Schwankungen Deckungsbeitragskoeffizienten

Wenn man die graphische Lösung betrachtet, sieht man, dass sich die Zielfunktionsgerade nur innerhalb gewisser Grenzen verschieben kann, ohne dass sich die Lösung verändert.

Sobald sie stark nach links bzw. nach rechts ausschlägt, wird sich die Optimallösung verändern.

Wodurch erhalten wir Veränderungen der Zielfunktionsgeraden?

• Der Wert der Zielfunktion ZF verändert sich

  • Wenn sich dieser erhöht oder wenn er sinkt, verschiebt sich die Gerade parallel nach rechts oder nach links

Der Deckungsbeitrag d₁ oder d₂ ändert sich

• Die Gerade dreht sich. Ausnahme: die beiden Deckungsbeiträge verändern sich beide im genau gleichen Ausmaß.

Fraglich ist nun, innerhalb welcher Grenzen sich d₁ und d₂ verändern dürfen, ohne dass eine neue Optimallösung resultiert. Hierzu nochmals das Optimaltableau:

Wir führen folgende Bezeichnungen ein:

d_j Deckungsbeitragskoeffizient der Zielfunktion im Starttableau

d_j⁰ Deckungsbeitragskoeffizient im Optimaltableau

Die Bereiche, in denen d_j schwanken darf, hängen davon ab, ob die zu d_j gehörige Variable eine

• Basisvariable oder eine

• Nichtbasisvariable

ist.

x_j ist Nichtbasisvariable

Dann darf d_j schwanken zwischen[-∞; d_j - d_j⁰], ohne dass sich die Lösung ändert.

x_j ist Basisvariable

Der Deckungsbeitrag d_j darf sich bewegen zwischen ]d_j + λ₁; d_j + λ₂[, wobei

λ1 = ^max_j { $ \ \frac{d_j^0}{a_{ij}^0}$;−∞∣aij0 > 0},

λ2 = ^max_j { $ \ \frac{d_j^0}{a_{ij}^0}$;+∞∣aij0 < 0},

Die a_ij⁰ (i. Spalte, j. Zeile) sind diejenigen Tableau-Elemente, die in der gleichen Zeile wie die Basisvariable x_j stehen. Der zu a_ij⁰ passende Wert d_j⁰ befindet sich in der Zielfunktionszeile des Optimaltableaus in der a_ij⁰-Spalte.

Schwankungsmöglichkeiten für den Deckungsbeitrag d₁

Es gilt

 λ₁ = ^max_j { $ \ \frac{-45}{1}$; −∞} = -45, λ₂ = ^min_j{-∞} = -∞

Schwankungsmöglichkeiten für den Deckungsbeitrag d₂

Es gilt

λ₁ = ^max_j { $ \ \frac{225}{5}$; -∞} = -45, λ₂ = ^max_j {$ \ \frac{-45}{5}$; +∞} = +9

Es ist d₁⁰ = -45 und d₃⁰ = -225. Also ist d₂ Є ]45 – 45; 45 + 9[ = ]0; 54[. Der Deckungsbeitrag pro ME von x₂ darf sich also zwischen 0 € und 54 € bewegen, ohne dass ein zusätzlicher Basistausch notwendig wird.