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Deskriptive Statistik - Die Rundprobe

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Deskriptive Statistik

Die Rundprobe

Als letztes wollen wir noch ein die Verkettung und Umbasierung in der Indexrechnung thematisieren. Beziehen sich Preis- oder Mengenindices auf unterschiedliche Basisperioden, dann wird deren Interpretation  problematisch.

So sagen die Indizes

$\begin{align} PI_{17,18} & = 1,05
\\ PI_{17,19} & = 1,15
\\ PI_{17,20} & = 1,2 \end {align} $

bspw. aus, dass im ersten Jahr die Preise um 5% gestiegen sind, im zweiten um 15% und im Jahr 2021 bereits um 20%, alle jeweils im Vergleich zum Basisjahr 2017.

Stellt sich allerdings die Frage, wie interpretiert man

$\begin{align} PI_{17,18} & = 1,05
\\ PI_{17,19} & = 1,15
\\ PI_{17,20} & = 1,2
\\ PI_{18,20} & = 1,1
\\ PI_{20,21} & = 1,25 \end {align} $

Die Rundprobe

Die zwei letztgenanntem Preisindizes haben einen anderes Basisjahr als die anderen. Daher sollte ein Preisindex idealerweise die Rundprobe erfüllen.

Merke

Rundprobe

$$\ PI_{0,t} = PI_{0,1} \cdot PI_{1,2} \cdot PI_{2,3} \cdot \ldots \cdot Pi_{t-1,t} $$

Man könnte dann die jeweiligen Preisindices unterschiedlicher, aber benachbarter Perioden, aufmultiplizieren und würde schließlich nach t-facher Multiplikation den Preisindex erhalten zum Berichtsjahr t (und zum ersten auf der rechten Seite gewählten Basisjahr 0).

Berechnung am Beispiel

Beispiel

Beispiel 71:

Wir erweitern das Beispiel 70 um einige weitere Jahre:

 BrotKaffeeSchokocreme
Jahr Mengen Preis Mengen Preis Mengen Preis
201883,00,75 kg10 €/kg1,0 kg5,00 €/kg
2019104,00,80 kg12 €/kg1,3 kg5,50 €/kg
2020115,00,85 kg14 €/kg1,0 kg5,25 €/kg
2021135,50,90 kg12 €/kg1,6 kg5,00 €/kg

Genügt der Laspeyres-Index der Rundprobe?

Die Preisindices nach Laspeyres sind

$\begin{align} PI_{19,20}^L & = {\sum p_{20} q_{19} \over \sum p_{19} q_{19}}
\\ & = {5 \cdot 10 +14 \cdot 0,8 + 5,25 \cdot 1,3 \over 4 \cdot 10 + 12 \cdot 0,8 + 5,5 \cdot 1,3}
\\ & ={68 \over 56,75}
\\ & = 1,1987 \\
\\ & \text{und} \\
\\ PI_{18,21}^L & ={58 \over 36,5} = 1,5890 \end {align} $

Daher müsste gelten:

$\begin{align} PI_{03,04}^L & = PI_{01,02}^L \cdot PI_{02,03}^L \cdot PI_{03,04}^L
\\ \Leftrightarrow 1,5890 & = 1,2740 \cdot 1,1987 \cdot 1,0492
\\ \Leftrightarrow 1,5890 & = 1,6022 \end {align} $

Wie man sieht, ist dies allerdings nicht der Fall. Der Laspeyres-Index genügt also im vorliegenden Beispiel (und damit allgemein) nicht der Rundprobe.

Hinweis

Leider hat von allen genannten Indizes nur der Lowe-Index die Eigenschaft, die Rundprobe zu erfüllen.

In einem weiteren Beispiel können wir zeigen, dass die Rundprobe beim Lowe-Preisindex gilt.

Beispiel

Beispiel 72:

Zeige am vorliegenden Beispiel 71 die Gültigkeit der Rundprobe für den Lowe-Preisindex.

$\ PI_{18,19}^{Lowe} = 1,2747 $, wie im vorherigen Kapitelabschnitt errechnet.

Für den Preisindex zum Basisjahr 0 = 2019 und dem Berichtsjahr t = 2020 rechnet man

$\begin{align} q_1 & ={1 \over 1+1} \sum_{(k=1)}^{(1+1)} = {1 \over 2} (10 + 11) = 10,5;
\\ q_2 & = {1 \over 2} \cdot (0,80+ 0,85) = 0,825
\\ q_3 & = {1 \over 2} \cdot (1,3+ 1,0) = 1,15 \end {align} $.

Damit ist

$\begin{align} PI_{19,20}^{Lowe} & = {\sum p_i^t q_i \over \sum p_i^0 q_i}
\\ & = {5 \cdot 10,5 + 14 \cdot 0,825 + 5,25 \cdot 1,15 \over 4 \cdot 10,5 + 12 \cdot 0,825 + 5,5 \cdot 1,15}
\\ & = {70,0875 \over 58,2250}
\\ & = 1,2037 \end {align} $

Den Preisindex nach Lowe fürs Basisjahr 0 = 20 und Berichtsjahr t = 21 rechnet man wieder die q-Werte als arithmetisches Mittel der Mengen aus:

$\begin{align} & q_1 = 12
\\ & q_2 = 0,875
\\ & q_3 = 1,3 \end {align} $

Der Preisindex selbst ist dann

$\begin{align} PI_{20,21}^{Lowe} & = {5,5 \cdot 12 + 12 \cdot 0,875 + 5,0 \cdot 1,3 \over 5,0 \cdot 12 + 14 \cdot 0,875 + 5,25 \cdot 1,3}
\\ & ={83,0 \over 79,075}
\\ & = 1,0496 \end {align} $

Der Preisindex nach Lowe schließlich zum Basisjahr 0 = 18 und zum Berichtsjahr t = 2021 ist nämlich

$\begin{align} q_1 & = {1 \over 4} (20 + 30 + 35 + 40) = 10,5
\\ q_2 & = 0,825
\\ q_3 & = 1,225 \end {align} $

$\begin{align} PI_{18,21}^{Lowe} & = {{5,5 \cdot 10,5 + 12 \cdot 0,825 + 5,0 \cdot 1,225} \over {5,5 \cdot 10,5 + 10 \cdot 0,825 + 5,0 \cdot 1,225}}
\\ & ={73,775 \over 45,875}
= 1,6082 \end {align} $

$\begin{align} PI^L_{18,21} & = PI^L_{18,19} \cdot PI^L_{19,20} \cdot PI^L_{20,21}
\\ & = 1,2747 \cdot 1,2037 \cdot 1,0496
\\ & = 1,6106 \end {align} $,

also gilt die Rundprobe, mit Ausnahme einiger Rundungsungenauigkeiten.