Kursangebot | Deskriptive Statistik | Geometrisches Mittel

Deskriptive Statistik

Geometrisches Mittel

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Bestehen die Merkmalswerte aus Wachstums- oder Aufzinsungsfaktoren, die über unterschiedliche Perioden hinweg betrachtet werden, so ist nicht das arithmetische, sondern das geometrische Mittel zu verwenden. Zum Verständnis folgendes Beispiel.

Beispiel zum geometrischen Mittel

Beispiel

Beispiel 39:
Der Kontostand des Studenten D entwickelte sich in den letzten Jahren wie folgt (alle Beträge auf € umgerechnet)

Jahre 1998 1999 2000 2001 2002 2003
Kontostand 1000 1050 1020 1200 1200 1300

Berechne

  • die Wachstumsraten der einzelnen Jahre und
  • die durchschnittliche Verzinsung insgesamt.

Die einzelnen Verzinsungen lauten für die einzelnen Jahre

Jahre 1998-1999 1999-2000 2000-2001 2001-2002 2002-2003
Verzinsung 0,05 -0,0286 0,1765 0 0,0833

So rechnet man beispielsweise $\ ({1200 \over 1020} -1) \cdot 100=17,65$% für den Zeitraum von 2000 bis 2001. Wie lautet nun die Wachstumsrate insgesamt im Jahresdurchschnitt? Wenn ein Konto von 1.000 € auf 1.300 € in fünf Jahren wächst, dann sind das $\ ( \sqrt[5]{1300 \over 1000} -1)\cdot 100 = 5,3874$% pro Jahr. Dies verifiziert man leicht durch die Probe der Kontostände, die sich ergeben bei einer Rendite von 5,3874 % pro Jahr:

Jahre 1998 1999 2000 2001 2002 2003
Kontostand 1000 1054 1111 1170 1234 1300

Formel des geometrischen Mittels

Zwei Wege zur Bestimmung des geometrischen Mittels:
  • direkter Weg Man erhält also die mittlere Wachstumsrate auf direktem Wege durch die Formel $$\ \overline x_g = ( \sqrt [n]{K_n \over K_0} -1 ) \cdot 100 $$

  • indirekter Weg (= geometrisches Mittel) Über die einzelnen Jahresrenditen selbst gelangt man aber auch zum Ziel durch das geometrische Mittel $\ \overline x_g $
    $$\ \overline x_g= ( \sqrt [n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ...\cdot x_n} -1 ) \cdot 100 $$

Merke

Merke: Die einzelnen $\ x_i $ in der Wurzel sind die Aufzinsungsfaktoren, nicht die Renditen selbst:
  • bei einer Rentabilität von 5 % (also 0,05) ist der Aufzinsungsfaktor 1,05,  
  • bei einer negativen Rendite von –2,9579 % lautet der Aufzinsungsfaktor 0,970421,  
  • wenn der Kontostand gleich bleibt wie zwischen 2001 und 2002, ist die Rendite 0 %, der Aufzinsungsfaktor also 1,0.

Angewendet auf das Beispiel 39 rechnet man damit:
$\ \overline x_g=( \sqrt [5]{1,05 \cdot 0,97143 \cdot 1,17647 \cdot 1 \cdot 1,0833}-1) \cdot 100 = 5,387 $ %

Video zum geometrischen Mittel

Schauen wir uns abschließend ein Lernvideo zum geometrischen Mittel an:

Video: Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel wird verwendet, wenn die Merkmalswerte aus Wachstumsfaktoren oder Aufzinsungsfaktoren bestehen.