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Operations Research - Schwankungen Deckungsbeitragskoeffizienten

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Operations Research

Schwankungen Deckungsbeitragskoeffizienten

Wenn man die graphische Lösung betrachtet, sieht man, dass sich die Zielfunktionsgerade nur innerhalb gewisser Grenzen verschieben kann, ohne dass sich die Lösung verändert.

Sobald sie stark nach links bzw. nach rechts ausschlägt, wird sich die Optimallösung verändern.

Wodurch erhalten wir Veränderungen der Zielfunktionsgeraden?

  • Der Wert der Zielfunktion ZF verändert sich

    • Wenn sich dieser erhöht oder wenn er sinkt, verschiebt sich die Gerade parallel nach rechts oder nach links

Der Deckungsbeitrag d1 oder d2 ändert sich

  • Die Gerade dreht sich. Ausnahme: die beiden Deckungsbeiträge verändern sich beide im genau gleichen Ausmaß.

Fraglich ist nun, innerhalb welcher Grenzen sich d1 und d2 verändern dürfen, ohne dass eine neue Optimallösung resultiert. Hierzu nochmals das Optimaltableau:

x1

x2

y1

y2

y3

y4

RS

x1

1

0

1

0

0

0

60

y2

0

0

5

1

-5

0

100

x2

0

1

-5

0

5

0

50

y4

0

0

100

0

-250

1

1.000

0

0

-45

0

-225

0

-18.450

Tab. 8: Verwendung Optimaltableau für Sensitivitätsanalyse

Wir führen folgende Bezeichnungen ein:

dj Deckungsbeitragskoeffizient der Zielfunktion im Starttableau

dj0 Deckungsbeitragskoeffizient im Optimaltableau

Die Bereiche, in denen dj schwanken darf, hängen davon ab, ob die zu dj gehörige Variable eine

  • Basisvariable oder eine

  • Nichtbasisvariable

ist.

xj ist Nichtbasisvariable

Dann darf dj schwanken zwischen[-∞; dj - dj0], ohne dass sich die Lösung ändert.

xj ist Basisvariable

Der Deckungsbeitrag dj darf sich bewegen zwischen ]dj + λ1; dj + λ2[, wobei

λ1 = maxj { $ \ \frac{d_j^0}{a_{ij}^0}$;−∞∣aij0 > 0},

λ2 = maxj { $ \ \frac{d_j^0}{a_{ij}^0}$;+∞∣aij0 < 0},

Die aij0 (i. Spalte, j. Zeile) sind diejenigen Tableau-Elemente, die in der gleichen Zeile wie die Basisvariable xj stehen. Der zu aij0 passende Wert dj0 befindet sich in der Zielfunktionszeile des Optimaltableaus in der aij0-Spalte.

Beispiel

Das Unternehmen Chaos AG stellt die beiden Produkte 1 und 2 her und vertreibt diese auch.
Vom ersten Produkt können höchstens 60 ME abgesetzt werden, vom zweiten maximal 150 ME. Zur Produktion der beiden Güter ist eine Maschine nötig, die eine Kapazität von 70 Minuten besitzt. Für eine Einheit von Produkt 1 wird eine Minute benötigt, für eine Einheit von Produkt 2 hingegen 12 Sekunden.
Nach der Bearbeitung auf der Maschine werden beide Produkte noch per Hand nachbearbeitet, und zwar Produkt 1 insgesamt 150 Stunden lang, Produkt 2 allerdings nur 50 Stunden. Die Arbeiter stehen für maximal 12.500 Stunden zur Verfügung.

Für Produkt 1 lässt sich ein Stückdeckungsbeitrag von 270 € erzielen, für das zweite Produkt schließlich 45 €.

In welchen Bereichen dürfen die Deckungsbeitragskoeffizienten d1 = 270 und d2 = 45 schwanken, ohne dass sich die Lösung ändert?

Es sind x1 und x2 die Basisvariablen, y1 und y3 sind die Nichtbasisvariablen

Schwankungsmöglichkeiten für den Deckungsbeitrag d1

Es gilt

 λ1 = maxj { $ \ \frac{-45}{1}$; −∞} = -45, λ2 = minj{-∞} = -∞

Schwankungsmöglichkeiten für den Deckungsbeitrag d2

Es gilt

λ1 = maxj { $ \ \frac{225}{5}$; -∞} = -45, λ2 = maxj {$ \ \frac{-45}{5}$; +∞} = +9

Es ist d10 = -45 und d30 = -225. Also ist d2 Є ]45 – 45; 45 + 9[ = ]0; 54[. Der Deckungsbeitrag pro ME von x2 darf sich also zwischen 0 € und 54 € bewegen, ohne dass ein zusätzlicher Basistausch notwendig wird.