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Deskriptive Statistik - Rosenbluth-Index

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Deskriptive Statistik

Rosenbluth-Index

Der Rosenbluth-Index $\ C_R $ gilt als Maß für die absolute Konzentration: Der Rosenbluth-Index berechnet sich als $$\ C_R = \frac {1}{2 \cdot \sum_{i=1}^m G_i-1} $$ Dieser Index ist wiederum:
$\ C_R = {1 \over n} $ bei fehlender Konzentration und

$\ C_R = 1 $ bei kompletter Konzentration. 

Berechnung des Rosenbluth-Index

Beispiel

Beispiel 46 der Tennisschlägerverkäufer (zur Erinnerung):

In der schönen schwäbischen Stadt Beimen sind zehn Verkäufer von Tennisschlägern ansässig. Sechs von ihnen erwirtschaften einen Umsatz von jeweils 500.000 €. Das Geschäft Ivan (I) ist erfolgreicher: es hat einen Ertrag von 700.000 €. Michael (M), ein Geschäft am Stadtrand, erzielt 600.000 €. Die Läden Steffi (S) und Boris (B) hingegen liegen direkt in der Stadtmitte und erzielen den höchsten Umsatz: auf Steffi entfallen 1.700.000 €, auf Boris sogar 2.000.000 €. Stelle die Konzentration anhand der Lorenzkurve und anhand geeigneter Konzentrationsmaße dar.

Alsdann werden die Anteile der Geschäfte am Gesamtumsatz, hier also U = 8 000.000 €, ermittelt und danach kumuliert:

Geschäft 1 2 3 4 5 6 M I S B
Umsatz 500 500 500 500 500 500 600 700 1.700 2.000
Anteil 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,075 0,0875 0,2125 0,25
kumul. Anteil 0,0625 0,125 0,1875 0,25 0,3125 0,375 0,45 0,5375 0,75 1

Im Fall der Stadt Beimen rechnen wir also

$$\ \begin{align} C_R & = \frac {1}{2 \cdot (0,0625+0,125+0,1875+ (...) +0,5375+0,75+1)-1} \\ & = \frac {1}{2 \cdot 4,05-1} = 0,141 \end{align} $$ wenn es zehn Geschäfte sind.

Sollten sich die kleinsten sechs der Geschäfte zusammenschließen, so beträgt deren Umsatz zusammen bekanntlich 3.000.000 €. Damit erhält man

Geschäft 1 2 3 4 5
Umsatz 3.000.000
(= 6 * 500.000)
600.000 700.000 1.700.000 2.000.000

und also: $$\ \begin{align} C_R & = \frac {1}{2 \cdot (0,375+0,45+0,5375+0,75+1) - 1} \\ & = \frac {1}{2 \cdot 3,1125-1} = 0,191 \end{align} $$ Der Rosenbluth-Index der absoluten Konzentration steigt also.

Beispiel klassierte Daten

Schließlich noch ein Beispiel zu klassierten Daten.

Beispiel

Beispiel 48:
Das Einkommen innerhalb der Unternehmung X sei wie folgt verteilt:

Einkommensklasse Anzahl der Mitarbeiter
bis 1.000 5
1.000 bis unter 2.000 10
2.000 bis unter 5.000 18
5.000 bis unter 10.000 13
über 10.000 4

Gib die Lorenzkurve und den Gini-Koeffizienten für die vorliegenden klassierten Daten an.
Es muss ausgerechnet werden, wie viel in den Klassen insgesamt verdient wird, um diese Gesamteinkommen pro Klasse zu kumulieren und hiervon die relativen Häufigkeiten $\ c_i $ zu berechnen und diese dann zu $\ C_i $ zu kumulieren. Für die Werte auf der Abzisse bezieht man die jeweiligen Zahlen der Mitarbeiter auf die Gesamtzahl aller Arbeitnehmer, hier also auf 50. Schließlich muss man eine geeignete Klassengrenze für die oberste Klasse wählen, so z.B. 20.000 €.
Es gilt also

Klasse Mitte Anzahl Einkommen $$\ c_i $$ $$\ C_j $$ $$\ f_j $$ $$\ F_j $$
[0;1.000) 500 5 2.500 0,011 0,011 0,1 0,1
[1.000;2.000) 1.500 10 15.000 0,063 0,074 0,2 0,3
[2.000;5.000) 3.500 18 63.000 0,265 0,339 0,36 0,66
[5.000;10.000) 7.500 13 97.500 0,41 0,749 0,26 0,92
[10.000;20.000) 15.000 4 60.000 0,252 1 0,08 1
  50 238.000 1   1  

Der Gini-Koeffizient ist damit
$\ D_G = \sum (F_{i – 1}+F_i) \cdot ci – 1 $ $\ = {(0 + 0,1) \cdot 0,011}+{(0,1+0,3) \cdot 0,063}+...+{(0,92+1) \cdot 0,252–1}= 0,41234 $