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Deskriptive Statistik

Skalentransformation auf der Kardinalskala

Die Transformation auf den Kardinalskalen erfolgt nach der Regel

Merke

Hier klicken zum AusklappenSkalentransformation auf Kardinalskalen $$\ y = {c \cdot x} + d $$

Diese Transformation wird nachfolgend bei Intervallskala, Verhältnisskala und Absolutskala gezeigt.

Transformation der Intervallskala

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenBeispiel 15:
Dr. Matthias Median, Mitarbeiter des Statistik Lehrstuhls, fliegt zu der Tagung „Skalierungen: Ein statistisches Übel?” in die USA nach Boston. Beim Aussteigen aus dem Flugzeug wird ihm gesagt, es sei 68°F warm. Was bedeutet diese Grad-Fahrenheit Temperatur in Grad-Celsius?

Wie wir schon aus Beispiel 10 wissen, lautet die Umrechnungsformel von $\ ^{\circ}\mathrm{C} $ in $\ ^{\circ}\mathrm{F} $: $\ ^{\circ}\mathrm{F} = {9 \over 5}^{\circ}\mathrm{C} + 32 $. Lösen wir nach °C auf: $\ °C = {5 \over 9}°F - {160 \over 9} $ und wir wissen, dass 68°F der Temperatur 20°C entsprechen. Das Merkmal Temperatur bleibt intervallskaliert, ob in Grad Celsius oder in Grad Fahrenheit angegeben.
Intervall skalierte Merkmale werden linear transformiert nach der Regel $\ y = {c \cdot x} + d $ mit c > 0 und d beliebig. Dies ist die gebräuchlichste Transformationsvorschrift.

Merke

Hier klicken zum AusklappenMerke: Mathematisch und statistisch korrekt sowie von einigen Autoren auch vorgeschlagen ist sogar, den Parameter c nur ungleich Null zu wählen. Wie schon zuvor angemerkt wurde, war die ursprüngliche Celsius-Skala von 100 (Gefrierpunkt) bis 0 (Siedepunkt) skaliert. Die Umwandlung auf unsere heute bekannte Einteilung erfolgte nach der Regel: $\ ^{\circ}\mathrm{C}_{neu} = -^{\circ}\mathrm{C}_{alt} + 100 $, beide Einteilungen besitzen für uns aber den gleichen Informationsgehalt und sind intervallskaliert, obwohl die Transformationsregel der gebräuchlichen Vorschrift widerspricht.

Transformation der Verhältnisskala

Da bei der Verhältnisskala ein natürlicher Nullpunkt existiert und damit Verhältnisse sinnvoll interpretiert werden können, darf nur noch proportional transformiert werden, d.h.
$\ y = {c \cdot x} + d $ mit $\ c > 0 $ Skalentransformation auf Verhältnisskala
und $\ d = 0 $ oder kurz $\ y = {c \cdot x} $ Nur hierdurch ist gewährleistet, dass die Verhältnisse / Quotienten gleich bleiben.

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenBeispiel 16:
Als häufiger Nutzer der Fluglinie „AeroShrott” hat Dr. Median wieder fleißig Bonusmeilen gesammelt. Ihm wird mitgeteilt, dass er 3.500 Meilen auf dem Flug nach Boston gutgeschrieben bekommt. Er möchte nun wissen, wie viel Kilometer er zurückgelegt hat. In seinem Reiseführer steht, dass eine Meile etwa 1,6 km entsprechen. Er ist also $\ {3.500 \cdot 1,6 } = 5.600 km $ geflogen. Beide Entfernungsangaben sind verhältnisskaliert und bleiben dies auch bei einer Umrechnung.

Transformation der Absolutskala

Auf der Absolutskala schließlich ist selbst das c nicht mehr variabel, sondern gleich 1, konkret also:

Merke

Hier klicken zum AusklappenSkalentransformation auf Absolutskala $$\ y = {c \cdot x} + d $$ mit c = 1 und d = 0, also y = x.

Die Transformation ist identisch.

Merke

Hier klicken zum AusklappenMerke: Man kann Stückzahlen wie die Anzahl von Tischen in einem Raum nicht umrechnen. Drei Tische sind einfach drei Tische, es gibt keine andere Zahl hierfür.

Anforderungen an eine Skalentransformation

Nachdem alle Skalen und deren Transformation betrachtet wurden, wird abschließend zusammenfassend festgehalten:

Skala Anforderung an die Skalentransformation
Nominalskalaumkehrbar eindeutig
Ordinalskalaeindeutig streng monoton
Intervallskalalinear, d.h. $\ y = {c \cdot x} + d $
mit c > 0 und d beliebig
Verhältnisskalaproportional, $\ y = {c \cdot x} $
mit c > 0
Absolutskalaidentisch, d.h. $\ y = x $