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Stichprobentheorie - Aufgaben 31 bis 35 zur Stichprobentheorie

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Stichprobentheorie

Aufgaben 31 bis 35 zur Stichprobentheorie

31. Aufgabe

Dieser Aufgabe bezieht sich auf den Konfidenzintervall für den Erwartungswert $\mu .$

Richtig oder falsch.
Geben Sie eine Antwort zu jeder Aussage:

a) Je größer der Stichprobenumfang n ist, desto schmaler ist das Konfidenzintervall.
b) Je größer der Stichprobenumfang n ist, desto mehr weitet sich das Konfidenzintervall aus.
c) Das Konfidenzintervall und n sind nicht abhängig voneinander. Wenn der Stichprobenumfang n steigt, übt es keinen Einfluss auf die Breite des Konfidenzintervalls aus.
d) In jedem Konfidenzintervall, welches aus einer repräsentativen Stichprobe einhergeht, findet sich der Parameter $\mu $
e) Der Stichprobenmittelwert übt gar keinen Einfluss auf die festgelegten Intervallgrenzen.

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Lösung

Die Antwort b) ist richtig. Demzufolge ist a) falsch.
Es ist richtig, dass das Konfidenzintervall kleiner wird, wenn n zunimmt.
c) und d) sind falsch da, wie oben beschrieben, beide abhängig voneinander sind.
Die Aussage von e) ist nicht richtig,  denn ausgehend von dem Mittelwert können auch die Intervallgrenzen festgelegt werden.

32. Aufgabe

Welche Variation am Stichprobenumfang n ermöglicht eine Halbierung des Standardfehlers des Mittelwertes?

a) Zu halbieren ist der Stichprobenumfang.
b) Der Stichprobenumfang ist zu verdoppeln.
c) Weil der Standardfehler des Mittelwerts unabhängig von n ist, bleibt eine Änderung von n wirkungslos.
d) Benötigt wird ein Stichprobenumfang von $\sqrt 2n.$
e) Der Stichprobenumfang ist zu vervierfachen.

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Lösung

Die richtige Antwort ist e).
Durch $\sigma /\sqrt n$ wird der Standardfehler des Mittelwerts dargestellt.
Die Wurzel wird aus n im Nenner gezogen, weswegen es zu einem vierfachen Stichprobenumfang und einer Halbierung des Intervalls kommt.

33. Aufgabe

Ein zweiseitiges Konfidenzintervall soll mit Hilfe der t-Verteilung für den Erwartungswert $\mu $ entwickelt werden.                                                                                                                  

Zu entscheiden ist nun, welcher Parameter dafür nicht benötigt wird:

a) Die Standardabweichung $\sigma $ der Grundgesamtheit.
b) Die empirische Standardabweichung.
c) Der Stichprobenumfang n.
d) Das Quantil  $t_{n-1,1-\frac{\alpha } 2}$ der t-Verteilung.
e) Der Stichproben-Mittelwert.

Vertiefung

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Lösung

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist überflüssig und wird nicht benötigt.

Verwechselt werden darf diese allerdings nicht mit der Stichprobenstandardabweichung (empirischen Standardabweichung), da diese in jedem Fall benötig wird. Somit ist es a), da alle weiteren, aufgelisteten Auswahlmöglichkeiten zur Bestimmung des Konfidenzintervalls benötigt werden.

34. Aufgabe

Welche der vorgegebenen Größen üben keinen Einfluß auf die Breite eines Konfidenzintervalls aus?

a) Der Stichprobenumfang n.
b) Der Stichproben-Mittelwert $\overline x.$
c) Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha .$
d) Die Variabilität der Messwerte.

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Lösung

Antwort b) ist korrekt, da es sich bei dem Mittelwert der Stichprobe $\overline x$ um die Mitte des Konfidenzintervalls handelt. Allerdings übt dieser keinen Einfluss auf dessen Breite aus.

Alle weiteren, aufgelisteten Auswahlmöglichkeiten haben einen Einfluss auf die Breite. Das Konfidenzintervall [a) und b)] wird umso kleiner, je größer der Stichprobenumfang n und $\alpha $  gewählt werden.

Auf $\sigma $ bzw. s übt sich die Variabilität der Messwerte aus. Je größer die Variablität der Messwerte sind, umso größer wird das Intervall d).

35. Aufgabe

Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Stichprobe in Bezug auf die Körpergröße erwachsener Männer zwischen 18 und 45 Jahren. Bei der Körpergröße Y handelt es sich um eine Normalverteilung. Eine Standardabweichung von s = 4 cm liegt vor. Der Stichprobenumfang umfasst 27 Männer, woraus sich der Mittelwert von $\overline x=174\text{cm}$ ergibt.

Durch den ermittelten Mittelwert kann nun das Konfidenzintervall zur Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha =0,05$ bestimmt werden zu:

a) [172,49 cm ; 175,51 cm].
b) [172,48cm;175,5 cm].
c) [170 cm ; 178 cm].
d) $\text [170;\infty \text )$
e) [172 cm ; 176 cm].
f) Der Intervall kann nicht ermittelt werden, weil die Angaben zur empirischen Standardabweichung fehlen.

Vertiefung

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Lösung

Mit Hilfe des Baumschemas wird deutlich, dass Schema 1 anzuwenden ist.

1. Konfidenzniveau: $1-\alpha =95{\%}<=>\alpha =5{\%}.$

2. $1-\frac{\alpha } 2=0,975.$

3. Das 0,975-Fraktil der N(0;1)-Verteilung ist gegeben durch: z= 1,96.  
 
4. Das arithmetische Mittel liegt vor zu: $\overline x=174.$

5. Gegeben ist die halbe Breite des Konfidenzintervalls:

$\frac{\sigma z}{\sqrt n}=\frac{4\ast 1,96}{\sqrt{27}}$         =1,51.

6. Das Konfidenzintervall der vorliegenden Stichprobe ist:

$\mathit{KI}=\left[(174-1,51)\mathit{cm};(174+1,51)\mathit{cm}\right]=[172,49\mathit{cm};175,51\mathit{cm}]$
                                     
Demnach ist a) die richtige Antwort.