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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Wahrscheinlichkeitsfunktion

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Wahrscheinlichkeitsfunktion

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Video: Wahrscheinlichkeitsfunktion

Charakteristisch für die Verteilung einer Zufallsvariablen sind ihre Wahrscheinlichkeits- und ihre Verteilungsfunktion.

Video: Wahrscheinlichkeitsfunktion

Merke

Unter einer Wahrscheinlichkeitsfunktion f versteht man jene Abbildung, die den Werten x einer gegebenen Zufallsvariablen X ihre Wahrscheinlichkeiten zuordnet: f(x) = P(X = x).

Man beachte dabei den Unterschied zwischen

  • der Zufallsvariablen X (sprich: groß X) und

  • dem Wert x (sprich: klein x), den diese Zufallsvariable annimmt.

Merke

Man redet nur bei diskreten Zufallvariablen von Wahrscheinlichkeitsfunktionen. Bei stetigen hingegen spricht man analog von Dichtefunktionen, die im Kapitel „Dichtefunktionen“ noch behandelt werden.

Beispiel

Beim einfachen Würfelwurf bezeichne X die gewürfelte Augenzahl. Damit gilt, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl von 1 bis 6 zu würfeln, jeweils genau gleich 1/6 ist.

  • In der Schreibweise ohne den Begriff der Zufallsvariablen würden wir P(1 würfeln) = P(2 würfeln) = ... = P(6 würfeln) schreiben.

  • Mit einer Zufallsvariablen, genauer mit einer Wahrscheinlichkeitsfunktion, schreibt man f(x) = P(X = x) = 1/6 oder auch f(1) = f(2) = ... = f(6) = 1/6.

Bildlich gesprochen:

Abb. 5.2: Wahrscheinlichkeitsfunktion beim einfachen Würfelwurf
Abb. 5.2: Wahrscheinlichkeitsfunktion beim einfachen Würfelwurf

Merke

Man beachte hier nochmals den Unterschied zwischen der Schreibweise

  • ohne eine Zufallsvariable:

    P(4) ... die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl 4 geworfen wird

  • und mit Zufallsvariable:

    P(X = 4) ... die Wahrscheinlichkeit, dass der Zufallsvariable der Wert 4 zugewiesen wird.

Beispiel

Beim zweifachen Münzwurf lautet die Menge der Elementarereignisse Ω = {(K,K), (K,Z), (Z,K), (Z,Z)}. Es sei X die Anzahl der gefallenen Köpfte beim zweifachen Münzwurf. Gib die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X an.

Wenn X die Anzahl der gefallenen Köpfe bei jedem zweifachen Münzwurf angibt, dann ist

  • X = 0, wenn kein Kopf fällt, d.h. wenn das Elementarereignis (Z,Z) eintritt, es ist

  • X = 1 bei (Z,K) und (K,Z) und schließlich

  • X = 2 bei (K,K).

Also gilt als Verteilung und damit als Wahrscheinlichkeitsfunktion für X die Darstellung

Wert, den die Zufallsvariable X annimmt

dahinterstehende Ereignisse

P

0

(Z,Z)

1/4

1

(Z,K), (K,Z)

1/2

2

(K,K)

1/4

Methode

LAMBERT – KOCHREZEPT WAHRSCHEINLICHKEITSFUNKTION:

1) Was ist überhaupt möglich? Mit anderen Worten: was ist die Menge der Elementarereignisse?

2) Wofür interessiert man sich? Mit anderen Worten: welche Werte kann die Zufallsvariable annehmen?

ACHTUNG: oftmals nimmt die Zufallsvariable auch den Wert 0 an, was mancher gerne übersieht.

3) Was sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P? Finde also die rechte Seite der Tabelle.

ACHTUNG: die Summe der Wahrscheinlichkeiten muß immer 1 ergeben. Hieran kann man gut kontrollieren, ob man alle relevanten Ereignisse beachtet hat.

4) Eintragen der Werte in das Koordinatensystem. Auf die Abszisse trägt man die Werte ein, die die Zufallsvariable annehmen kann (Schritt 2), auf die Ordinate die zugehörige Wahrscheinlichkeit (Schritt 3).

ACHTUNG: oftmals trägt man Stäbe ein, was mathematisch unkorrekt ist, weil nur der obige Punkt von der Wahrscheinlichkeitsfunktion angenommen wird.

Aufgabe:

Eine diskrete Zufallsvariable X sei symmetrisch um 3 verteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert 3 angenommen wird, ist 0,3, die Wahrscheinlichkeit für 5 lautet 0,1, jene für 8 liegt bei 0,15 und die für 9 ist 0,1.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten

a) P(-1 < X ≤ 2) und

b) P(4 < X ≤ 7).

Lösung:

a) P(-1 < X ≤ 2) = P(X = 0 $\cup$ X = 1 $\cup$ X = 2). Da diese Mengen jeweils disjunkt sind, lässt sich rechnen P(X = 0 $\cup$ X = 1 $\cup$ X = 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0 + 0,1 + 0 = 0,1.

b) P(4 < X ≤ 7) = P(X = 5 $\cup$ X = 6 $\cup$ X = 7) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 0,1 + 0 + 0 = 0,1.