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Aufgaben 36 bis 40 zur Stichprobentheorie

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Aufgabe 36

Welche Aussage ist nicht zutreffend ?

a) Damit die Schätzung erwartungstreu ist, wird bei der Berechnung der empirischen Varianz durch n -1 geteilt.
b) Würde die Schätzung der Standardabweichung durch die Wurzel aus der empirischen Varianz
geschehen, so wäre sie nicht erwartungstreu.
c) Bei der Berechnung der empirischen Varianz wird deswegen durch  n -1 geteilt, weil die Schätzung
dann konsistent ist.
d) Auf jeden Fall ist die Schätzung der Standardabweichung durch die Wurzel aus der
empirischen Varianz konsistent.
e) Mit zunehmenden Stichprobenumfang n wird die Schätzung der Varianz genauer.

Lösung

Die Antwortmöglichkeit c) ist falsch.
Hingegen sind die Aussagen a) und b) größtenteils korrekt.
Die empirische Varianz (Stichprobenstandardabweichung) ist ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz der Grundgesamtheit. Es ist Vorsicht geboten, da die Standardabweichung dies nicht ist.
Der Grund weswegen durch (n - 1) geteilt wird ist die Erwartungstreue. Bei Division durch n läge auch Konsistenz vor.

Aufgabe 37

Es ergäbe sich für den  Anteil weiblicher Studenten der Naturwissenschaften - aus einer Stichprobe - ein Schätzwert von  $\hat p=0,545$  und als 95%-Konfidenzintervall [0,421; 0,669].                                                        

Was besagt dieses Intervall bezüglich des Anteils weiblicher Studenten in den Naturwissenschaften in der Grundgesamtheit?

a) Dieser Anteil liegt mit Sicherheit im Intervall [0,421; 0,669].
b) Dieser Anteil liegt mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit im Intervall [0,421; 0,669].
c) Der „weibliche“ Anteil ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,5% geringer als 0,421.
d) Dieser Anteil ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,5% größer als 0,669.
e) Schließlich ist nicht bekannt, ob der zu schätzende Anteil innerhalb des Konfidenzintervalls liegt. Das
einzige was bekannt ist, ist dass das angewandte Verfahren – sofern seine Voraussetzungen erfüllt sind – mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit ein Konfidenzintervall erzeugt, das den Anteil der Grundgesamtheit enthält.

Lösung

Die richtige Antwort ist e).

Es kann niemals behauptet werden, dass ein Parameter ganz sicher oder einer bestimmten Wahrscheinlichkeit innerhalb oder außerhalb des Konfidenzintervalls ist. Der Parameter ist mit nichts Zufäligen behaftet.
Hingegen sind die Stichprobe als auch das aus ihr berechnete Konfidenzintervall zufällig.
Deshalb ist nur die Aussage e) richtig.

Aufgabe 38

Ein Unternehmen glaubt, dass ein von ihm angebotenes Produkt zur Motorreinigung besser ist als ein herkömmliches Motorreinigungsmittel. Dies möchte er gerne durch einen Test absichern.                                                                                                                                                

Wie sollte er seine Vermutung formulieren ?  

a) Als Nullhypothese.
b) Als Alternativhypothese.
c) Dies ist egal.
d) Dies kann erst nach dem Test gesagt werden.  
e) Bei der Entscheidung sind globale Effekte zu berücksichtigen.

Lösung

Die Vermutung sollte selbstverständlich als Alternativhypothese formuliert werden.
Im Test wird davon ausgegangen, dass die Nullhypothese richtig ist. Es kommt erst zur Annahme der Alternativhypothese, wenn die Prüfgröße schwer mit der Nullhypothese zu vereinbaren ist, d.h. wenn die Nullhypothese verworfen wird.

Aufgabe 39

Entscheiden Sie welche der folgenden Aussagen falsch (richtig) ist ? Begründen Sie kurz Ihre Entscheidung.

a) Jeder Test hat an sich, dass  sich Annahme- und kritischer Bereich ausschließen.
b) Die Größe des α-Fehlers wird sich auf die Größe des ß-Fehlers auswirken.
c) Die Entscheidung zum ein- oder zweiseitigen Test, muss vor der Testdurchführung, anhand
sachlogischer Überlegungen, entschieden werden.
d) Es muss eine Unabhängigkeit der Messwerte der Beobachtungseinheiten innerhalb einer Stichprobe
vorhanden sein.
e) Das Testergebnis wird nicht vom Stichprobenumfang beeinflußt.

Lösung

Die Aussage  e) ist natürlich falsch.
Der Stichprobenumfang hat selbstverständlich Auswirkungen auf das Ergebnis.

Die Aussagen a) bis d) sind richtig:

Der Annahme- und kritische Bereich schließen sich aus a) . Mit Zunahme des α-Fehlers wird der  
β-Fehler kleiner. Davon gilt auch die Umkehrung.
Die Frage, ob ein- oder zweiseitig getestet wird, kann eigentlich nur mit sachlogischen Überlegungen  beantwortet werden c).
Ebenfalls ist klar, dass sich die Beobachtungseinheiten innerhalb einer Stichprobe nicht

beeinflussen dürfen. Es könnte sonst zur Verzerrung von Ergebnissen kommen d).

Aufgabe 40

Bewerten sie die folgenden Aussagen:

a) Fällt nach der Durchführung eines Tests die Testgröße nicht in den Annahmebereich,
so wird die Nullhypothese abgelehnt.
b) Der Zufall entscheidet über die Größe des Fehlers erster Art.
c) Es wird immer ein  Fehler zweiter Art gemacht, falls die Nullhypothese nicht abgelehnt wird.
d) Der Ablehnungsbereich ist ein Intervall, welches immer zusammenhängend ist.
e) Die Wahrscheinlichkeit, wegen des Testergebnisses falsch zu entscheiden, beträgt höchstens α
- vorausgesetzt die Alternativhypothese trifft zu.

Lösung

Die Aussage a) ist richtig. Dies ist die Vorgehensweise beim Testverfahren.
Im Falle, dass die Prüfgröße nicht im Annahmebereich ist, so muss sie folglich im kritischen Bereich liegen. Dann fällt sofort die Entscheidung, dass man die Alternativhypothese annimmt und die Nullhypothese verwirft.

Die Aussage b) ist falsch, da die Größe des 1. Fehlers (α-Fehler) vor der Testdurchführung
festgelegt wird. Auf gar keinen Fall ist dieser Schritt zufällig.

Zur Aussage c): Falls die Nullhypothese akzeptiert wird, kann dies
auch daran liegen, dass deren Aussage tatsächlich richtig ist. Dann wird natürlich gar kein Fehler begangen

Zur Aussage d): Es ist nicht richtig, dass der Ablehnungsbereich immer zusammenhängend ist.
Ein Beispiel für einen Test bei dem dies nicht so ist, ist der zweiseitige t-test.

Zur Aussage e): Ist es nun so, dass die Alternativhypothese in Wirklichkeit richtig ist, so besteht
höchstens die Gefahr einen β-Fehler zu machen. Ein α-Fehler kann gar nicht gemacht werden.

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Aufgaben 36 bis 40 zur Stichprobentheorie ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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