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Gini-Koeffizient

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Interessant ist es, nicht nur die Konzentration auf der Lorenz-Kurve zu sehen, sondern auch, sie zu berechnen. Hier hilft der Gini-Koeffizient. Wenn man die Fläche K zwischen der Winkelhalbierenden und der Lorenzkurve schraffiert, dann steigt bei wachsender Konzentration die Größe dieser Fläche.

Formel zur Berechnung des Gini-Koeffizienten

Die Fläche K wird nun dividiert durch das Dreieck unter der Winkelhalbierenden (die wir auch manchmal Hauptdiagonale nennen) und der Abszisse. Letzteres ist genau $\ {1 \over 2} \cdot 100 \cdot 100 = 5.000$. Man erhält den Gini-Koeffizienten G als

$$\ G ={\text {Fläche zwischen der Lorenzkurve und der 45°-Linie} \over \text {Fläche unterhalb der 45°-Linie}} $$
Da die Fläche unterhalb der Hauptdiagonalen allerdings $\ {1 \over 2} \cdot 100 \cdot 100 = 5.000$ ist, lässt sich direkt rechnen: $\ G ={K \over 5.000} $.
Zweckmäßigerweise errechnet man K als Differenz aus dem Dreieck unterhalb der Hauptdiagonalen und der Summe der Trapeze unterhalb der Lorenzkurve.
Darüber hinaus gibt es unterschiedliche Formeln für den Gini-Koeffizienten, die ohne das graphische Verständnis der Fläche unterhalb der Lorenzkurve auskommen:

  • $$\ G= {2 \sum_{i=1}^n i \cdot p_i-(n+1) \over n} $$
  • $$\ G= {{2 \sum_{i=1}^n i \cdot x_i - (n+1) \cdot \sum_{i=1}^n x_i} \over {n \cdot \sum_{i=1}^n x_i}} $$
  • $$\ G={{1 \over n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i-x_j| \over {2 \cdot \overline x}} $$
  • $$\ G= \sum_{i=1}^n (H_{i-1}+H_i) \cdot c_i-1 $$

Die letzte Formel ist insbesondere für klassierte Daten geeignet (kann aber genau so auch bei unklassierten verwendet werden).
Man benennt $\ F(x_j) $ als Anteil auf der Abszisse (also hier: der Geschäfte) und $\ g(x_j) $ als Anteil auf der Ordinate (hier: des Umsatzes).
Klarerweise liegt G zwischen 0 und $\ {n-1 \over n} $ d.h. es ist $\ 0 \leq G \leq {n-1 \over n} $.

  • Im Fall der völligen Konzentration
    • gilt $\ G={n-1 \over n} $,
  • bei einer Gleichverteilung (also fehlender Konzentration),
    • ist $\ G = 0 $.

Der normierte Gini-Koeffizient

Die fehlende Normierung des Gini-Koeffizienten auf 1 wird durch den sog. normierten Gini-Koeffizienten G* hergestellt. Man berechnet ihn durch
$\ G^*= {n \over n-1} \cdot G $
Für die Stadt Beimen aus einem vorherigen Beispiel errechnet man einen Gini-Koeffizienten von
$\ G= {n \over 2 \sum_{i=1}^n i \cdot p_i-(n+1)}={10 \over 2\cdot (1 \cdot 0,0625 + 2 \cdot 0,0625+...+10 \cdot 0,25)-(10+1)}=0,29 $

oder anders:
$\ G={{n \cdot \sum_{i=1}^n x_i} \over {2 \sum_{i=1}^n i \cdot x_i - (n+1) \cdot \sum_{i=1}^n x_i}}= {{10 \cdot 8.000}\over {2 \cdot (1 \cdot 500+...+10 \cdot 2.000)-11 \cdot 8.000 }} = 0,29 $

oder auch
$\ G = \sum_{i=1}^n (H_{i-1}+H_i) \cdot c_i-1 $
$\ = (0 + 0,1) \cdot 0,0625 + (0,1 + 0,2) \cdot 0,0625 + [...] + (0,9 + 1) \cdot 0,25-1 $
$\ = 0,0625 \cdot 3,6 + 0,0175 + 0,13125 + 0,36125 + 0,475 - 1 = 0,29 $

Lückentext
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Je größer die relative Konzentration, umso größer ist der .
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Kommentare zum Thema: Gini-Koeffizient

  • Maren Nebeling schrieb am 30.09.2014 um 17:05 Uhr
    Hallo, vielen Dank für die Hinweise. Die Fehler sind nun verbessert. Schöne Grüße.
  • Fabian Geffers schrieb am 27.09.2014 um 10:56 Uhr
    Hallo. Für den normierten Gini-Koeffizienten kenne ich die Formel Gnorm=G*((n-1)/n). Zähler und Nenner sind also vertauscht.. Kann gerade auch nur Quellen finden die meine Variante unterstützen... lg fg
  • Eugen Fritzler schrieb am 24.07.2014 um 09:19 Uhr
    In der letzten Rechnung fehlen die Punkte bei: 0,0625+ [...] + (0,9+1)⋅0,25. In der letzten Zeile ebenfalls. Könnte bei dem einen oder anderen für Verwirrung sorgen.
Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

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Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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