Definition Preisindizes

Als Einführung zu den Preisindizes (auch: Preisindices) wird folgendes Beispiel betrachtet:

Manuel – statistisch sehr interessiert – bekommt eine Diskussion mit, dass alles immer teurer wird und möchte ausrechnen, ob sein morgentliches Frühstück wirklich teurer geworden ist.

Er berechnet die Ausgaben für 2018 aus. Dabei bezeichnet $\ p_i^t $ den Preis des i. Gutes im Jahr t, somit $\ q_i^t $ die Menge des i. Gutes im t. Jahr. Ergo ist $\ p_2^t = 12\ € $ der Preis des zweiten Gutes, also der Kaffee, im Jahr t = 2019, bzw. $\ p_3^0= 5\ € $ der Preis der Schokocreme im Jahr t = 0.

Berechnung der Preisentwicklung

Die Gesamtausgaben liegen bei

$\begin{align} Ausgabe_{2018} & = \sum_{i=1}^3 p_i^{2018} \cdot q_i^{2018}
\\ & = 3 \cdot 8 + 10 \cdot 0,75 + 5 \cdot 1
\\ & = 36,5 \ € \end{align}$

Jene für 2002 lauten

$\begin{align}Ausgabe_{2019} & = \sum_{i=1}^3 p_i^{2019} \cdot q_i^{2019}
\\ & = 4 \cdot 10 + 12 \cdot 0,8 + 5,5 \cdot 1,3
\\ & = 56,75\ € \end{align}$

Jetzt kommt Manuel zu dem Schluss, dass das Preisniveau um $\ ({56,75 \over 36,5 } – 1) \cdot 100 = 55,48\ \% $ gestiegen ist. Diese Überlegung kommt allerdings zu kurz, da für eine Ausgabensteigerung des Haushalts zwei Faktoren entscheidend sind:

• einmal eine Steigerung der Preise,
• zweitens auch eine Steigerung des Konsums.

Damit man die Preisentwicklung alleinig herausbekommt, muss für das Berichtsjahr t (also das Jahr, für das man den Preisindex bestimmen möchte) die gleichen Mengen unterstellen wie für das Basisjahr 0 (also das Jahr, das die Grundlage bildet für den Vergleich). Somit rechnet Manuel (t = 2019 als Berichtsjahr, 0 = 2018 als Basisjahr) $\ Ausgabe^{2018} = 36,50\ € $ und $\ Ausgabe^{2019} $ unter der Annahme der Mengen für 2018:

$\begin{align} \text{(fiktive)} Ausgabe_{2019} & = \sum_{i=1}^3 p_i^t \cdot q_i^0
\\ & = \sum_{i=1}^3 p_i^{2019} \cdot q_i^{2018}
\\ & = 4 \cdot 8 + 12  \cdot 0,75 + 5,5 \cdot 1
\\ & = 46,50\ € \end{align}$

Man nimmt also die Mengen des Basisjahres 0 = 2018 und multipliziert sie mit den Preisen des Berichtsjahres t, also von t = 2019 und erhält so den Preisanstieg:

$\begin{align} & {\sum p_i^t q_i^0 \over \sum p_i^0 q_i^0}
\\ = & {\sum p_i^{2019} q_i^{2018} \over \sum p_i^{2018} q_i^{2018}}
\\ = & \left( {46,5 \over 36,5 } -1 \right) \cdot 100
\\ = & 27,40 \% \end{align}$

Definition Preisindex

Darum ist der  Preisindex definiert als, Quotient aus dem Produkt des Preises der Berichtsperiode t und seiner Menge n und den Preisen der Basisperiode 0 $\ p_i^0 $ mal der Menge n, also $\ q_i^0 = q_i^t $.

Ein Preisindex $PI_{0,t}$ errechnet sich dann als

$\ PI_{0,t} = {\sum p_i^t q_i \over \sum p_i^0 q_i} $

Für den Preisindex ergibt sich also folgende Regel:

Bei der Wahl der Mengen $\ q_i $, ob man nun $\ q_i^t $ aus der Basis- oder der Berichtsperiode im Zähler und/oder im Nenner wählt, unterscheidet man den Preisindex nach Laspeyres vom Preisindex nach Paasche.