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Deskriptive Statistik - Geometrisches Mittel

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Deskriptive Statistik

Geometrisches Mittel

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Bestehen die Merkmalswerte aus Wachstums- oder Aufzinsungsfaktoren, die über unterschiedliche Perioden hinweg betrachtet werden, so ist nicht das arithmetische, sondern das geometrische Mittel zu verwenden. Zum Verständnis folgendes Beispiel.

Das geometrische Mittel

Beispiel

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Beispiel 39:

Das durchschnittliche Brutto-Einkommen in Deutschland hat sich in den Jahren 2015 bis 2020 folgendermaßen entwickelt:

Jahr201520162017201820192020
Einkommen2.7732.8422.9143.0073.0953.092

Berechne die Wachstumsraten der einzelnen Jahre und die durchschnittliche Einkommensentwicklung insgesamt.

Die einzelnen Verzinsungen lauten für die einzelnen Jahre:

Jahre2015 - 20162016 - 20172017 - 20182018 - 20192019 - 2020
Wachstumsrate0,02490,02530,03190,0293- 0,001

Die Wachstumsrate für die Zeit von 2015 bis 2016 berechnet man $\ ({2.842\over 2.773} -1) \cdot 100 = 2,49$%. Die Wachstumsrate für den gesamten Zeitraum von 2015 - 2020 bestimmt man, indem man $[(\sqrt[5]{3.092 \over 2.773}) -1]\cdot 100 = 2,2017$% . Das lässt sich leicht kontrollieren, indem wir den Ausgangswert von 2.773€ mit dem durchschnittlichen Wachstum von 2,2017% per Anno verrechnen:

Jahre201520162017201820192020
Einkommen2.773,002.834,052.896,452960,223025,393092,00

Formel des geometrischen Mittels

Expertentipp

Hier klicken zum Ausklappen Zwei Wege zur Bestimmung des geometrischen Mittels:
  • direkter Weg Man erhält also die mittlere Wachstumsrate auf direktem Wege durch die Formel $$\ \overline x_g = ( \sqrt [n]{K_n \over K_0} -1 ) \cdot 100 $$

  • indirekter Weg (= geometrisches Mittel) Über die einzelnen Jahresrenditen selbst gelangt man aber auch zum Ziel durch das geometrische Mittel $\ \overline x_g $
    $$\ \overline x_g= ( \sqrt [n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ...\cdot x_n} -1 ) \cdot 100 $$

Merke

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Die einzelnen $\ x_i $ in der Wurzel sind die Aufzinsungsfaktoren, nicht die Renditen selbst:

  • bei einer Rentabilität von 2,49 % (also 0,0249) ist der Aufzinsungsfaktor 1,0249
  • bei einer negativen Rendite von – 0,001 % lautet der Aufzinsungsfaktor 0,999
  • wenn das absolute Wachstum gleich 0 ist, dann ist die Rendite 0 %, der Aufzinsungsfaktor also 1,0.

Angewendet auf das Beispiel 39 rechnet man damit:

$\overline x_g=( \sqrt [5]{1,0249 \cdot 1,0253 \cdot 1,0319 \cdot 1,0293 \cdot 0,999} - 1) \cdot 100 = 2,2011 $ %