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Schwankungen Deckungsbeitragskoeffizienten

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Volks- und Betriebswirtschaft:
 Am 12.01.2017 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Grundbegriffe der Bilanzierung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gibt Daniel Lambert einen Überblick über die zentralen Begriffe der Bilanzierung - hier im Besonderen dem Bilanzausweis.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Wenn man die graphische Lösung betrachtet, sieht man, dass sich die Zielfunktionsgerade nur innerhalb gewisser Grenzen verschieben kann, ohne dass sich die Lösung verändert.

Sobald sie stark nach links bzw. nach rechts ausschlägt, wird sich die Optimallösung verändern.

Wodurch erhalten wir Veränderungen der Zielfunktionsgeraden?

  • Der Wert der Zielfunktion ZF verändert sich

    • Wenn sich dieser erhöht oder wenn er sinkt, verschiebt sich die Gerade parallel nach rechts oder nach links

Der Deckungsbeitrag d1 oder d2 ändert sich

  • Die Gerade dreht sich. Ausnahme: die beiden Deckungsbeiträge verändern sich beide im genau gleichen Ausmaß.

Fraglich ist nun, innerhalb welcher Grenzen sich d1 und d2 verändern dürfen, ohne dass eine neue Optimallösung resultiert. Hierzu nochmals das Optimaltableau:

x1

x2

y1

y2

y3

y4

RS

x1

1

0

1

0

0

0

60

y2

0

0

5

1

-5

0

100

x2

0

1

-5

0

5

0

50

y4

0

0

100

0

-250

1

1.000

0

0

-45

0

-225

0

-18.450

Tab. 8: Verwendung Optimaltableau für Sensitivitätsanalyse

Wir führen folgende Bezeichnungen ein:

dj Deckungsbeitragskoeffizient der Zielfunktion im Starttableau

dj0 Deckungsbeitragskoeffizient im Optimaltableau

Die Bereiche, in denen dj schwanken darf, hängen davon ab, ob die zu dj gehörige Variable eine

  • Basisvariable oder eine

  • Nichtbasisvariable

ist.

xj ist Nichtbasisvariable

Dann darf dj schwanken zwischen[-∞; dj - dj0], ohne dass sich die Lösung ändert.

xj ist Basisvariable

Der Deckungsbeitrag dj darf sich bewegen zwischen ]dj + λ1; dj + λ2[, wobei

λ1 = maxj { $ \ \frac{d_j^0}{a_{ij}^0}$;−∞∣aij0 > 0},

λ2 = maxj { $ \ \frac{d_j^0}{a_{ij}^0}$;+∞∣aij0 < 0},

Die aij0 (i. Spalte, j. Zeile) sind diejenigen Tableau-Elemente, die in der gleichen Zeile wie die Basisvariable xj stehen. Der zu aij0 passende Wert dj0 befindet sich in der Zielfunktionszeile des Optimaltableaus in der aij0-Spalte.

Beispiel

Das Unternehmen Chaos AG stellt die beiden Produkte 1 und 2 her und vertreibt diese auch.
Vom ersten Produkt können höchstens 60 ME abgesetzt werden, vom zweiten maximal 150 ME. Zur Produktion der beiden Güter ist eine Maschine nötig, die eine Kapazität von 70 Minuten besitzt. Für eine Einheit von Produkt 1 wird eine Minute benötigt, für eine Einheit von Produkt 2 hingegen 12 Sekunden.
Nach der Bearbeitung auf der Maschine werden beide Produkte noch per Hand nachbearbeitet, und zwar Produkt 1 insgesamt 150 Stunden lang, Produkt 2 allerdings nur 50 Stunden. Die Arbeiter stehen für maximal 12.500 Stunden zur Verfügung.

Für Produkt 1 lässt sich ein Stückdeckungsbeitrag von 270 € erzielen, für das zweite Produkt schließlich 45 €.

In welchen Bereichen dürfen die Deckungsbeitragskoeffizienten d1 = 270 und d2 = 45 schwanken, ohne dass sich die Lösung ändert?

