Gini-Koeffizient

Interessant ist es, nicht nur die Konzentration auf der Lorenz-Kurve zu sehen, sondern auch, sie zu berechnen. Hier hilft der Gini-Koeffizient. Wenn man die Fläche K zwischen der Winkelhalbierenden und der Lorenzkurve schraffiert, dann steigt bei wachsender Konzentration die Größe dieser Fläche.

Formel zur Berechnung des Gini-Koeffizienten

Die Fläche K wird nun dividiert durch das Dreieck unter der Winkelhalbierenden (die wir auch manchmal Hauptdiagonale nennen) und der Abszisse. Letzteres ist genau $\ {1 \over 2} \cdot 100 \cdot 100 = 5.000$. Man erhält den Gini-Koeffizienten G als

$$\ G ={\text {Fläche zwischen der Lorenzkurve und der 45°-Linie} \over \text {Fläche unterhalb der 45°-Linie}} $$
Da die Fläche unterhalb der Hauptdiagonalen allerdings $\ {1 \over 2} \cdot 100 \cdot 100 = 5.000$ ist, lässt sich direkt rechnen: $\ G ={K \over 5.000} $.
Zweckmäßigerweise errechnet man K als Differenz aus dem Dreieck unterhalb der Hauptdiagonalen und der Summe der Trapeze unterhalb der Lorenzkurve.
Darüber hinaus gibt es unterschiedliche Formeln für den Gini-Koeffizienten, die ohne das graphische Verständnis der Fläche unterhalb der Lorenzkurve auskommen:

• $$\ G= {2 \sum_{i=1}^n i \cdot p_i-(n+1) \over n} $$
• $$\ G= {{2 \sum_{i=1}^n i \cdot x_i - (n+1) \cdot \sum_{i=1}^n x_i} \over {n \cdot \sum_{i=1}^n x_i}} $$
• $$\ G={{1 \over n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i-x_j| \over {2 \cdot \overline x}} $$
• $$\ G= \sum_{i=1}^n (H_{i-1}+H_i) \cdot c_i-1 $$

Die letzte Formel ist insbesondere für klassierte Daten geeignet (kann aber genau so auch bei unklassierten verwendet werden).
Man benennt $\ F(x_j) $ als Anteil auf der Abszisse (also hier: der Geschäfte) und $\ g(x_j) $ als Anteil auf der Ordinate (hier: des Umsatzes).
Klarerweise liegt G zwischen 0 und $\ {n-1 \over n} $ d.h. es ist $\ 0 \leq G \leq {n-1 \over n} $.

• Im Fall der völligen Konzentration
  • gilt $\ G={n-1 \over n} $,
• bei einer Gleichverteilung (also fehlender Konzentration),
  • ist $\ G = 0 $.

Der normierte Gini-Koeffizient

Die fehlende Normierung des Gini-Koeffizienten auf 1 wird durch den sog. normierten Gini-Koeffizienten G* hergestellt. Man berechnet ihn durch
$\ G^*= {n \over n-1} \cdot G $
Für die Stadt Beimen aus einem vorherigen Beispiel errechnet man einen Gini-Koeffizienten von
$\ G= {n \over 2 \sum_{i=1}^n i \cdot p_i-(n+1)}={10 \over 2\cdot (1 \cdot 0,0625 + 2 \cdot 0,0625+...+10 \cdot 0,25)-(10+1)}=0,29 $

oder anders:
$\ G={{n \cdot \sum_{i=1}^n x_i} \over {2 \sum_{i=1}^n i \cdot x_i - (n+1) \cdot \sum_{i=1}^n x_i}}= {{10 \cdot 8.000}\over {2 \cdot (1 \cdot 500+...+10 \cdot 2.000)-11 \cdot 8.000 }} = 0,29 $

oder auch
$\ G = \sum_{i=1}^n (H_{i-1}+H_i) \cdot c_i-1 $
$\ = (0 + 0,1) \cdot 0,0625 + (0,1 + 0,2) \cdot 0,0625 + [...] + (0,9 + 1) \cdot 0,25-1 $
$\ = 0,0625 \cdot 3,6 + 0,0175 + 0,13125 + 0,36125 + 0,475 - 1 = 0,29 $