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Deskriptive Statistik - Die Rundprobe

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Deskriptive Statistik

Die Rundprobe

Ein weiteres wichtiges Thema in der Indexrechnung ist die Verkettung und Umbasierung. Problematisch wird die Interpretation von Preis- und auch von Mengenindices, wenn diese sich auf unterschiedliche Basisperioden beziehen. So kann man sagen, dass bei $\ PI_{00,01} = 1,1 $ ; $\ PI_{00,02} = 1,2 $ ; $\ PI_{00,03} = 1,35 $
sich das Preisniveau im ersten Jahr um 10 % erhöht hat, um danach um 20 %, im letzten Jahr sogar um 35 % zu steigen (alle Angaben im Vergleich zum Basisjahr t = 2000!). Wie interpretiert man allerdings dann
$\ PI_{00,01} = 1,1 $ ; $\ PI_{00,02} = 1,2 $ ; $\ PI_{00,03} = 1,35 $ ; $\ PI_{02,03} = 1,2 $;$\ PI_{03,04} = 1,3 $ ?

Die Rundprobe

Die letzten beiden Indices haben einen ganz anderen Bezugspunkt, d.h. ein anderes Basisjahr. Ideal wäre es, wenn ein Preisindex die sogenannte Rundprobe erfüllt.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Rundprobe $$\ PI_{0,t} = PI_{0,1} \cdot PI_{1,2} \cdot PI_{2,3} \cdot \ldots \cdot Pi_{t-1,t} $$ Man könnte dann die jeweiligen Preisindices unterschiedlicher, aber benachbarter Perioden, aufmultiplizieren und würde schließlich nach t-facher Multiplikation den Preisindex erhalten zum Berichtsjahr t (und zum ersten auf der rechten Seite gewählten Basisjahr 0).

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Merke: Leider hat von den o.g. Indices nur der Lowe-Index die Eigenschaft, die Rundprobe zu erfüllen.

Berechnung am Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 71:
Wir erweitern das Beispiel 70 des Düsseldorfer Studenten Hubert:
  Bücher Cola Nudeln
Jahr Mengen Preis Mengen Preis Mengen Preis
20012010500l1€/l100kg0,8€/kg
20023015600l1,3€/l80kg1€/kg
20033520650l1,5€/l100kg0,9€/kg
20044022700l1,3€/l120kg0,8€/kg

Genügt der Laspeyres-Index der Rundprobe?
Die Preisindices nach Laspeyres sind
$$\ \begin{align} PI_{02,03}^L &={\sum p_{03} q_{02} \over \sum p_{02} q_{02}} \\ &={20 \cdot 30+1,5 \cdot 600+0,9 \cdot 80 \over 15 \cdot 30+1,3 \cdot 600+1 \cdot 80} \\ &={1572 \over 1310}= 1,2 \end {align} $$ und $$\ PI_{03,04}^L={1170 \over 780}= 1,5 $$ Es müsste also gelten
$\ PI_{03,04}^L=PI_{01,02}^L \cdot PI_{02,03}^L \cdot PI_{03,04}^L \Leftrightarrow 1,5 = 1,347 \cdot 1,2 \cdot 0,9603 \Leftrightarrow 1,5 = 1,5522 $, was aber nicht stimmt. Der Laspeyres-Index genügt also im vorliegenden Beispiel (und damit allgemein) nicht der Rundprobe.

In einem weiteren Beispiel wird gezeigt, das die Rundprobe jedoch beim Lowe-Preisindex Gültigkeit besitzt.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Beispiel 72:
Zeige am vorliegenden Beispiel 71 die Gültigkeit der Rundprobe für den Lowe-Preisindex.
$\ PI_{01,02}^{Lowe}= 1,3532 $, wie oben errechnet. Für den Preisindex zum Basisjahr 0 = 2002 und dem Berichtsjahr t = 2003 rechnet man
$\ q_1={1 \over 1+1} \sum_(k=1)^(1+1) q_1^k $, also
$\ q_1 = {1 \over 2} (30 + 35)=32,5; q_2 = {1 \over 2} (600 + 650) = 625 $ und $\ q_3 = {1 \over 2} = (80 + 100) = 90 $.
Damit ist
$$\ \begin{align} PI_{02,03}^{Lowe}& ={\sum p_i^t q_i \over \sum p_i^0 q_i}={20 \cdot 32,5+1,5 \cdot 625+0,9 \cdot 90 \over 15 \cdot 32,5+1,3 \cdot 625+1 \cdot 90} \\ & ={1.668,5 \over 1.390}= 1,20036 \end {align} $$ Den Preisindex nach Lowe für 0 = 03 und t = 04 rechnet man wieder die q-Werte als arithmetisches Mittel der Mengen aus: $\ q_1 = 21,\ q_2 = 675 $ und $\ q_3 = 110 $. Der Preisindex selbst ist dann
$$\ PI_{03,04}^{Lowe}={20 \cdot 21+1,3 \cdot 675+0,8 \cdot 110 \over 20 \cdot 21+1,5 \cdot 675+0,9 \cdot 110}={1.427,5 \over 1.531,5}= 0,9321 $$ Der Preisindex nach Lowe schließlich zum Basisjahr 0 = 01 und zum Berichtsjahr t = 2004 ist nämlich $\ q_1 = {1 \over 4} (20 + 30 + 35 + 40) = 31,25 $, $\ q_2 = 612,5 $ und $\ q_3 = 100 $.
$$\ \begin{align} PI_{01,04}^{Lowe}& ={22 \cdot 31,25+1,3 \cdot 612,5+0,8 \cdot 100 \cdot 10 \cdot 31,25+1 \cdot 612,5+0,8 \cdot 110} \\ & ={1.563,75 \over 1.005}= 1,55597 \end {align} $$ $\ PI^L_{0,14}= PI^L_{01,02} \cdot PI^L_{02,03} \cdot PI^L_{03,04} = 1,3532 \cdot 1,20036 \cdot 0,9321 = 1,514 $,
also stimmt die Rundprobe (wenn man von Rundungsungenauigkeiten absieht).