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Die Transformation auf den KardinalSkalen erfolgt nach der Regel
Diese Transformation wird nachfolgend bei Intervallskala, Verhältnisskala und Absolutskala gezeigt.
Transformation der Intervallskala
Beispiel
Dr. Matthias Median, Mitarbeiter des Statistik Lehrstuhls, fliegt zu der Tagung „Skalierungen: Ein statistisches Übel?” in die USA nach Boston. Beim Aussteigen aus dem Flugzeug wird ihm gesagt, es sei 68°F warm. Was bedeutet diese Grad-Fahrenheit Temperatur in Grad-Celsius?
Wie wir schon aus Beispiel 10 wissen, lautet die Umrechnungsformel von $\ ^{\circ}\mathrm{C} $ in $\ ^{\circ}\mathrm{F} $: $\ ^{\circ}\mathrm{F} = {9 \over 5}^{\circ}\mathrm{C} + 32 $. Lösen wir nach °C auf: $\ °C = {5 \over 9}°F - {160 \over 9} $ und wir wissen, dass 68°F der Temperatur 20°C entsprechen. Das Merkmal Temperatur bleibt intervallskaliert, ob in Grad Celsius oder in Grad Fahrenheit angegeben.
Intervall skalierte Merkmale werden linear transformiert nach der Regel $\ y = {c \cdot x} + d $ mit c > 0 und d beliebig. Dies ist die gebräuchlichste Transformationsvorschrift.
Merke
Transformation der Verhältnisskala
Da bei der Verhältnisskala ein natürlicher Nullpunkt existiert und damit Verhältnisse sinnvoll interpretiert werden können, darf nur noch proportional transformiert werden, d.h.
$\ y = {c \cdot x} + d $ mit $\ c > 0 $ Skalentransformation auf Verhältnisskala
und $\ d = 0 $ oder kurz $\ y = {c \cdot x} $ Nur hierdurch ist gewährleistet, dass die Verhältnisse / Quotienten gleich bleiben.
Beispiel
Als häufiger Nutzer der Fluglinie „AeroShrott” hat Dr. Median wieder fleißig Bonusmeilen gesammelt. Ihm wird mitgeteilt, dass er 3.500 Meilen auf dem Flug nach Boston gutgeschrieben bekommt. Er möchte nun wissen, wie viel Kilometer er zurückgelegt hat. In seinem Reiseführer steht, dass eine Meile etwa 1,6 km entsprechen. Er ist also $\ {3.500 \cdot 1,6 } = 5.600 km $ geflogen. Beide Entfernungsangaben sind verhältnisskaliert und bleiben dies auch bei einer Umrechnung.
Transformation der Absolutskala
Auf der Absolutskala schließlich ist selbst das c nicht mehr variabel, sondern gleich 1, konkret also:
Merke
Die Transformation ist identisch.
Merke
Anforderungen an eine Skalentransformation
Nachdem alle Skalen und deren Transformation betrachtet wurden, wird abschließend zusammenfassend festgehalten:
| Skala | Anforderung an die Skalentransformation |
| Nominalskala | umkehrbar eindeutig |
| Ordinalskala | eindeutig streng monoton |
| Intervallskala | linear, d.h. $\ y = {c \cdot x} + d $ mit c > 0 und d beliebig |
| Verhältnisskala | proportional, $\ y = {c \cdot x} $ mit c > 0 |
| Absolutskala | identisch, d.h. $\ y = x $ |
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