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Das folgende Kapitel beschäftigt sich mit den Verteilungsmaßen in der Statistik.

Wir besprechen im Folgenden

  • Lagemaße,
  • Streuungsmaße und
  • Zusammenhangsmaße.

Lagemaße

Beginnen wir mit den Lagemaßen. Je nachdem, welche Skalierung vorliegt, haben wir es mit unterschiedlichen Lagemaßen zu tun:

  • Modus,
  • Fraktile
  • Median und
  • arithmetisches Mittel.

Merke

Der Modus (= Modalwert) ist der häufigste Wert einer gegebenen Verteilung.

Beispiel

Beispiel  30 - Modus:
In einem Raum befinden sich acht Männer und drei Frauen. Modus ist dann „männlich”.
Der Modus sollte hauptsächlich bei eingipfligen (= unimodalen) Häufigkeitsverteilungen benutzt werden. Hierbei ist dieser dann nämlich eindeutig bestimmt. So gibt es ihn bei zweigipfligen (= bimodalen) Verteilungen gleich doppelt.

Beispiel

Beispiel 31 -  Modus:
In der Klasse 3a der Grundschule in Neckarsulm sind fünf deutsche Kinder, drei englische, zwei Franzosen, vier Türken und fünf Russen. Was ist der Modus?
Man sieht, dass es hier „den” Modus gar nicht gibt, vielmehr zwei unterschiedliche Modi: russisch und deutsch.

Modus bei klassierten Daten

Bei unklassierten Daten ist die Bestimmung des Modus also noch recht einfach, man nimmt einfach den häufigsten Wert (oder die häufigsten Werte). Bei klassierten Daten ist eine Fallunterscheidung notwendig:

  • Bei gleichen Klassenbreiten ist die am häufigsten vorkommende Klasse die Modalklasse, als Modus selbst wird meistens die Klassenmitte verwendet. Für die graphische Bestimmung mithilfe eines Histogramms gibt der flächengrößte Balken - der also die größte absolute oder relative Häufigkeit angibt - die größte Modalklasse an.
  • Bei ungleichen Klassenbreiten muss dies nicht mehr so sein, denn die nicht–äquidistante Einteilung auf der Abszisse erschwert die Vergleichbarkeit. Da die Klassenhäufigkeit auf die Klassenbreite bezogen werden muss, ist nun die Klasse mit dem höchsten Balken die Modalklasse.

Was ist aber, wenn Klassen zusammengefasst und/oder Klassenbreiten vergrößert werden?

Beispiel Modus bei klassierten Daten

Betrachte folgende Daten

Klasse Klassenhäufigkeit
[0,6) 7
[6,9) 5
[9,12) 6
[12,15) 2

Zunächst müssen die Klassenhöhen berechnet werden:

Klasse Klassenhäufigkeit Klassenbreite Klassenhöhe
[0,6) 7 6 7:6 = 1,167
[6,9) 5 3 5:3 = 1,67
[9,12) 6 3 6:3 = 2
[12,15) 2 3 2:3 = 0,67

Hier bleibt trotz Zusammenfassung der ersten beiden Klassen der Modus in der Klasse [9,12), da diese immer noch die höchste ist. Denn sie hat zwar absolut gesehen weniger Elemente (6 statt 7) als die Klasse [0,6), aber bezogen auf ihre deutlich kleinere Breite (3 Einheiten statt 6) hat sie mehr, nämlich $\ {6 \over 3} = 2 $ vs. $\ {7 \over 6} = 1,167 $, was durch die Klassenhöhe angegeben wird.

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
In einem Raum sind vier Männer und drei Frauen. Der Modus des Geschlechts ist deswegen .
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Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Modus ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Deskriptive Statistik.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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    • Einleitung
      • Statistische Datenauswertung
      • Merkmal, Merkmalsausprägung und Merkmalsträger
    • Masse und Merkmal
      • Statistische Masse
      • Statistisches Merkmal
    • Skalierungen
      • Grundlagen Skalierung
      • Nominalskala
      • Ordinalskala
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      • Metrische Skalen - Intervallskala
      • Metrische Skalen - Verhältnisskala
      • Metrische Skalen - Absolutskala
      • Skalenniveau bestimmen
      • Aufgabe Skalierung
      • Lösung Aufgabe Skalierung
    • Skalentransformation
      • Grundlagen Skalentransformation
      • Skalentransformation auf der Nominalskala
      • Skalentransformation auf der Ordinalskala
      • Skalentransformation auf der Kardinalskala
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      • Quasistetige Merkmale
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    • Selbstkontrollaufgabe zu den Grundbegriffen der deskriptiven Statistik
      • Aufgabe Merkmale
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    • Unklassierte Daten und ihre Darstellung
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      • Relative Häufigkeit
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      • Stabdiagramm oder Säulendiagramm
      • Kreisdiagramm
    • Klassierte Daten und ihre Darstellung
      • Grundlagen Klassierung
      • Klassierung und ihre Darstellung
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      • Aufgabe Histogramm
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      • Beispielaufgabe empirische Verteilungsfunktion
    • Selbstkontrollaufgaben zu den Häufigkeitsverteilungen
      • Aufgabe Urliste und Median
      • Lösung Aufgabe Urliste und Median
  • Verteilungsmaße
    • Lagemaße
      • Modus
      • Fraktile
      • Median
      • Boxplot
      • Arithmetisches Mittel
      • Geometrisches Mittel
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