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Aufgaben 46 bis 50 zur Stichprobentheorie

WebinarTerminankündigung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Diskrete und stetige Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gehen wir darauf ein, welche diskreten und stetigen Verteilungen Sie in der Prüfung beherrschen müssen.
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Aufgabe 46

Es wird ein t-Test für zwei unverbundene Stichproben durchgeführt. Die beiden Stichproben haben die Größe  $n_1\text{und}n_2.$                                                                                  
Kommentieren Sie die folgenden Aussagen.

a) Es müssen die gleichen Varianzen in den Grundgesamtheiten vorliegen.
b) Beide Umfänge müssen gleich groß sein.
c) Beide Grundgesamtheiten müssen normalverteilt sein.
d) Es liegen $n_1+n_2-2$   Freiheitsgrade vor.   
e) Es kommt zur Aufstellung der Nullhypothese  $\mu _1=\mu _2.$
                                                                                                                                                                                Entscheiden Sie sich dabei für eine maximale Anzahl von Antworten.

Lösung

Die Umfänge müssen bei dieser Fragestellung nicht gleich groß sein.
Also ist b) falsch.

Aufgabe 47

In einer Klinik finden in einem bestimmten Zeitraum 30000 Blindarmoperationen statt. Aufgrund von Untersuchungen werden 3000 davon ausgewählt als Stichprobe. Anschließend kommt es zur Auswertung. Nun werden unten fünf Verfahren zur Stichprobengewinnung vorgestellt. Entscheiden Sie welche davon zufällig ist.

1. Alle Operationen, bei denen Oberärzte verantwortlich waren.
2. Alle Operationen, bei denen die Namen der Patienten mit einem der Buchstaben N bis T beginnen.
3. Alle Operationen von Patienten, deren Geburtsdatum in der Geburtsurkunde der erste, zweite oder dritte. eines Monats ist.
4. Alle Operationen, die von der unfallchirurgischen Klinik durchgeführt werden.
5. Alle Operationen von Patienten im Alter zwischen 18 und 35 Jahren.
6. Alle Operationen, die montags stattfinden.

a) Sämtliche Stichproben sind zufällig.
b) Einzig eins bis vier sind zufällig.
c) Einzig zwei bis vier und sechs sind zufällig.
d) Einzig zwei und drei sind zufällig.
e) Alle vorliegenden Stichproben sind nicht zufällig.

Lösung

Die Lösung ist Antwortmöglichkeit e).
Wir rufen uns zunächst den Begriff Zufällig in Erinnerung: Zufällig heißt, dass für jedes Element  der Grundgesamtheit die  Wahrscheinlichkeit gleich groß ist, um in die Stichprobe zu gelangen.
Dann wird aber sofort ersichtlich, dass keine der angegebenen Stichproben zufällig ist.
Alle vorgeschlagenen Stichproben konzentrieren sich auf bestimmte Gruppen und somit nicht auf die Grundgesamtheit. Somit liegt keine Repräsentativität für die Menge aller Operationen vor.

Denn
1) Oberärzte sind überwiegend für schwierige Operationen verantwortlich.
2) Hier würden Mitglieder einer Familie mit dem selben Namen oder Patienten aus bestimmten Ländern überwiegend berücksichtigt.
3) Bei nicht bekannten Datum der Geburt wird meistens der erste eines Monats eingetragen.
4) Die unfallchirurgische Klinik ist eine Klinik und nicht unbedingt repräsentativ.
5) Durch Konzentration auf eine Altersgruppe kann auf keinen Fall Repräsentativität erreicht werden.
6) Am Montag werden meistens vorhersehbare Operationen durchgeführt und nicht so viele Notfälle.

Eine Möglichkeit, um eine repräsentative Stichprobe zu ziehen ist, dass man den Zufallsgenerator entscheiden lässt.

