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Investitionsrechnung

Einführung in die Portefeuilletheorie

Kerngedanke der Portefeuilletheorie ist der folgende: Wenn man unterschiedliche Wertpapiere, deren Erträge unsicher sind, miteinander vergleicht, so ist es interessant zu wissen, welche Rendite man erwarten kann und mit welchem Risiko diese Erwartungen verbunden sind. Folgende Aufgabe möge die Problematik verdeutlichen.

Beispiel

Beispiel

Beispiel 29:
Die Aktien A und B haben folgende Rendite in den letzten Jahren erzielt:
Aktien A B
t = 1 0,05 0,13
t = 2 0,08 0,1
t = 3 0,13 0,08
t = 4 0,14 -0,07
Welche erwartete Rendite weisen die beiden Aktien auf? Welches Risiko ist mit der Anlage in die jeweilige Aktie verbunden? Wie stark hängen die Wertentwicklungen zusammen?

Berechnung des Erwartungswerts

Der Erwartungswert $\ \mu $ der Rendite eines Wertpapiers berechnet sich nach der Formel,

$\ \mu={1 \over n} \cdot \sum_{i=1}^n r $,

wenn die Umweltzustände alle gleich wahrscheinlich sind, d.h. die Wahrscheinlichkeit $\ {1 \over n} $ aufweisen, bzw. nach der zweiten Formel,

$\ \mu= \sum_{i=1}^n w_i \cdot r_i $,

wenn der i. Umweltzustand mit Wahrscheinlichkeit $\ w_i $ eintritt. Hierbei bezeichnet $\ r_i $ die Rendite im i. Umweltzustand. Der Erwartungswert der Rendite von Wertpapier A ist damit

$\ \mu_A ={1 \over 4} \cdot (5\ \% + 8\ \% + 13\ \% + 14\ \%) = 10\ \% $, jener von Wertpapier B
lautet $\ \mu_B = {1 \over 4} \cdot [13\ \% + 10\ \% + 8\ \% + (-7\ \%)] = 6\ \% $.

Angesichts der recht schwankenden Wertentwicklung von A, die immerhin zwischen $5 %$ und $14 %$ liegt, erwartet man einen „mittleren Wert“ von $10 %$, d.h. mehr als bei B, weil jenes Wertpapier auch nicht so hohe Werte annehmen kann (nämlich $13 %$).

Merke

Der Erwartungswert ist kein Wert, der mit Wahrscheinlichkeit von $50 %$ angenommen wird.
  • Ebenso ist er kein Wert, der in der Liste der möglichen Werte liegen muss, siehe die $10 %$ bei Wertpapier A, die gar nicht passieren können, bzw. in der Vergangenheit nicht eingetreten sind.
  • Der Erwartungswert einer Verteilung ist vielmehr eine Art Mittelwert, er ist der Schwerpunkt der Verteilung.

Risiko der Renditeentwicklung

Das Risiko der Renditeentwicklung wird gemessen durch die Standardabweichung der Renditen. Hierzu muss man zunächst die Varianz ausrechnen. Die Varianz eines Wertpapiers A ist hierbei

$\ \sigma^2 ={1 \over n} \sum_{i=1}^n (r_i - \mu)^2 $,

wenn die Wahrscheinlichkeiten alle gleich sind, nämlich $\ w_i = {1 \over n} $, bzw.

$\ \sigma^2 = \sum_{i=1}^n w_i \cdot (r_i - \mu)^2 $,

wenn die Verteilung möglicherweise unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten $\ w_i $ aufweist.

Berechnung nach dem Steinerschen Verschiebungssatz

Man sollte sich direkt auch das Rechnen mit dem Steinerschen Verschiebungssatz angewöhnen, was oftmals viel leichter ist:

Merke

Varianz der Renditen $$\ \sigma^2 = ( {1 \over n} \sum_{i=1}^n r_i^2) - \mu^2 $$ bzw. $$\ \sigma^2 = (\sum_{i=1}^n w_i \cdot r_i^2)- \mu^2 $$

Die Standardabweichung erhält man anschließend aus der Varianz durch Wurzelziehen: $\ \sigma = \sqrt{\sigma^2} $.

Rechnen wir die Varianzen der gegebenen Wertpapiere aus:

$\ \sigma_A^2= {1 \over 4} \cdot [(5 - 10)^2 + (8 - 10)^2 + (13 - 10)^2 + (14 - 10)^2] = 13,5 $.

Der Steinersche Verschiebungssatz liefert natürlich dasselbe Ergebnis:

$\ \sigma_A^2 = {1 \over 4} \cdot (5^2 + 8^2 + 13^2 + 14^2)-10^2 = 13,5 $.

Die Standardabweichung des Wertpapiers A ist damit

$\ \sigma_A = \sqrt{13,5} = 3,6742 $.

Für das Wertpapier B rechnen wir genauso:

$\ \sigma_B^2 = {1 \over 4} \cdot [(13 - 6)^2 + (10 - 6)^2 + (8 - 6)^2 + (-7 - 6)^2] = 59,5 $ bzw.

$\ \sigma_B^2 = {1 \over 4} \cdot (13^2 + 10^2 + 8^2 + (-7)^2) - 6^2 = 59,5 $.

Die Standardabweichung $\ \sigma_B $ ist folglich:

$\ \sigma_B = \sqrt{\sigma_B^2} = \sqrt{59,5} = 7,7136 $.

Merke

Die Varianz wird durch die Quadrierung in einer Dimension gemessen, die wir nicht verwenden können, hier z.B. ist die Varianz von Wertpapier A dann 13,5 (%2) („Quadrat-Prozent“). Bei Geldgrößen würde die Varianz $\ €^2 $ („Quadrat-Euro“) oder $\ \$^2 $ (Quadrat-Dollar“) usw. liefern.

Durch das Wurzelziehen wird dieses Manko der Varianz aber geheilt, die Dimension ist % bzw. € bzw. \$ etc., so ist die Standardabweichung von Wertpapier A dann $3,6742 \%$ („Prozent“).

Wir halten fest:

Aktien A B
Erwartungswert 0,1 0,06
Standardabweichung 0,036742 0,077136


Tab. 34: Parameter, die Eingang in die Effizienzlinie finden


Erwartungswert und Streuung zweier Wertpapiere
Abb. 6: Erwartungswert und Streuung zweier Wertpapiere