Kursangebot | Deskriptive Statistik | Skalentransformation auf der Kardinalskala

Deskriptive Statistik

Skalentransformation auf der Kardinalskala

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Die Regel nach der die Transformation auf den Kardinalskalen erfolgt, lautet:

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Skalentransformation auf Kardinalskalen:

$\ y = {c \cdot x} + d $

Diese Transformation wird nachfolgend bei Intervallskala, Verhältnisskala und Absolutskala gezeigt.

Transformation der Intervallskala

Beispiel

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Beispiel 15:

Die Fußballmannschaft des FC Hollywood fliegt für ein Wintertrainingslager aus dem kalten Deutschland ins warme Miami in die USA. Als die Mannschaft aus dem Flieger ausstieg sehen sie am Flughafen, dass die Außentemperatur 77°F beträgt.

Was bedeutet diese Grad-Fahrenheit Temperatur in Grad-Celsius?

Aus dem Beispiel 10 ist uns ja bekannt, dass wir die Temperaturen mit der Formel $\ ^{\circ}\mathrm{C} $ in $\ ^{\circ}\mathrm{F} $: $\ ^{\circ}\mathrm{F} = {9 \over 5}^{\circ}\mathrm{C} + 32 $umrechnen können. Durch Umstellen der Formel nach °C können berechnen, dass 77°F einer Temperatur von 25°C entspricht.
Wir sehen, dass das Merkmal Temperatur trotz Transformation weiterhin intervallskaliert ist, egal ob diese in Grad Celsius oder Grad Fahrenheit angegeben wird. Intervallskalierte Merkmale werden in der Regel linear nach der Transformationsvorschrift y = (c · x) + d mit c > 0 und d (beliebig) transformiert.

Merke

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Mathematisch und statistisch korrekt sowie von einigen Autoren auch vorgeschlagen ist sogar, den Parameter c nur ungleich Null zu wählen. Wie schon zuvor angemerkt wurde, war die ursprüngliche Celsius-Skala von 100 (Gefrierpunkt) bis 0 (Siedepunkt) skaliert. Die Umwandlung auf unsere heute bekannte Einteilung erfolgte nach der Regel: $\ ^{\circ}\mathrm{C}_{neu} = -^{\circ}\mathrm{C}_{alt} + 100 $, beide Einteilungen besitzen für uns aber den gleichen Informationsgehalt und sind intervallskaliert, obwohl die Transformationsregel der gebräuchlichen Vorschrift widerspricht.

Transformation der Verhältnisskala

Bei der Verhältnisskala gibt es einen natürlichen Nullpunkt, wodurch Verhältnisse sinnvoll gedeutet werden können.  Deshalb darf jetzt lediglich proportional transformiert werden. Die Transformationsvorschrift lautet daher y = (c · x) + d mit c > 0 und d=0, zusammengefasst also y = (c · x). Nur so sind ist ein Gleichbleiben der Verhältnisse bzw. Quotienten gesichert.

Beispiel

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Beispiel 16:

Beim Landeanflug macht der Kapitän des Fluges die Durchsage, dass sie nun ca. 5000 Flugmeilen von München nach Miami zurückgelegt haben. Einige Fußballprofis, die mit Meilen nicht anfangen können, wollen nun wissen, wie viele Kilometer sie zurückgelegt haben. Ein Spieler aus den USA weiß, dass 1 Meile etwa 1,6 km entspricht. Also haben sie 5.000 · 1,6 = 8.000 km zurückgelegt. Beide Entfernungsangaben sind verhältnisskaliert und bleiben dies auch bei einer Umrechnung.

Transformation der Absolutskala

Auf der höchsten Skala der Absolutskala ist nun sogar das c nicht mehr variabel, sondern 1, somit lautet die Transformationsformel:

Merke

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Skalentransformation auf Absolutskala:

$\begin{align} y & = {c \cdot x} + d \;\ & \text{mit c = 1 und d = 0} 
\\y & = x \end{align}$

Die Transformation ist identisch.

Merke

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Stückzahlen wie bspw. die Anzahl von Stühlen können nicht  in eine andere Einheit transformiert werden. Vier Stühle sind eben vier Stühle, es existiert keine andere Zahl dafür.

Anforderungen an eine Skalentransformation

Nun sind wir die Transformation aller Skalenniveaus durchgegangen und können als Übersicht festhalten:

Skala Anforderung an die Skalentransformation
Nominalskalaumkehrbar eindeutig
Ordinalskalaeindeutig streng monoton
Intervallskalalinear, y = c · x + d
mit c > 0 und d beliebig
Verhältnisskalaproportional, y = c · x
mit c > 0
Absolutskalaidentisch, y = x

 Alles, was wir jetzt zur Skalentransformation gelernt haben, wird in diesem Video nochmal aufbereitet: