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Kerngedanke der Portefeuilletheorie ist der folgende: Wenn man unterschiedliche Wertpapiere, deren Erträge unsicher sind, miteinander vergleicht, so ist es interessant zu wissen, welche Rendite man erwarten kann und mit welchem Risiko diese Erwartungen verbunden sind. Folgende Aufgabe möge die Problematik verdeutlichen.
Beispiel
Beispiel 29:
Die Aktien A und B haben folgende Rendite in den letzten Jahren erzielt:
| Aktie | A | B |
| t = 1 | 0,05 | 0,12 |
| t = 2 | 0,07 | 0,10 |
| t = 3 | 0,08 | 0,07 |
| t = 4 | 0,10 | 0,06 |
| t = 5 | 0,15 | - 0,05 |
Welche erwartete Rendite weisen die beiden Aktien auf? Welches Risiko ist mit der Anlage in die jeweilige Aktie verbunden? Wie stark hängen die Wertentwicklungen zusammen?
Berechnung des Erwartungswerts
Die Formel zur Berechnung des Erwartungswert μ der Rendite eines Wertpapiers lautet:
Merke
$\mu={1 \over n} \cdot \sum_{i=1}^n r $,
wenn die Umweltzustände alle gleich wahrscheinlich sind, d.h. die Wahrscheinlichkeit $\ {1 \over n} $ aufweisen,
bzw.
$\mu= \sum_{i=1}^n w_i \cdot r_i $,
wenn der i. Umweltzustand mit Wahrscheinlichkeit $\ w_i $ eintritt. Hierbei bezeichnet $\ r_i $ die Rendite im i. Umweltzustand.
Die zu erwartende Rendite von Wertpapier A ist damit
$\mu_A ={1 \over 5} \cdot (5\ \% + 7\ \% + 8 \ \% + 10\ \% + 15\ \%) = 9\ \% $,
die von Wertpapier B ist
$\mu_B = {1 \over 5} \cdot [12\ \% + 10\ \% + 7\ \% + 6\ \% + (-5\ \%)] = 6\ \% $.
Angesichts der recht schwankenden Wertentwicklung von A, die immerhin zwischen $5 \ \%$ und $15 \ \%$ liegt, erwartet man einen „mittleren Wert“ von $9 \ \%$, d.h. mehr als bei B, weil dieses Wertpapier mit $12 \ \%$ nicht so hohe Werte annehmen kann.
Der Erwartungswert ist kein Wert, der mit einer Wahrscheinlichkeit von $50 \ \%$ angenommen wird.
Auch muss der Erwartungswert nicht in der Liste der möglichen Werte liegen muss. Vergleiche dazu die Liste von Wertpapier A, in der die $9 \ \%$ gar nicht vorkommen bzw. in der Vergangenheit nicht eingetreten sind. Eher handelt es sich um eine Art Mittelwert, der den Zentralpunkt der Verteilung darstellt.
Risiko der Renditeentwicklung
Das Risiko der Renditeentwicklung wird gemessen durch die Standardabweichung der Renditen. Hierzu muss man zunächst die Varianz ausrechnen.
Die Varianz eines Wertpapiers A ist hierbei
Merke
$\ \sigma^2 ={1 \over n} \sum_{i=1}^n (r_i - \mu)^2 $,
wenn die Wahrscheinlichkeiten alle gleich sind, nämlich $\ w_i = {1 \over n} $,
bzw.
$\ \sigma^2 = \sum_{i=1}^n w_i \cdot (r_i - \mu)^2 $,
wenn die Verteilung möglicherweise unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten $\ w_i $ aufweist.
Berechnung nach dem Steinerschen Verschiebungssatz
Auch das Rechnen mit dem Steinerschen Verschiebungssatz sollte direkt angewöhnt werden, da seine Anwendung häufig viel leichter ist:
Merke
Varianz der Renditen
$\sigma^2 = ( {1 \over n} \sum_{i=1}^n r_i^2) - \mu^2 $
bzw.
$\sigma^2 = (\sum_{i=1}^n w_i \cdot r_i^2)- \mu^2 $
Die Standardabweichung erhält man anschließend aus der Varianz durch Wurzelziehen:
$\sigma = \sqrt{\sigma^2} $.
Rechnen wir die Varianzen der gegebenen Wertpapiere aus:
$\sigma_A^2= {1 \over 5} \cdot [(5 - 9)^2 + (7 - 9)^2 + (8 - 9)^2 + (10 - 9)^2 + (15 - 9)^2] = 11,6$.
Der Steinersche Verschiebungssatz liefert natürlich dasselbe Ergebnis:
$\sigma_A^2 = [{1 \over 5} \cdot (5^2 + 7^2 + 8^2 + 10^2 + 15^2)] - 9^2 = 11,6 $.
Die Standardabweichung des Wertpapiers A ist damit
$\sigma_A = \sqrt{\sigma_A^2} = \sqrt{11,6} = 3,4059 $.
Vertiefung
Für das Wertpapier B rechnen wir genauso:
$\sigma_B^2 = {1 \over 5} \cdot [(12 - 6)^2 + (10 - 6)^2 + (7- 6)^2 + (6- 6)^2 + (-5- 6)^2] = 34,8 $
bzw.
$\sigma_B^2 = {1 \over 5} \cdot (12^2 + 10^2 + 7^2 + 6^2 + (-5)^2) - 6^2 = 34,8 $.
Die Standardabweichung $\ \sigma_B $ ist folglich:
$\sigma_B = \sqrt{\sigma_B^2} = \sqrt{34,8} = 5,8992 $.
Merke
Die Varianz wird durch die Quadrierung in einer Dimension gemessen, die wir nicht verwenden können, hier z.B. ist die Varianz von Wertpapier A dann 11,6 ($\%^2$) („Quadrat-Prozent“). Bei Geldgrößen würde die Varianz $\ €^2 $ („Quadrat-Euro“) oder $\$^2 $ (Quadrat-Dollar“) usw. liefern.
Durch das Wurzelziehen wird dieses Manko der Varianz aber geheilt, die Dimension ist % bzw. € bzw. $\$$ etc., so ist die Standardabweichung von Wertpapier A dann $ 3,4059 \%$ („Prozent“).
Wir halten fest:
| Aktie | A | B |
| Erwartungswert | 0,09 | 0,06 |
| Standardabweichung | 0,034059 | 0,058992 |
Tab. 34: Parameter, die Eingang in die Effizienzlinie finden
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