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Deskriptive Statistik - Definition Preisindizes

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Deskriptive Statistik

Definition Preisindizes

Als Einführung zu den Preisindizes (auch: Preisindices) wird folgendes Beispiel betrachtet:

Beispiel

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Beispiel 70 - Preisindex:

Für ein gutes Frühstück braucht man nicht mehr als Brot, Schokocreme und einen guten Kaffee. Durchschnittlich hat Manuel pro Monat folgendes konsumiert:

 BrotKaffeeSchokocreme
JahrMengePreis pro Stk.MengePreisMengePreis
201883 €0,75 kg10€ / kg1,0 kg5€ / kg
2019104 €0,80 kg12€ / kg1,3 kg5,5€ / kg

Manuel – statistisch sehr interessiert – bekommt eine Diskussion mit, dass alles immer teurer wird und möchte ausrechnen, ob sein morgentliches Frühstück wirklich teurer geworden ist.

Er berechnet die Ausgaben für 2018 aus. Dabei bezeichnet $\ p_i^t $ den Preis des i. Gutes im Jahr t, somit $\ q_i^t $ die Menge des i. Gutes im t. Jahr. Ergo ist $\ p_2^t = 12\ € $ der Preis des zweiten Gutes, also der Kaffee, im Jahr t = 2019, bzw. $\ p_3^0= 5\ € $ der Preis der Schokocreme im Jahr t = 0.

Berechnung der Preisentwicklung

Die Gesamtausgaben liegen bei

$\begin{align} Ausgabe_{2018} & = \sum_{i=1}^3 p_i^{2018} \cdot q_i^{2018}
\\ & = 3 \cdot 8 + 10 \cdot 0,75 + 5 \cdot 1
\\ & = 36,5 \ € \end{align}$

Jene für 2002 lauten

$\begin{align}Ausgabe_{2019} & = \sum_{i=1}^3 p_i^{2019} \cdot q_i^{2019}
\\ & = 4 \cdot 10 + 12 \cdot 0,8 + 5,5 \cdot 1,3
\\ & = 56,75\ € \end{align}$

Jetzt kommt Manuel zu dem Schluss, dass das Preisniveau um $\ ({56,75 \over 36,5 } – 1) \cdot 100 = 55,48\ \% $ gestiegen ist. Diese Überlegung kommt allerdings zu kurz, da für eine Ausgabensteigerung des Haushalts zwei Faktoren entscheidend sind:

  • einmal eine Steigerung der Preise,
  • zweitens auch eine Steigerung des Konsums.

Damit man die Preisentwicklung alleinig herausbekommt, muss für das Berichtsjahr t (also das Jahr, für das man den Preisindex bestimmen möchte) die gleichen Mengen unterstellen wie für das Basisjahr 0 (also das Jahr, das die Grundlage bildet für den Vergleich). Somit rechnet Manuel (t = 2019 als Berichtsjahr, 0 = 2018 als Basisjahr) $\ Ausgabe^{2018} = 36,50\ € $ und $\ Ausgabe^{2019} $ unter der Annahme der Mengen für 2018:

$\begin{align} \text{(fiktive)} Ausgabe_{2019} & = \sum_{i=1}^3 p_i^t \cdot q_i^0
\\ & = \sum_{i=1}^3 p_i^{2019} \cdot q_i^{2018}
\\ & = 4 \cdot 8 + 12  \cdot 0,75 + 5,5 \cdot 1
\\ & = 46,50\ € \end{align}$

Man nimmt also die Mengen des Basisjahres 0 = 2018 und multipliziert sie mit den Preisen des Berichtsjahres t, also von t = 2019 und erhält so den Preisanstieg:

$\begin{align} & {\sum p_i^t q_i^0 \over \sum p_i^0 q_i^0}
\\ = & {\sum p_i^{2019} q_i^{2018} \over \sum p_i^{2018} q_i^{2018}}
\\ = & \left( {46,5 \over 36,5 } -1 \right) \cdot 100
\\ = & 27,40 \% \end{align}$

Definition Preisindex

Darum ist der  Preisindex definiert als, Quotient aus dem Produkt des Preises der Berichtsperiode t und seiner Menge n und den Preisen der Basisperiode 0 $\ p_i^0 $ mal der Menge n, also $\ q_i^0 = q_i^t $.

Ein Preisindex $PI_{0,t}$ errechnet sich dann als

$\ PI_{0,t} = {\sum p_i^t q_i \over \sum p_i^0 q_i} $

Für den Preisindex ergibt sich also folgende Regel:

Merke

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Der Preisindex gibt also an, wie groß die prozentuale Steigerung der Ausgaben ist, unter der Prämisse, dass die Mengen jeweils konstant bleiben. Man stellt also ausschließlich auf die Preisänderung ab und lässt die Mengenänderung außen vor.

Bei der Wahl der Mengen $\ q_i $, ob man nun $\ q_i^t $ aus der Basis- oder der Berichtsperiode im Zähler und/oder im Nenner wählt, unterscheidet man den Preisindex nach Laspeyres vom Preisindex nach Paasche.