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Deskriptive Statistik - Rosenbluth-Index

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Deskriptive Statistik

Rosenbluth-Index

Der Rosenbluth-Index $\ C_R $ gilt als Maß für die absolute Konzentration: Der Rosenbluth-Index berechnet sich als

$\ C_R = \frac {1}{2 \cdot \sum_{i=1}^m G_i-1} $

Dieser Index ist wiederum:

$\ C_R = {1 \over n} $ bei fehlender Konzentration und

$\ C_R = 1 $ bei kompletter Konzentration. 

Berechnung des Rosenbluth-Index

Beispiel

Beispiel 47:

Wir wandeln den Kontext von unserem bekannten Beispiel etwas ab. So handelt es sich jetzt bei den Werten nicht mehr um die Einkommensverteilung von Fußballspielern, sondern um Umsätze von Geschäften. Die Werte sind dabei alle in Tausendern angegeben.

In unserer imaginären Stadt Median City sind in der Innenstadt verschiedene Geschäfte ansässig. Sechs von ihnen (A - F) erwirtschaften einen Umsatz von je 200.000 €. Das Geschäft Gundlach (G) hingegen erwirtschaftet einen Ertrag von 400.000 €, das Geschäft Haus & Heim (H) erzielt sogar 600.000 €. Die Läden Income (I) und Jewellery (J) haben einen vorteilhaften Standort auf dem hoch frequentierten Marktplatz und können so den größten Umsatz erwirtschaften. Auf Income (I) entfallen 1.700.000 € und auf das Geschäft Jewellery (J) sogar 2.000.000 €.

Wir berechnen zunächst die Anteile der Geschäfte am Gesamtumsatz U = 7.200€, die anschließend kumuliert werden:

GeschäftABCDEFGHIJ
Umsatz2002002002002002004006002.0003.000
Anteil0,02780,02780,02780,02780,02780,02780,05560,08330,27780,4167
kumul. Anteil0,02780,05560,08330,11110,13890,16670,22220,30560,58331

Im Fall von Median City rechnen wir, wenn es zehn Geschäfte sind:

$\ \begin{align} C_R & = \frac {1}{(2 \cdot (0,0278 + 0,0556 + 0,0833+ (...) + 0,3056 + 0,5833 + 1)) -1}
\\ & = \frac {1}{(2 \cdot 2,694) - 1}
\\& = 0,2278 \end{align} $

Schleißen sich nun die sechs kleinsten Geschäfte A-F zusammen, so ergibt sich für diese ein Umsatz von 1.200€. Daraus ergibt sich:

GeschäftA - F GHIJ
Umsatz1.200 (= 6 * 200)4006002.0003.000

$ \begin{align} C_R & = \frac {1}{2 \cdot (0,1667 + 0,2222 + 0,3056 + 0,5833 +1) - 1}
\\ & = \frac {1}{2 \cdot 2,2778 - 1}
\\ & = 0,2813 \end{align} $

Somit ist ein Anstieg des Rosenbluth-Indexes zu verzeichnen.

Beispiel klassierte Daten

Abschließend noch ein Beispiel für den Umgang mit klassierten Daten.

Beispiel

Beispiel 48:

In einem Unternehmen sind die Mitarbeiter unterschiedlich lange angestellt:

Jahre im Unternehmen
 Anzahl der Mitarbeiter
bis 13
1 bis unter 25
2 bis unter 59
5 bis unter 106
über 102

Gib die Lorenzkurve und den Gini-Koeffizienten für die vorliegenden klassierten Daten an.

Als erstes muss man bestimmen, wie lange die Mitarbeiter in den einzelnen Klassen insgesamt im Unternehmen sind, um die gesamte Dauer pro Klasse kumulieren zu können und danach die relativen Häufigkeiten $\ c_i $ berechnen, welche dann ebenfalls zu $\ C_i $ kumuliert werden.

Für die Werte auf der Abszisse bezieht man die jeweiligen Zahlen der Mitarbeiter auf die Gesamtzahl aller Arbeitnehmer, hier also auf 25. Schließlich muss man eine geeignete Klassengrenze für die oberste Klasse wählen, bspw. 35 Jahre. So ergibt sich:

Klasse Mitte AnzahlJahre ci
 Cj
 fj
 Fj
[0; 1)0,531,50,01230,01230,120,12
[1; 2)1,557,50,06170,07410,20,32
[2 ;5)3,5922,50,18520,25930,360,68
[5 ;10)7,56450,37040,62960,240,92
[10 ;20)22,52450,370410,081
∑ 25121,51 1 

Der Gini-Koeffizient lautet somit:

$\begin{align} D_G & = \sum (F_{i – 1}+F_i) \cdot ci – 1
\\ & = {[((0 + 0,12) \cdot 0,0123)} + {((0,12+0,32) \cdot 0,0617)} +...+ {((0,92+1) \cdot 0,3704)] –1}
\\ & = 0,5175 \end{align}$