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Stichprobentheorie - Aufgaben 41 bis 45 zur Stichprobentheorie

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Stichprobentheorie

Aufgaben 41 bis 45 zur Stichprobentheorie

Aufgabe 41

Es werde ein Test durchgeführt. Dabei wird die Nullhypothese $H_0$ gegen die Alternativhypothese  $H_1$ getestet.
Beim Test einer Nullhypothese  $H_0$ gegen eine Alternativhypothese  $H_1$ bedeutet eine Wahrscheinlichkeit α = 0,01 für den Fehler erster Art:                          
Die Wahrscheinlichkeit ist höchstens 0,01 dafür, dass man

a) $H_1$ annimmt, wenn $H_1$ stimmt.
b) An $H_0$ festhält, wenn $H_0$ korrekt ist.
c) $H_0$ nicht ablehnt, wenn $H_1$ richtig ist.
d) $H_0$ ablehnt, obwoh $H_0$ lstimmt.
e) $H_1$ zu Unrecht ablehnt.

Vertiefung

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Lösung

Gehen wir unsere Unterlagen durch, so sehen wir, dass die Aussage d) richtig ist.
Die Aussagen a) und b) sind richtig. Hier liegen keine Fehler vor.
Die Aussage c) beschreibt den β-Fehler.
Bei der Aussage e) liegt eine schlechte Formulierung vor. Die Alternativhypothese kann angenommen werden, aber nicht abgelehnt werden, da der Test von der Nullhypothese ausgeht.

Aufgabe 42

Entscheiden Sie welche Aussagen bezüglich des β-Fehlers zutreffen.

a) Vor jedem Test wird der β-Fehler festgelegt und liegt meistens in Anlehnung an das
Signifikanzniveau bei fünf Prozent.  
b) Es ist wissenschaftlich belegt, dass der  β-Fehler größer ist als der α-Fehler.
c) Der β-Fehler kann durch den Stichprobenumfang verändert werden.
d) Die beiden Fehlerarten β-Fehler und α-Fehler sind selbstverständlich unabhängig voneinander.

Vertiefung

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Lösung

Die richtige Aussage ist c). Durch Vergrößerung des Stichprobenumfangs lässt sich der  β-Fehler klein halten.
Die Behauptungen a) und b) sind falsch. Es besteht nicht die Möglichkeit den β-Fehler   festzulegen.
Deren Größe ist von vielen Faktoren abhängig.
Die letzte Aussage d) ist auch falsch: Je kleiner der α-Fehler ist, um so größer wird der
Β-Fehler sein.

Aufgabe 43

Es werden zwei Grundgesamtheiten betrachtet. Der  Erwartungswert der ersten Grundgesamtheit sei  $\mu _1$ und der der zweiten sei $\mu _1.$ Die Varianz der beiden Grundgesamtheiten sei gleich, nämlich  $\sigma ^2.$
                                                                                                                                                                                      Nun werden 2 Stichproben gezogen. Die Mittelwerte der Stichproben sollen mit dem t-Test für unverbundene Stichproben überprüft werden.                                                                                                       
Dabei nimmt die Wahrscheinlichkeit für den ß-Fehler zu, falls alle Größen gleichbleiben, aber

a) eine Vergrößerung des Stichprobenumfangs stattfindet.
b) das Signifkanzniveau größer wird.
c) $\mu _1-\mu _2$   betragsmäßig größer wird.
d) die Varianz $\sigma ^2$ zunimmt.
e) die Varianz $\sigma ^2$ abnimmt.

Vertiefung

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Lösung

Die richtige Antwort ist d).
Es ist natürlich so, dass bei Vergrößerung der Variabilität der Messwerte, ein Unterschied schwerer nachweisbar ist. Hier kommt es zu einer Vergrößerung des ß-Fehlers.
Die Antworten a) – c) haben als Konsequenz eine Verkleinerung des ß-Fehlers.
Bei kleinerer Varianz ist ein Unterschied einfacher nachweisbar. Dies führt dann aber auch zu einer Verkleinerung des ß-Fehlers.

Aufgabe 44

An einer Universität hat ein Forscher ein schmerzstillendes Präparat entwickelt. Nun geht es darum zu testen, ob es eine Wirkung zeigt. Eine sehr gute Möglichkeit dies zu prüfen ist ein statistischer Test. Als Resultat ergibt sich ein nicht-signifikantes Testergebnis. Das Signifikanzniveau betrug $\alpha =0,05.$                                                                                                                                      
Wie ist dieses Ergebnis zu verstehen ?

a) Es ist der Beweis gelungen, dass sich das neue Präparat von einem Placebo
deutlich unterscheidet.
b) Dies ist der Beweis für die Wirkungslosigkeit des Medikaments.
c) Der Unterschied zwischen neuem Präparat und Placebo ist mit 95 % -iger Wahrscheinlichleit nicht
vorhanden.
d) Das Testergebnis untermauert die Sinnlosigkeit der Forschung auf diesem Gebiet.
e) Das Testergebnis kann keine Aussage über den Unterschied zwischen neuem. Präperat und Placebo
machen. Es besteht die Möglichkeit, dass ein ß-Fehler aufgetreten ist. Die möglichen Ursachen sollten erörtert werden.  
                                                                                                                                                                    
Placebo: Dieser Begriff meint eine Tablette oder ein anderes medizinisches Präparat welches keinen  pharmazeutischen Wirkstoff enthält. Somit kann es per Definition keine pharmazeutische Wirkung verursachen. Eine mögliche Wirkung eines solchen Scheinmedikaments ist höchstens eine  rein psychische.  

Vertiefung

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Lösung

Die richtige Vorgehensweise ist die, dass man vorsichtige Schlussfolgerungen zieht.
Also ist Antwortmöglichkeit e) die richtige.
Die Antworten a) und b) sind falsch, da sich mit einem Testergebnis nichts beweisen lässt.
Die Antwort c) ist auch falsch, weil ein etwaiger Unterschied nicht vom Zufall abhängt.
Die Vorgehensweise d) wäre auf jeden Fall zu voreilig und undurchdacht.

Aufgabe 45

Bei welchen Tests werden normalverteilte Daten vorausgesetzt ?

a) t-Tests.
b) chi-quadrat Tests.
c) Sämtliche aufgelistete Tests.
d) Keiner von den erwähnten Tests.

Vertiefung

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Lösung

Die Lösung ist a), da t-Tests  generell normalverteilte Daten voraussetzen. Es kommt vor, dass diese Voraussetzungen bei praktischen Anwendungen abgeschwächt werden können.