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Stichprobentheorie - Aufgaben 41 bis 45 zur Stichprobentheorie

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Stichprobentheorie

Aufgaben 41 bis 45 zur Stichprobentheorie

41. Aufgabe

Bei der Durchführung eines Tests wird die Nullhypothese $H_0$ gegen die Alternativhypothese  $H_1$ getestet. Aus diesem Test geht eine Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art von α = 0,01 einher.
Die Wahrscheinlichkeit liegt dann bei höchstens 0,01, im Falle, dass

a) $H_1$ angenommen wird, wenn $H_1$ richtig ist.
b) an $H_0$ festgehalten wird, wenngleich $H_0$ stimmt.
c) wenn $H_1$ stimmt und $H_0$ nicht abgelehnt wird.
d) $H_0$ angelehnt wird, obwohl es stimmt.
e) $H_1$ zu Unrecht angelehnt wird.

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Lösung

Wenn wir unser Wissen rekapitulieren, wird deutlich, dass Aussage d) stimmt. Die Antwortmöglichkeiten a) und b) sind ebenfalls richtig, da hier kein Fehler vorliegt.
In der Antwort c) wird der ß-Fehler beschrieben.
Die Antwort e) wurde nicht zutreffend formuliert, da die Alternativhypothese nur angenommen, aber nicht abgelehnt werden kann, denn der Test geht von einer Nullhypothese aus.

42. Aufgabe

Welche der Antwortmöglichkeiten stimmen in Bezug auf den β-Fehler.

a) Bestimmt wird der ß-Fehler bereits vor jedem Test. Dieser liegt i.d.R. in Anlehnung an das Signifikanzniveau bei 5%.
b) Es wurde wissenschaftlich bewiesen, dass der a-Fehler kleiner ist als der β-Fehler.
c) Durch den Stichprobenumfang kann der ß-Fehler verändert werden.
d) Die Fehlerarten β-Fehler und a-Fehler sind gänzlich unabhängig voneinander.

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c) ist richtig. Wenn der Stichprobenumfang zunimmt, verringert sich der β-Fehler.
a) und b) sind falsch. Der β-Fehler kann nicht festgelegt werden, da die Größe von vielen Einflussfaktoren abhängt.
d) ist ebenfalls falsch, den je größer der ß-Fehler ist, umso kleiner wird der a-Fehler.

43. Aufgabe

Es werden zwei Grundgesamtheiten angeschaut. Der Erwartungswert der ersten Grundgesamtheit länge bei $\mu _1$ und der Erwartungswert der zweiten bei $\mu _1.$ Dabei haben beide Grundgesamtheiten die Varianz von $\sigma ^2.$

Des Weiteren werden zwei Stichproben durchgeführt. Mit Hilfe des t-Test für unabhängige Stichproben, sollen die Mittelwerte der Stichproben untersucht werden.
Im Falle dessen, dass alle Größen gleich bleiben, nimmt die Wahrscheinlichkeit des ß-Fehlers zu. Wenn jedoch auch…

a) der Stichprobenumfang vergrößert wird.
b) es zu einer Vergrößerung des Signifkanzniveaus kommt.
c) $\mu _1-\mu _2$   wertsteigend ist.
d) die Varianz $\sigma ^2$ steigt.
e) die Varianz $\sigma ^2$ sinkt.

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d) ist richtig. Da bei der Vergrößerung der Variabilität der Messwerte ein Unterschied schwer nachzuweisen ist, vergrößert sich der ß-Fehler.
Die Antworten a)- c) hätten eine Verringerung des ß-Fehlers zufolge. Bei kleiner Varianz ist ein Unterschied leichter nachzuweisen, was gleichermaßen zur Verringerung des ß-Fehlers führt.

44. Aufgabe

Ein neues Medikament soll auf den Markt kommen, für dessen hohe schmerzstillende Wirkung geworben wird. Dieses Versprechen soll nun auf seine tatsächlich Wirkung hin getestet werden. Hierfür soll ein statistischer Test zum Einsatz kommen. Als Resultat erhalten wir ein nicht-signifikantes Testergebnis. Das Signifiaktionsniveau lag bei $\alpha =0,05.$

Wie ist das Ergebnis zu deuten?

a) Es konnte bewiesen werden, dass das neue Medikament wesentlich mehr Wirkung zeigt als ein *Placebo.
b) Es konnte bewiesen werden, dass das Präparat wirkungslos ist.
c) Es konnte fast kein Unterschied vom Medikament zum Placebo festgestellt werden. Es gibt mit einer 95 %-igen Wahrscheinlichkeit keinen Unterschied.
d) Das Ergebnis des Tests verdeutlicht die Überflüssigkeit der Forschung auf diesem Gebiet.
e) Das Ergebnis des Tests kann keine Aussage bezüglich des Unterschiedes zwischen Medikament und Placebo treffen. Möglich sei, dass es zu einem ß-Fehler kam. Zu erörtern sind die möglichen Ursachen dafür.

*Definition Placebo: Bei einem Placebo handelt es sich, um eine Tablette die keinen medizinischen Wirkstoff enthält. Auf rein medizinischer Ebene hat ein Placebo keine pharmazeutische Wirkung, kann jedoch u.U. eine psychologische Wirkung aufweisen.

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Ratsam ist es hierbei vorsichtige Schlussfolgerungen zu ziehen, weswegen e) in diesem Fall richtig ist.
Da der Test keine konkreten Ergebnisse, weder in die eine noch in die andere Richtung liefern konnte, sind die Aussagen von a) und b) falsch.
Gleichermaßen falsch ist die Antwortmöglichkeit c), da solch ein Unterschied nicht von Zufällen abhängig ist.
d) ist falsch, da so eine pauschale Aussage nicht getroffen werden sollte.

45. Aufgabe

Bei welchen Tests sind normalverteilte Daten eine Voraussetzung?

a) Eine Vielzahl aufgelisteter Tests.
b) chi-quadrat Tests.
c)  t-Tests.
d) Keiner von den erwähnten Tests.

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Lösung

Die richtige Antwort ist c), weil bei t-Tests immer normalverteilte Daten vorausgesetzt werden. Es ist allerdings möglich, dass diese Voraussetzungen bei der praktischen Anwendungen mehr in den Hintergrund treten.