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Deskriptive Statistik - Die Rundprobe

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Deskriptive Statistik

Die Rundprobe

Ein weiteres wichtiges Thema in der Indexrechnung ist die Verkettung und Umbasierung. Problematisch wird die Interpretation von Preis- und auch von Mengenindices, wenn diese sich auf unterschiedliche Basisperioden beziehen. So kann man sagen, dass bei $\ PI_{00,01} = 1,1 $ ; $\ PI_{00,02} = 1,2 $ ; $\ PI_{00,03} = 1,35 $
sich das Preisniveau im ersten Jahr um 10 % erhöht hat, um danach um 20 %, im letzten Jahr sogar um 35 % zu steigen (alle Angaben im Vergleich zum Basisjahr t = 2000!). Wie interpretiert man allerdings dann
$\ PI_{00,01} = 1,1 $ ; $\ PI_{00,02} = 1,2 $ ; $\ PI_{00,03} = 1,35 $ ; $\ PI_{02,03} = 1,2 $;$\ PI_{03,04} = 1,3 $ ?

Die Rundprobe

Die letzten beiden Indices haben einen ganz anderen Bezugspunkt, d.h. ein anderes Basisjahr. Ideal wäre es, wenn ein Preisindex die sogenannte Rundprobe erfüllt.

Merke

Rundprobe $$\ PI_{0,t} = PI_{0,1} \cdot PI_{1,2} \cdot PI_{2,3} \cdot \ldots \cdot Pi_{t-1,t} $$ Man könnte dann die jeweiligen Preisindices unterschiedlicher, aber benachbarter Perioden, aufmultiplizieren und würde schließlich nach t-facher Multiplikation den Preisindex erhalten zum Berichtsjahr t (und zum ersten auf der rechten Seite gewählten Basisjahr 0).

Merke

Merke: Leider hat von den o.g. Indices nur der Lowe-Index die Eigenschaft, die Rundprobe zu erfüllen.

Berechnung am Beispiel

Beispiel

Beispiel 71:
Wir erweitern das Beispiel 70 des Düsseldorfer Studenten Hubert:
  Bücher Cola Nudeln
Jahr Mengen Preis Mengen Preis Mengen Preis
2001 20 10 500l 1€/l 100kg 0,8€/kg
2002 30 15 600l 1,3€/l 80kg 1€/kg
2003 35 20 650l 1,5€/l 100kg 0,9€/kg
2004 40 22 700l 1,3€/l 120kg 0,8€/kg

Genügt der Laspeyres-Index der Rundprobe?
Die Preisindices nach Laspeyres sind
$$\ \begin{align} PI_{02,03}^L &={\sum p_{03} q_{02} \over \sum p_{02} q_{02}} \\ &={20 \cdot 30+1,5 \cdot 600+0,9 \cdot 80 \over 15 \cdot 30+1,3 \cdot 600+1 \cdot 80} \\ &={1572 \over 1310}= 1,2 \end {align} $$ und $$\ PI_{03,04}^L={1170 \over 780}= 1,5 $$ Es müsste also gelten
$\ PI_{03,04}^L=PI_{01,02}^L \cdot PI_{02,03}^L \cdot PI_{03,04}^L \Leftrightarrow 1,5 = 1,347 \cdot 1,2 \cdot 0,9603 \Leftrightarrow 1,5 = 1,5522 $, was aber nicht stimmt. Der Laspeyres-Index genügt also im vorliegenden Beispiel (und damit allgemein) nicht der Rundprobe.

In einem weiteren Beispiel wird gezeigt, das die Rundprobe jedoch beim Lowe-Preisindex Gültigkeit besitzt.

Beispiel 72:
Zeige am vorliegenden Beispiel 71 die Gültigkeit der Rundprobe für den Lowe-Preisindex.
$\ PI_{01,02}^{Lowe}= 1,3532 $, wie oben errechnet. Für den Preisindex zum Basisjahr 0 = 2002 und dem Berichtsjahr t = 2003 rechnet man
$\ q_1={1 \over 1+1} \sum_(k=1)^(1+1) q_1^k $, also
$\ q_1 = {1 \over 2} (30 + 35)=32,5; q_2 = {1 \over 2} (600 + 650) = 625 $ und $\ q_3 = {1 \over 2} = (80 + 100) = 90 $.
Damit ist
$$\ \begin{align} PI_{02,03}^{Lowe}& ={\sum p_i^t q_i \over \sum p_i^0 q_i}={20 \cdot 32,5+1,5 \cdot 625+0,9 \cdot 90 \over 15 \cdot 32,5+1,3 \cdot 625+1 \cdot 90} \\ & ={1.668,5 \over 1.390}= 1,20036 \end {align} $$ Den Preisindex nach Lowe für 0 = 03 und t = 04 rechnet man wieder die q-Werte als arithmetisches Mittel der Mengen aus: $\ q_1 = 21,\ q_2 = 675 $ und $\ q_3 = 110 $. Der Preisindex selbst ist dann
$$\ PI_{03,04}^{Lowe}={20 \cdot 21+1,3 \cdot 675+0,8 \cdot 110 \over 20 \cdot 21+1,5 \cdot 675+0,9 \cdot 110}={1.427,5 \over 1.531,5}= 0,9321 $$ Der Preisindex nach Lowe schließlich zum Basisjahr 0 = 01 und zum Berichtsjahr t = 2004 ist nämlich $\ q_1 = {1 \over 4} (20 + 30 + 35 + 40) = 31,25 $, $\ q_2 = 612,5 $ und $\ q_3 = 100 $.
$$\ \begin{align} PI_{01,04}^{Lowe}& ={22 \cdot 31,25+1,3 \cdot 612,5+0,8 \cdot 100 \cdot 10 \cdot 31,25+1 \cdot 612,5+0,8 \cdot 110} \\ & ={1.563,75 \over 1.005}= 1,55597 \end {align} $$ $\ PI^L_{0,14}= PI^L_{01,02} \cdot PI^L_{02,03} \cdot PI^L_{03,04} = 1,3532 \cdot 1,20036 \cdot 0,9321 = 1,514 $,
also stimmt die Rundprobe (wenn man von Rundungsungenauigkeiten absieht).