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Bestehen die Merkmalswerte aus Wachstums- oder Aufzinsungsfaktoren, die über unterschiedliche Perioden hinweg betrachtet werden, so ist nicht das arithmetische, sondern das geometrische Mittel zu verwenden. Zum Verständnis folgendes Beispiel.
Das geometrische Mittel
Beispiel
Beispiel 39:
Das durchschnittliche Brutto-Einkommen in Deutschland hat sich in den Jahren 2015 bis 2020 folgendermaßen entwickelt:
| Jahr | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
| Einkommen | 2.773 | 2.842 | 2.914 | 3.007 | 3.095 | 3.092 |
Berechne die Wachstumsraten der einzelnen Jahre und die durchschnittliche Einkommensentwicklung insgesamt.
Die einzelnen Verzinsungen lauten für die einzelnen Jahre:
| Jahre | 2015 - 2016 | 2016 - 2017 | 2017 - 2018 | 2018 - 2019 | 2019 - 2020 |
| Wachstumsrate | 0,0249 | 0,0253 | 0,0319 | 0,0293 | - 0,001 |
Die Wachstumsrate für die Zeit von 2015 bis 2016 berechnet man $\ ({2.842\over 2.773} -1) \cdot 100 = 2,49$%. Die Wachstumsrate für den gesamten Zeitraum von 2015 - 2020 bestimmt man, indem man $[(\sqrt[5]{3.092 \over 2.773}) -1]\cdot 100 = 2,2017$% . Das lässt sich leicht kontrollieren, indem wir den Ausgangswert von 2.773€ mit dem durchschnittlichen Wachstum von 2,2017% per Anno verrechnen:
| Jahre | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
| Einkommen | 2.773,00 | 2.834,05 | 2.896,45 | 2960,22 | 3025,39 | 3092,00 |
Formel des geometrischen Mittels
Expertentipp
- direkter Weg Man erhält also die mittlere Wachstumsrate auf direktem Wege durch die Formel $$\ \overline x_g = ( \sqrt [n]{K_n \over K_0} -1 ) \cdot 100 $$
- indirekter Weg (= geometrisches Mittel) Über die einzelnen Jahresrenditen selbst gelangt man aber auch zum Ziel durch das geometrische Mittel $\ \overline x_g $
$$\ \overline x_g= ( \sqrt [n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ...\cdot x_n} -1 ) \cdot 100 $$
Merke
Die einzelnen $\ x_i $ in der Wurzel sind die Aufzinsungsfaktoren, nicht die Renditen selbst:
- bei einer Rentabilität von 2,49 % (also 0,0249) ist der Aufzinsungsfaktor 1,0249
- bei einer negativen Rendite von – 0,001 % lautet der Aufzinsungsfaktor 0,999
- wenn das absolute Wachstum gleich 0 ist, dann ist die Rendite 0 %, der Aufzinsungsfaktor also 1,0.
Angewendet auf das Beispiel 39 rechnet man damit:
$\overline x_g=( \sqrt [5]{1,0249 \cdot 1,0253 \cdot 1,0319 \cdot 1,0293 \cdot 0,999} - 1) \cdot 100 = 2,2011 $ %
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