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Skalentransformation auf der Kardinalskala

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Die Transformation auf den KardinalSkalen erfolgt nach der Regel

Merke

Skalentransformation auf Kardinalskalen $$\ y = {c \cdot x} + d $$

Diese Transformation wird nachfolgend bei Intervallskala, Verhältnisskala und Absolutskala gezeigt.

Transformation der Intervallskala

Beispiel 15:
Dr. Matthias Median, Mitarbeiter des Statistik Lehrstuhls, fliegt zu der Tagung „Skalierungen: Ein statistisches Übel?” in die USA nach Boston. Beim Aussteigen aus dem Flugzeug wird ihm gesagt, es sei 68°F warm. Was bedeutet diese Grad-Fahrenheit Temperatur in Grad-Celsius?

Wie wir schon aus Beispiel 10 wissen, lautet die Umrechnungsformel von $\ ^{\circ}\mathrm{C} $ in $\ ^{\circ}\mathrm{F} $: $\ ^{\circ}\mathrm{F} = {9 \over 5}^{\circ}\mathrm{C} + 32 $. Lösen wir nach °C auf: $\ °C = {5 \over 9}°F - {160 \over 9} $ und wir wissen, dass 68°F der Temperatur 20°C entsprechen. Das Merkmal Temperatur bleibt intervallskaliert, ob in Grad Celsius oder in Grad Fahrenheit angegeben.
Intervall skalierte Merkmale werden linear transformiert nach der Regel $\ y = {c \cdot x} + d $ mit c > 0 und d beliebig. Dies ist die gebräuchlichste Transformationsvorschrift.

Merke

Merke: Mathematisch und statistisch korrekt sowie von einigen Autoren auch vorgeschlagen ist sogar, den Parameter c nur ungleich Null zu wählen. Wie schon zuvor angemerkt wurde, war die ursprüngliche Celsius-Skala von 100 (Gefrierpunkt) bis 0 (Siedepunkt) skaliert. Die Umwandlung auf unsere heute bekannte Einteilung erfolgte nach der Regel: $\ ^{\circ}\mathrm{C}_{neu} = -^{\circ}\mathrm{C}_{alt} + 100 $, beide Einteilungen besitzen für uns aber den gleichen Informationsgehalt und sind intervallskaliert, obwohl die Transformationsregel der gebräuchlichen Vorschrift widerspricht.

Transformation der Verhältnisskala

Da bei der Verhältnisskala ein natürlicher Nullpunkt existiert und damit Verhältnisse sinnvoll interpretiert werden können, darf nur noch proportional transformiert werden, d.h.
$\ y = {c \cdot x} + d $ mit $\ c > 0 $ Skalentransformation auf Verhältnisskala
und $\ d = 0 $ oder kurz $\ y = {c \cdot x} $ Nur hierdurch ist gewährleistet, dass die Verhältnisse / Quotienten gleich bleiben.

Beispiel 16:
Als häufiger Nutzer der Fluglinie „AeroShrott” hat Dr. Median wieder fleißig Bonusmeilen gesammelt. Ihm wird mitgeteilt, dass er 3.500 Meilen auf dem Flug nach Boston gutgeschrieben bekommt. Er möchte nun wissen, wie viel Kilometer er zurückgelegt hat. In seinem Reiseführer steht, dass eine Meile etwa 1,6 km entsprechen. Er ist also $\ {3.500 \cdot 1,6 } = 5.600 km $ geflogen. Beide Entfernungsangaben sind verhältnisskaliert und bleiben dies auch bei einer Umrechnung.

Transformation der Absolutskala

Auf der Absolutskala schließlich ist selbst das c nicht mehr variabel, sondern gleich 1, konkret also:

Merke

Skalentransformation auf Absolutskala $$\ y = {c \cdot x} + d $$ mit c = 1 und d = 0, also y = x.

Die Transformation ist identisch.

Merke

Merke: Man kann Stückzahlen wie die Anzahl von Tischen in einem Raum nicht umrechnen. Drei Tische sind einfach drei Tische, es gibt keine andere Zahl hierfür.

Anforderungen an eine Skalentransformation

Nachdem alle Skalen und deren Transformation betrachtet wurden, wird abschließend zusammenfassend festgehalten:

Skala Anforderung an die Skalentransformation
Nominalskala umkehrbar eindeutig
Ordinalskala streng monoton
Intervallskala linear, d.h. $\ y = {c \cdot x} + d $
mit c > 0 und d beliebig
Verhältnisskala proportional, $\ y = {c \cdot x} $
mit c > 0
Absolutskala identisch, d.h. $\ y = x $
Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Die Tatsache, dass Verhältnisse auf der Intervallskala nicht gleich bleiben, liegt bei der Skalentransformation y = a + b*x, mit a≠0, an der Zahl .
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Kommentare zum Thema: Skalentransformation auf der Kardinalskala

  • Maren Nebeling schrieb am 21.07.2014 um 11:20 Uhr
    Hallo, vielen Dank für den Hinweis. Ich habe die Aufgabe nun geändert. Schöne Grüße.
  • Eugen Fritzler schrieb am 19.07.2014 um 12:35 Uhr
    Wirklich seltsame Frage... Soll man da das passende Wort raten? "Begründung" hätte genauso in den Satz gepasst.
Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Skalentransformation auf der Kardinalskala ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Deskriptive Statistik.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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      • Metrische Skalen
      • Metrische Skalen - Intervallskala
      • Metrische Skalen - Verhältnisskala
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