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Indexrechnung > Umbasierung und Verkettung von Indizes:

Die Rundprobe

WebinarTerminankündigung:
 Am 19.01.2017 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Statistik: Konfidenzintervalle und Testtheorie
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Ein weiteres wichtiges Thema in der Indexrechnung ist die Verkettung und Umbasierung. Problematisch wird die Interpretation von Preis- und auch von Mengenindices, wenn diese sich auf unterschiedliche Basisperioden beziehen. So kann man sagen, dass bei $\ PI_{00,01} = 1,1 $ ; $\ PI_{00,02} = 1,2 $ ; $\ PI_{00,03} = 1,35 $
sich das Preisniveau im ersten Jahr um 10 % erhöht hat, um danach um 20 %, im letzten Jahr sogar um 35 % zu steigen (alle Angaben im Vergleich zum Basisjahr t = 2000!). Wie interpretiert man allerdings dann
$\ PI_{00,01} = 1,1 $ ; $\ PI_{00,02} = 1,2 $ ; $\ PI_{00,03} = 1,35 $ ; $\ PI_{02,03} = 1,2 $;$\ PI_{03,04} = 1,3 $ ?

Die Rundprobe

Die letzten beiden Indices haben einen ganz anderen Bezugspunkt, d.h. ein anderes Basisjahr. Ideal wäre es, wenn ein Preisindex die sogenannte Rundprobe erfüllt.

Merke

Rundprobe $$\ PI_{0,t} = PI_{0,1} \cdot PI_{1,2} \cdot PI_{2,3} \cdot \ldots \cdot Pi_{t-1,t} $$ Man könnte dann die jeweiligen Preisindices unterschiedlicher, aber benachbarter Perioden, aufmultiplizieren und würde schließlich nach t-facher Multiplikation den Preisindex erhalten zum Berichtsjahr t (und zum ersten auf der rechten Seite gewählten Basisjahr 0).

Merke

Merke: Leider hat von den o.g. Indices nur der Lowe-Index die Eigenschaft, die Rundprobe zu erfüllen.

Berechnung am Beispiel

Beispiel

Beispiel 71:
Wir erweitern das Beispiel 70 des Düsseldorfer Studenten Hubert:
  Bücher Cola Nudeln
Jahr Mengen Preis Mengen Preis Mengen Preis
2001 20 10 500l 1€/l 100kg 0,8€/kg
2002 30 15 600l 1,3€/l 80kg 1€/kg
2003 35 20 650l 1,5€/l 100kg 0,9€/kg
2004 40 22 700l 1,3€/l 120kg 0,8€/kg

Genügt der Laspeyres-Index der Rundprobe?
Die Preisindices nach Laspeyres sind
$$\ \begin{align} PI_{02,03}^L &={\sum p_{03} q_{02} \over \sum p_{02} q_{02}} \\ &={20 \cdot 30+1,5 \cdot 600+0,9 \cdot 80 \over 15 \cdot 30+1,3 \cdot 600+1 \cdot 80} \\ &={1572 \over 1310}= 1,2 \end {align} $$ und $$\ PI_{03,04}^L={1170 \over 780}= 1,5 $$ Es müsste also gelten
$\ PI_{03,04}^L=PI_{01,02}^L \cdot PI_{02,03}^L \cdot PI_{03,04}^L \Leftrightarrow 1,5 = 1,347 \cdot 1,2 \cdot 0,9603 \Leftrightarrow 1,5 = 1,5522 $, was aber nicht stimmt. Der Laspeyres-Index genügt also im vorliegenden Beispiel (und damit allgemein) nicht der Rundprobe.

In einem weiteren Beispiel wird gezeigt, das die Rundprobe jedoch beim Lowe-Preisindex Gültigkeit besitzt.

Beispiel 72:
Zeige am vorliegenden Beispiel 71 die Gültigkeit der Rundprobe für den Lowe-Preisindex.
$\ PI_{01,02}^{Lowe}= 1,3532 $, wie oben errechnet. Für den Preisindex zum Basisjahr 0 = 2002 und dem Berichtsjahr t = 2003 rechnet man
$\ q_1={1 \over 1+1} \sum_(k=1)^(1+1) q_1^k $, also
$\ q_1 = {1 \over 2} (30 + 35)=32,5; q_2 = {1 \over 2} (600 + 650) = 625 $ und $\ q_3 = {1 \over 2} = (80 + 100) = 90 $.
Damit ist
$$\ \begin{align} PI_{02,03}^{Lowe}& ={\sum p_i^t q_i \over \sum p_i^0 q_i}={20 \cdot 32,5+1,5 \cdot 625+0,9 \cdot 90 \over 15 \cdot 32,5+1,3 \cdot 625+1 \cdot 90} \\ & ={1.668,5 \over 1.390}= 1,20036 \end {align} $$ Den Preisindex nach Lowe für 0 = 03 und t = 04 rechnet man wieder die q-Werte als arithmetisches Mittel der Mengen aus: $\ q_1 = 21,\ q_2 = 675 $ und $\ q_3 = 110 $. Der Preisindex selbst ist dann
$$\ PI_{03,04}^{Lowe}={20 \cdot 21+1,3 \cdot 675+0,8 \cdot 110 \over 20 \cdot 21+1,5 \cdot 675+0,9 \cdot 110}={1.427,5 \over 1.531,5}= 0,9321 $$ Der Preisindex nach Lowe schließlich zum Basisjahr 0 = 01 und zum Berichtsjahr t = 2004 ist nämlich $\ q_1 = {1 \over 4} (20 + 30 + 35 + 40) = 31,25 $, $\ q_2 = 612,5 $ und $\ q_3 = 100 $.
$$\ \begin{align} PI_{01,04}^{Lowe}& ={22 \cdot 31,25+1,3 \cdot 612,5+0,8 \cdot 100 \cdot 10 \cdot 31,25+1 \cdot 612,5+0,8 \cdot 110} \\ & ={1.563,75 \over 1.005}= 1,55597 \end {align} $$ $\ PI^L_{0,14}= PI^L_{01,02} \cdot PI^L_{02,03} \cdot PI^L_{03,04} = 1,3532 \cdot 1,20036 \cdot 0,9321 = 1,514 $,
also stimmt die Rundprobe (wenn man von Rundungsungenauigkeiten absieht).

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Bei der Rundprobe wird überprüft, ob der Preisindex zum Berichtsjahr t und zum Basisjahr 0 nichts anderes ist als ein  von Preisindices, wobei Berichts- und Basisjahr jeweils nur genau ein Jahr voneinander entfernt liegen.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Kommentare zum Thema: Die Rundprobe

  • Maren Nebeling schrieb am 25.02.2015 um 08:20 Uhr
    Hallo Maximilian, auf welche Aufgabe beziehst du dich bei deiner Frage? Schöne Grüße
  • Maximilian Mähr schrieb am 21.02.2015 um 09:26 Uhr
    Hallo, bei einer Aufgabe sollte ich den L-Preisindex(2011,2012) berechnen - soweit kein Problem. Nun soll ich ihn aber mit einer Reihe 2007-2011 (Basisjahr 2005) verketten. Gehe ich richtig in der Annahme, dass nach den obigen Ausführungen die Aufgabe dann nicht zu lösen ist? Der L-Preisindex (2005,2011) beträgt 120.
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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Die Rundprobe ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Deskriptive Statistik.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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