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Stichprobentheorie - Aufgaben 36 bis 40 zur Stichprobentheorie

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Stichprobentheorie

Aufgaben 36 bis 40 zur Stichprobentheorie

36. Aufgabe

Welche Aussagen treffen nicht zu?

a) Bei der Berechnung der empirischen Varianz wird durch n -1 geteilt, um zu gewährleisten, dass die Schätzung erwartungstreu ist.
b) Erwartungstreu wäre die Schätzung nicht, wenn die Schätzung der Standardabweichung durch die Wurzel aus der empirischen Varianz entnommen wäre.
c) Wenn der Stichprobenumfang n zunimmt, wird die Schätzung der Varianz präziser.
d) Auf alle Fälle ist die Schätzung der Standardabweichung dann konsistent, wenn diese aus der Wurzel der empirischen Varianz einhergeht.
e) Da die Schätzung konstant ist, wird bei der Berechnung der empirischen Varianz durch n -1 geteilt.

Vertiefung

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Lösung

Die Antwort e) ist nicht richtig.
Allerdings sind die Antworten von a) und b) überwiegend richtig.

Als erwartungstreuer Schätzer für die Varianz der Grundgesamtheit kann die empirische Varianz bzw. Stichprobenstandardabweichung angesehen werden.
Achtung: Gemeint ist hierbei nicht die Standardabweichung.

Auf Grund der Erwartungstreue wird durch (n - 1) geteilt. Auch bei der Division durch n läge eine Konsistenz vor.

37. Aufgabe

Von Interesse ist der Anteil weiblicher Professorinnen im MINT Bereich. Aus einer entnommenen Stichprobe ging ein Schätzwert von $\hat p=0,545$ und 95%-Konfidenzintervall [0,421; 0,669] aus.

Was wird beim Betrachten des Intervalls ersichtlich bezüglich des Anteils naturwissenschaftlicher Professorinnen in der Grundgesamtheit?

a) In dem Intervall [0,421; 0,669] findet sich sicher der Anteil von der Grundgesamtheit wieder.
b) In dem Intervall [0,421; 0,669] findet sich mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit der Anteil von der Grundgesamtheit wieder.
c) Mit einer 2,5%-igen Wahrscheinlichkeit beträgt der „weibliche“ Anteil weniger als 0,421.
d) Mit einer 2,5%-igen Wahrscheinlichkeit ist der „weibliche“ Anteil größer als 0,669.
e) Schlussendlich ist es nicht sicher, ob sich der zu schätzende Anteil innerhalb des Konfidenzintervalls befindet. Was bekannt ist, ist dass das angewandte Verfahren (unter der Bedingung der erfüllten Voraussetzung) mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% ein Konfidenzintervall ergibt, welches den Anteil der Grundgesamtheit innehat.

Vertiefung

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Lösung

Korrekt ist die Antwort e).

Es wäre falsch anzunehmen, dass es sich sicher um einen bestimmten Parameter oder eine bestimmte Wahrscheinlichkeit handelt. Außerdem kann auch nicht sicher gesagt werden, dass es sich außerhalb eines Konfidenzintervalls befindet. Der Parameter selbst beinhaltet nichts „zufälliges“. Die Stichproben und der aus ihr berechnete Konfidenzintervall ist allerdings sehr wohl zufällig.
Aufgrund dessen sind alle anderen Aussagen falsch.

38. Aufgabe

Ein Reinigungshersteller ist der Meinung, dass seine Allzwecktücher besser sind als alle herkömmlich Erhältlichen. Ein Test soll Aufschluss darüber bringen.

Wie ist die Aussage des Herstellers am besten zu formulieren?

a) Als Nullhypothese.
b) Als Alternativhypothese.
c) Spielt keine Rolle.
d) Kann erst nach dem Test gesagt werden.  
e) Bei der Entscheidung sind noch weitere Faktoren zu berücksichtigen.

Vertiefung

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Lösung

Die getätigte Aussage sollte in jedem Fall als Alternativhypothese formuliert werden.

Im Test selbst wird angenommen, dass die Nullhypothese korrekt ist.

Ist jedoch die Prüfgröße schwer mit der Nullhypothese überein zu bringen, wird diese verworfen, wodurch die Alternativhypothese herangezogen wird.

39. Aufgabe

Welche der folgenden Aussagen ist richtig und welche falsch? Nehmen Sie Stellung zu den einzelnen Antwortmöglichkeiten.

a) Alle Tests sind in der Hinsicht gleich, dass sich sowohl Annahme- als auch kritischer Bereich ausschließen. 
b) Die Größe des a-Fehlers übt eine Auswirkung auf die Größe des ß-Fehlers.
c) Es ist nicht notwendig vor der Testdurchführung sachlogisch darüber zu entscheiden, ob ein ein- oder zweiseitiger Test durchzuführen ist.
d) Die Messwerte der Beobachtungseinheiten innerhalb einer Stichprobe, müssen unabhängig sein. 
e) Der Stichprobenumfang übt keinen Einfluss auf das Testergebnis. 

Vertiefung

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Lösung

Die Antwortmöglichkeit e) ist selbstverständlich falsch, da sich der Stichprobenumfang auf das Ergebnis auswirkt.

Richtig sind die Antworten a) bis d).

a) Es ist korrekt, dass sich die Annahme- als auch der kritische Bereich ausschließen.
b) Wenn der a-Fehler zunimmt, verändert sich auch entsprechend der ß-Fehler (wird in dem Fall kleiner- und umgekehrt).
c) Die Wahl der ein- oder zweiseitigen Testung obliegt einer sachlogischen Überlegung.
d) Die Beobachtungseinheiten dürfen sich innerhalb einer Stichprobe nicht beeinflussen, da diese ansonsten Auswirkungen auf die Ergebnisse haben können.

40. Aufgabe

Nehmen Sie Stellung zu den einzelnen Aussagen:

a) Die Nullhypothese wird dann abgelehnt, wenn nach der Durchführung eines Tests die Testgröße nicht in den Annahmebereich fällt.
b) Über die Größe des Fehlers erster Art entscheidet der Zufall.
c) Im Falle dessen, dass die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, wurde immer ein Fehler zweiter Art begangen.
d) Der Ablehnungsbereich ist ein Intervall, der stets zusammenhängend ist.
e) Wenn die Alternativhypothese zutrifft, dann liegt die Wahrscheinlichkeit darüber, über das Testergebnis falsch zu entscheiden, höchstens bei a.

Vertiefung

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Lösung

a) ist richtig. Es entspricht der Vorgehensweise beim Testverfahren. Wenn sich die Prüfgröße nicht im Annahmebereich befindet, dann liegt sie im kritischen Bereich. Dann kann sofort entschieden werden, dass die Nullhypothese verworfen und die Alternativhypothese angenommen wird.

b) ist falsch. Der Schritt entspricht keinem Zufall! Die Größe des 1. Fehlers (α-Fehler) wird bereits vor der Testdurchführung bestimmt.

c): Die Aussage kann richtig sein, falls die Nullhypothese akzeptiert wird. In diesem Fall wird kein Fehler begangen.

d) ist falsch. Es stimmt nicht, dass der Ablehnungsbereich immer zusammenhängend ist. Als Beispiel kann der zweiseitige t-test angeführt werden.

e): Ein a-Fehler kann nicht gemacht werden, wenn die Alternativhypothese tatsächlich richtig ist.  Es bestehe höchstens die Gefahr einen β-Fehler zu machen.