistausch notwendig ist, darf ein Deckungsbeitrag pro ME von x2 zwischen 0 € und 54 € variieren.