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Konzentrationsmessung > Absolute Konzentration:

Rosenbluth-Index

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Der Rosenbluth-Index $\ C_R $ gilt als Maß für die absolute Konzentration: Der Rosenbluth-Index berechnet sich als $$\ C_R = \frac {1}{2 \cdot \sum_{i=1}^m G_i-1} $$ Dieser Index ist wiederum:
$\ C_R = {1 \over n} $ bei fehlender Konzentration und

$\ C_R = 1 $ bei kompletter Konzentration. 

Berechnung des Rosenbluth-Index

Beispiel

Beispiel 46 der Tennisschlägerverkäufer (zur Erinnerung):

In der schönen schwäbischen Stadt Beimen sind zehn Verkäufer von Tennisschlägern ansässig. Sechs von ihnen erwirtschaften einen Umsatz von jeweils 500.000 €. Das Geschäft Ivan (I) ist erfolgreicher: es hat einen Ertrag von 700.000 €. Michael (M), ein Geschäft am Stadtrand, erzielt 600.000 €. Die Läden Steffi (S) und Boris (B) hingegen liegen direkt in der Stadtmitte und erzielen den höchsten Umsatz: auf Steffi entfallen 1.700.000 €, auf Boris sogar 2.000.000 €. Stelle die Konzentration anhand der Lorenzkurve und anhand geeigneter Konzentrationsmaße dar.

Alsdann werden die Anteile der Geschäfte am Gesamtumsatz, hier also U = 8 000.000 €, ermittelt und danach kumuliert:

Geschäft 1 2 3 4 5 6 M I S B
Umsatz 500 500 500 500 500 500 600 700 1.700 2.000
Anteil 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 0,075 0,0875 0,2125 0,25
kumul. Anteil 0,0625 0,125 0,1875 0,25 0,3125 0,375 0,45 0,5375 0,75 1

Im Fall der Stadt Beimen rechnen wir also

$$\ \begin{align} C_R & = \frac {1}{2 \cdot (0,0625+0,125+0,1875+ (...) +0,5375+0,75+1)-1} \\ & = \frac {1}{2 \cdot 4,05-1} = 0,141 \end{align} $$ wenn es zehn Geschäfte sind.

Sollten sich die kleinsten sechs der Geschäfte zusammenschließen, so beträgt deren Umsatz zusammen bekanntlich 3.000.000 €. Damit erhält man

Geschäft 1 2 3 4 5
Umsatz 3.000.000
(= 6 * 500.000)
600.000 700.000 1.700.000 2.000.000

und also: $$\ \begin{align} C_R & = \frac {1}{2 \cdot (0,375+0,45+0,5375+0,75+1) - 1} \\ & = \frac {1}{2 \cdot 3,1125-1} = 0,191 \end{align} $$ Der Rosenbluth-Index der absoluten Konzentration steigt also.

Beispiel klassierte Daten

Schließlich noch ein Beispiel zu klassierten Daten.

Beispiel

Beispiel 48:
Das Einkommen innerhalb der Unternehmung X sei wie folgt verteilt:

Einkommensklasse Anzahl der Mitarbeiter
bis 1.000 5
1.000 bis unter 2.000 10
2.000 bis unter 5.000 18
5.000 bis unter 10.000 13
über 10.000 4

Gib die Lorenzkurve und den Gini-Koeffizienten für die vorliegenden klassierten Daten an.
Es muss ausgerechnet werden, wie viel in den Klassen insgesamt verdient wird, um diese Gesamteinkommen pro Klasse zu kumulieren und hiervon die relativen Häufigkeiten $\ c_i $ zu berechnen und diese dann zu $\ C_i $ zu kumulieren. Für die Werte auf der Abzisse bezieht man die jeweiligen Zahlen der Mitarbeiter auf die Gesamtzahl aller Arbeitnehmer, hier also auf 50. Schließlich muss man eine geeignete Klassengrenze für die oberste Klasse wählen, so z.B. 20.000 €.
Es gilt also

Klasse Mitte Anzahl Einkommen $$\ c_i $$ $$\ C_j $$ $$\ f_j $$ $$\ F_j $$
[0;1.000) 500 5 2.500 0,011 0,011 0,1 0,1
[1.000;2.000) 1.500 10 15.000 0,063 0,074 0,2 0,3
[2.000;5.000) 3.500 18 63.000 0,265 0,339 0,36 0,66
[5.000;10.000) 7.500 13 97.500 0,41 0,749 0,26 0,92
[10.000;20.000) 15.000 4 60.000 0,252 1 0,08 1
  50 238.000 1   1  

Der Gini-Koeffizient ist damit
$\ D_G = \sum (F_{i – 1}+F_i) \cdot ci – 1 $ $\ = {(0 + 0,1) \cdot 0,011}+{(0,1+0,3) \cdot 0,063}+...+{(0,92+1) \cdot 0,252–1}= 0,41234 $

Multiple-Choice
Bei kompletter Konzentration beträgt der Rosenbluth-Index...
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Kommentare zum Thema: Rosenbluth-Index

  • Daniel Lambert schrieb am 10.01.2015 um 00:52 Uhr
    Hi Marcel, hi Amit, danke für den Hinweis... ;-)
  • Amit Yadava schrieb am 26.12.2014 um 20:17 Uhr
    Bitte einmal die frage beantworten.
  • MarcelS schrieb am 29.07.2014 um 20:43 Uhr
    Irgendwie stehe ich gerade auf den Schlauch. Wieso werden aus der Formel die (H i-1 + Hi ) x ci heißt: Die Daten aus Fi genommen, wieso steht dann da nicht : (F i-1 + Fi)x ci ? Oder ist damit die Zelle H gemeint ?
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Autor: Daniel Lambert

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Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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