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Wahrscheinlichkeitsfunktion

WebinarTerminankündigung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Diskrete und stetige Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gehen wir darauf ein, welche diskreten und stetigen Verteilungen Sie in der Prüfung beherrschen müssen.
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Video: Wahrscheinlichkeitsfunktion

Unter einer Wahrscheinlichkeitsfunktion f versteht man jene Abbildung, die den Werten x einer gegebenen Zufallsvariablen X ihre Wahrscheinlichkeiten zuordnet: f(x) = P(X = x).

Charakteristisch für die Verteilung einer Zufallsvariablen sind ihre Wahrscheinlichkeits- und ihre Verteilungsfunktion.

Video: Wahrscheinlichkeitsfunktion

Unter einer Wahrscheinlichkeitsfunktion f versteht man jene Abbildung, die den Werten x einer gegebenen Zufallsvariablen X ihre Wahrscheinlichkeiten zuordnet: f(x) = P(X = x).

Merke

Unter einer Wahrscheinlichkeitsfunktion f versteht man jene Abbildung, die den Werten x einer gegebenen Zufallsvariablen X ihre Wahrscheinlichkeiten zuordnet: f(x) = P(X = x).

Man beachte dabei den Unterschied zwischen

  • der Zufallsvariablen X (sprich: groß X) und

  • dem Wert x (sprich: klein x), den diese Zufallsvariable annimmt.

Merke

Man redet nur bei diskreten Zufallvariablen von Wahrscheinlichkeitsfunktionen. Bei stetigen hingegen spricht man analog von Dichtefunktionen, die im Kapitel „Dichtefunktionen“ noch behandelt werden.

Beispiel

Beim einfachen Würfelwurf bezeichne X die gewürfelte Augenzahl. Damit gilt, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl von 1 bis 6 zu würfeln, jeweils genau gleich 1/6 ist.

  • In der Schreibweise ohne den Begriff der Zufallsvariablen würden wir P(1 würfeln) = P(2 würfeln) = ... = P(6 würfeln) schreiben.

  • Mit einer Zufallsvariablen, genauer mit einer Wahrscheinlichkeitsfunktion, schreibt man f(x) = P(X = x) = 1/6 oder auch f(1) = f(2) = ... = f(6) = 1/6.

Bildlich gesprochen:

Abb. 5.2: Wahrscheinlichkeitsfunktion beim einfachen Würfelwurf
Abb. 5.2: Wahrscheinlichkeitsfunktion beim einfachen Würfelwurf

Merke

Man beachte hier nochmals den Unterschied zwischen der Schreibweise

  • ohne eine Zufallsvariable:

    P(4) ... die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl 4 geworfen wird

  • und mit Zufallsvariable:

    P(X = 4) ... die Wahrscheinlichkeit, dass der Zufallsvariable der Wert 4 zugewiesen wird.

Beispiel

Beim zweifachen Münzwurf lautet die Menge der Elementarereignisse Ω = {(K,K), (K,Z), (Z,K), (Z,Z)}. Es sei X die Anzahl der gefallenen Köpfte beim zweifachen Münzwurf. Gib die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X an.

Wenn X die Anzahl der gefallenen Köpfe bei jedem zweifachen Münzwurf angibt, dann ist

  • X = 0, wenn kein Kopf fällt, d.h. wenn das Elementarereignis (Z,Z) eintritt, es ist

  • X = 1 bei (Z,K) und (K,Z) und schließlich

  • X = 2 bei (K,K).

Also gilt als Verteilung und damit als Wahrscheinlichkeitsfunktion für X die Darstellung

Wert, den die Zufallsvariable X annimmt

dahinterstehende Ereignisse

P

0

(Z,Z)

1/4

1

(Z,K), (K,Z)

1/2

2

(K,K)

1/4

Methode

LAMBERT – KOCHREZEPT WAHRSCHEINLICHKEITSFUNKTION:

1) Was ist überhaupt möglich? Mit anderen Worten: was ist die Menge der Elementarereignisse?

2) Wofür interessiert man sich? Mit anderen Worten: welche Werte kann die Zufallsvariable annehmen?

ACHTUNG: oftmals nimmt die Zufallsvariable auch den Wert 0 an, was mancher gerne übersieht.

3) Was sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P? Finde also die rechte Seite der Tabelle.

ACHTUNG: die Summe der Wahrscheinlichkeiten muß immer 1 ergeben. Hieran kann man gut kontrollieren, ob man alle relevanten Ereignisse beachtet hat.

4) Eintragen der Werte in das Koordinatensystem. Auf die Abszisse trägt man die Werte ein, die die Zufallsvariable annehmen kann (Schritt 2), auf die Ordinate die zugehörige Wahrscheinlichkeit (Schritt 3).

ACHTUNG: oftmals trägt man Stäbe ein, was mathematisch unkorrekt ist, weil nur der obige Punkt von der Wahrscheinlichkeitsfunktion angenommen wird.

Aufgabe:

Eine diskrete Zufallsvariable X sei symmetrisch um 3 verteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert 3 angenommen wird, ist 0,3, die Wahrscheinlichkeit für 5 lautet 0,1, jene für 8 liegt bei 0,15 und die für 9 ist 0,1.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten

a) P(-1 < X ≤ 2) und

b) P(4 < X ≤ 7).

Lösung:

a) P(-1 < X ≤ 2) = P(X = 0 $\cup$ X = 1 $\cup$ X = 2). Da diese Mengen jeweils disjunkt sind, lässt sich rechnen P(X = 0 $\cup$ X = 1 $\cup$ X = 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0 + 0,1 + 0 = 0,1.

b) P(4 < X ≤ 7) = P(X = 5 $\cup$ X = 6 $\cup$ X = 7) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 0,1 + 0 + 0 = 0,1.

Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Wahrscheinlichkeitsfunktion

  • Maren Nebeling schrieb am 20.01.2015 um 11:46 Uhr
    Hallo Anja, vielen Dank für den Hinweis. Ich habe das Skript nun korrigiert. Natürlich war weiterhin der Münzwurf gemeint. Schöne Grüße
  • Anja Schmidt schrieb am 20.01.2015 um 11:33 Uhr
    Im Beispiel oben ist erst von zweifachem Münzwurf dann vom doppelten Würfelwurf die Rede
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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Wahrscheinlichkeitsfunktion ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
Vorstellung des Online-Kurses WahrscheinlichkeitsrechnungWahrscheinlichkeitsrechnung
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  • Gute Bewertung für Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Ein Kursnutzer am 23.07.2015:
    "Weiter so!! viele Grüße aus Nürnberg"

  • Gute Bewertung für Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Ein Kursnutzer am 08.06.2015:
    "Ich finde, dass Herrn Lambert eine große Gabe hat, schwierige Sachverhalte einfach und strukturiert wiederzugeben. Man gewinnt außerdem den Eindruck, dass er Spaß an der Erklärung hat und an wichtiger Stelle die Fokussierung mit Witz und Präzision in der Wortwahl den Stoff einleuchtend vermittelt. Ich würde mal sagen, das war ein ganz schön dickes LOB! :-) Danke! "

  • Gute Bewertung für Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Ein Kursnutzer am 19.01.2015:
    "Super toll , besser als ein Buch"

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