Es sind x1 und x2 die Basisvariablen, y1 und y3 sind die Nichtbasisvariablen

Schwankungsmöglichkeiten für den Deckungsbeitrag d1

Es gilt

 λ1 = maxj { $ \ \frac{-45}{1}$; −∞} = -45, λ2 = minj{-∞} = -∞

Schwankungsmöglichkeiten für den Deckungsbeitrag d2

Es gilt

λ1 = maxj { $ \ \frac{225}{5}$; -∞} = -45, λ2 = maxj {$ \ \frac{-45}{5}$; +∞} = +9

Es ist d10 = -45 und d30 = -225. Also ist d2 Є ]45 – 45; 45 + 9[ = ]0; 54[. Der Deckungsbeitrag pro ME von x2 darf sich also zwischen 0 € und 54 € bewegen, ohne dass ein zusätzlicher Basistausch notwendig wird.

Multiple-Choice
Wodurch erhalten wir Veränderungen der Zielfunktionsgeraden?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Schwankungen Deckungsbeitragskoeffizienten

  • Rempel schrieb am 07.12.2014 um 17:37 Uhr
    Hallo Herr Lambert, Zu diesem Thema kommen mir ein paar Fragen auf: 1. bei Lambda 2 in der allgemeinen Form wird maxj und "+ Unendlich" formuliert. Bei der Lösung der Aufgabe hingegen ein minj und "-Unendlich". Hat dies etwas damit zutun, dass in der Aufgabe Lambda 2 mit aij=0 und damit sowohl die Bedingung aij<0 als auch eine mathematisch nicht mögliche Division durch Null auftreten würde? 2. Bei Lambda 1 bei der Lösung der Aufgabe wird dij0 +225 durch 5 dividiert, sollte hier nicht (sowohl im Tableu als auch als logische Konsequenz Ihres Ergebnisses) -225 stehen? 3. Mir ist es leider nicht erklärlich wie d3 (in der Zielfunktion gibt es nur zwei Deckungsbeitragskoeffizienten) in der Interpretation zustande kommt. Desweiteren ist mir d1 auch nicht schlüssig. So wie ich das nach der allgmeinen Form aufschreibe steht: ]dj + Lamba1; dj + Lambda2[ = ]270+(-45); 270+"Unendlich[, sprich ]225; Unendlich[ und ein offenes Intervall ins unendliche müsste jedoch (unendlich viele) weitere Tauschungen von Basen fordern, oder? Vielen Dank im Voraus! Karl
  • Daniel Lambert schrieb am 02.11.2014 um 13:53 Uhr
    Hallo Ly Huong, was meinst Du mit gleicher Rangordnung? Beste Grüße, Daniel Lambert
  • Ly Huong Klein schrieb am 02.11.2014 um 09:50 Uhr
    An den Textverfasser: Betrifft Aufzählung der zwei Gründe für Veränderungen der ZF-Geraden: Können Sie bitte die Aufzählung in gleicher "Rangordnung" darstellen? Ist missverständlich. Ich habe beim ersten durchlesen deswegen nur einen Grund gesehen. Vielen Dank! VG
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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Schwankungen Deckungsbeitragskoeffizienten ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Operations Research.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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    • Einleitung zu Maximierungsprobleme
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    • Graphische Darstellung des Maximierungsproblems
  • Analytische Lösung
    • Vorbereitung
    • Schlupfvariablen
    • Aufstellen des Ausgangstableaus
    • Der Simplex-Algorithmus
    • Simplex-Austausch-Schritt
    • Weiterer Simplex-Schritt und Interpretation des Optimaltableaus
  • Entartung
    • Mehrdeutigkeit
    • Degeneration
  • Sensitivitätsanalyse
    • Schwankungen Deckungsbeitragskoeffizienten
    • Änderungen der Restriktionen
  • Zweitbeste Lösung
    • Zweitbeste Lösung
  • Minimierungsprobleme
    • Einleitung zu Minimierungsprobleme
    • Zweiphasenmethode
      • Zweiphasenmethode
      • Beginn erste Phase
      • Beginn zweite Phase
      • Dualität
      • Dualer Simplex-Algorithmus
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