Aufgabe 48

Im Rahmen einer statistischen Auswertung soll festgestellt werden, wie die Heilung bei 200 Patienten verlaufen ist, die im vergangenen Jahr am Blindarm operiert worden sind. Deswegen wird jedem ehemaligen Patienten ein Fragebogen zugeschickt mit der Bitte diesen wahrheitsgemäß auszufüllen und zurückzusenden. Insgesamt werden 133 Bögen beantwortet zurückgeschickt.                               
Kann nun begründet angenommen werden, dass diese 133 Patienten eine repräsentative Stichprobe, der insgesamt 200 Patienten, sind ? Kommentieren Sie ihre Entscheidungen.

a) Auf jeden Fall, da  da der Stichprobenumfang n = 133 entsprechend  groß ist.
b) Ja, da das Verhältnis von Stichprobenumfang zu Grundgesamtheit enorm ist.
c) Ja, da die Fragebogenaktion auf Freiwilligkeit basiert.
d) Nur bei Berücksichtigung des Skalenniveaus der auszuwertenden Merkmale kann eine richtige
Antwort gegeben werden.
e) Nie und nimmer.

Lösung

Auch hier ist keine der Antwortmöglichkeiten zutreffend. Also ist e) die richtige Antwort auf die gestellte Frage.

a) Die Repräsentativität einer Stichprobe ist unabhängig von ihrer Größe an sich.
b) Siehe a).
c) Freiwilligkeit ist kein Hinweis auf Repräsentativität.
d) Es ist äußerst empfehlenswert nach den Gründen zu fragen, welche dafür sorgten, dass 67 Patienten ihre Bögen nicht ausfüllten. Vielleicht bestanden des Weiteren Schwierigkeiten nach der Operation, so dass diese der Grund für das Nicht-Ausfüllen des Formulars waren. Ohne Berücksichtigung dieser 67 Patienten werden die Ergebnisse sehr verzerrt.

Letztendlich sind Fragebogenaktionen kompliziert, da die Meinung der Antwortverweigerer
sehr wichtig ist. Also ist es empfehlenswert die Gründe der Antwortverweigerung herauszufinden.

Aufgabe 49

Wann sollte bei einer klinischen Studie die Entscheidung getroffen werden, welche statistische(n) Analysemethode(n) verwendet werden sollte(n). Kommentieren Sie ihre Antworten.

a) Unmittelbar vor Formulierung der Fragestellungen.
b) Bevor es zur Datensammlung kommt.
c) Erst nachdem alle Daten vorliegen, da es vorher gar nicht geht.
d) Im Laufe der Studie wird sich schon sicher der richtige Zeitpunkt ergeben.
e) Der Zeitpunkt ist willkürlich.

Lösung

a) Nein. Es ist sinnlos dies vor den Fragestellungen zu tun.
Zunächst müssen die Merkmale bekannt sein, welche ausgewertet werden sollen. Darüber gibt die Fragestellung Informationen.
b) Ja. So früh wie möglich sollte man sich Gedanken über die  Analysemethoden machen. Das gewählte Verfahren gibt Aufschluß über den benötigten Stichprobenumfang. Daraus ergeben sich sofort relevante Informationen zum weiteren Ablauf der Studie.
c) Nein siehe b).
d) Nein siehe b).
e) Nein siehe b).

Aufgabe 50

Es wird davon ausgegangen, dass mehrere Stichproben untersucht werden.                                
Welcher von den unten erwähnten Punkten hilft den systematischern Fehler zu vermeiden ? Entscheiden Sie sich für die richtige Antwort.

a) Gleichheit der Beobachtungen.
b) Gleichheit der Struktur.
c) Richtige Wahl des statistischen Modells.
d) Umfangreiche Stichproben.
e) Die Stichprobe sollte möglichst repräsentativ sein.
                                                                                                                                                                    
Hilfe: Systematische Fehler sind Fehler die dadurch zustandekommen, dass z.B. eine Messapparatur falsch eingestellt ist, oder die Proben verunreinigt sind. Systematische Fehler kommen in Form (meistens) konstanter oder auch proportionaler Verschiebung der Messwerte zum Ausdruck. Systematische Fehler wirken sich auf die Richtigkeit der Ergebnisse aus. Es kommt vor, dass sie sich addieren oder auch gegenseitig eliminieren.

Lösung

Die richtige Antwort ist d).

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Aufgaben 46 bis 50 zur Stichprobentheorie ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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