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Stichprobentheorie - Aufgaben 31 bis 35 zur Stichprobentheorie

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Stichprobentheorie

Aufgaben 31 bis 35 zur Stichprobentheorie

Aufgabe 31

Die weiteren Untersuchungen beziehen sich auf ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert   $\mu .$
Beantworten Sie die folgenden Aussagen:

a) Mit zunehmender Größe des Stichprobenumfangs n, wird das Konfidenzintervall auch größer.
b) Je größer n ist, desto kleiner ist das Konfidenzintervall.
c) Der Stichprobenumfang n hat gar keinen Einfluß auf die Breite des Konfidenzintervalls. Das
Konfidenzintervall ist unabhängig von n.
d) Der Parameter $\mu $ ist in jedem Konfidenzintervall enthalten, das aus einer repräsentativen
Stichprobe ermittelt wurde.
e) Der Stichprobenmittelwert hat überhaupt keinen Einfluß auf die Bestimmung der Intervallgrenzen.

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Lösung

Die Aussage a) ist falsch, wohingegen b) richtig ist.
Natürlich wird mit größer werdenden n das Konfidenzintervall kleiner.
c) und d) sind falsch (wie schon oben angedeutet).
e) ist falsch, da von dem Mittelwert ausgehend die Intervallgrenzen bestimmt werden können.

Aufgabe 32

Durch welche Variationen am Stichprobenumfang n kann erreicht werden, dass der Standardfehler des Mittelwertes halbiert wird ?

a) Der Stichprobenumfang muss dann auch halbiert werden.
b) Verdoppelung des Stichprobenumfangs.
c) Vervierfachung des Stichprobenumfangs.
d) Es  ist ein Stichprobenumfang von $\sqrt 2n$ nötig.
e) Durch eine Änderung von n kann diesbezüglich keine Wirkung erzielt werden, da der Standardfehler
des Mittelwerts nicht von n abhängt.

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Lösung

Die Lösung ist c).
Der Standardfehler des Mittelwerts wird durch $\sigma /\sqrt n$   dargestellt.
Aus n im Nenner wird die Wurzel gezogen, so dass ein vierfacher Stichprobenumfang eine Halbierung des Intervalls zur folge hat.

Aufgabe 33

Mittels der t-Verteilung soll ein 2-seitiges Konfidenzintervall für den Erwartungswert $\mu $ konstruiert werden.                                                                                                                          

Entscheiden Sie welcher Parameter dafür nicht erforderlich ist.


a) Der Stichproben-Mittelwert.
b) Die empirische Standardabweichung.
c) Der Stichprobenumfang n.
d) Das Quantil  $t_{n-1,1-\frac{\alpha } 2}$ der t-Verteilung.
e) Die Standardabweichung $\sigma $ der Grundgesamtheit.

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Lösung

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit wird nicht benötigt. Diese darf nicht mit der (empirischen Standardabweichung) Stichprobenstandardabweichung verwechselt werden. Diese wird sehr wohl benötigt. Also ist e) zu wählen.
Alle übrigen Größen, welche genannt werden, sind nötig zur Bestimmung des Konfidenzintervalls.

Aufgabe 34

Welche Größen haben keinen Einfluß auf die Breite eines Konfidenzintervalls für?

a) Der Stichprobenumfang n.
b) Der Stichproben-Mittelwert $\overline x.$
c) Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha .$
d) Die Variabilität der Messwerte.

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Lösung

Die richtige Antwort ist b), weil der Mittelwert der Stichprobe $\overline x$   die Mitte des Konfidenzintervalls ist.
Er hat jedoch keinen Einfluß auf dessen Breite.

Alle übrigen angegebenen Größen haben auf die Breite einen Einfluß:
Je größer n und $\alpha $   gewählt werden, desto kleiner wird das Konfidenzintervall [a) und b)].
Die Variabilität der Messwerte hat eine Auswirkung auf $\sigma $   bzw. s. Mit zunehmender Variablität der Meßwerte wird das Intervall größer d).

Aufgabe 35

Die Körpergröße X erwachsener Männer sei normalverteilt mit der Standardabweichung s = 4 cm. Aus einer Stichprobe von 27 Männern ergab sich ein Mittelwert    $\overline x=174\text{cm}.$                              

Damit lässt sich das Konfidenzintervall zur Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha =0,05$   ermitteln zu:



a) [172,49 cm ; 175,51 cm].
b) [172,48cm;175,5 cm].
c) [170 cm ; 178 cm].
d) $\text [170;\infty \text )$
e) [172 cm ; 176 cm].
f) Es ist nicht möglich dieses Intervall zu bestimmen, da die empirische Standardabweichung nicht
angegeben ist.

Vertiefung

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Lösung

Nach Betrachtung des Baumschemas, sehen wir dass uns das Lambert-Kochrezept 1 weiterhilft.

1. Schritt: Konfidenzniveau: $1-\alpha =95{\%}<=>\alpha =5{\%}.$

2. Schritt:  $1-\frac{\alpha } 2=0,975.$

3. Schritt: Das 0,975-Fraktil der N(0;1)-Verteilung ist gegeben durch: z= 1,96.  
 
4. Schritt: Das arithmetische Mittel ist angegeben zu: $\overline x=174.$

5. Schritt: Halbe Breite des Konfidenzintervalls:

$\frac{\sigma z}{\sqrt n}=\frac{4\ast 1,96}{\sqrt{27}}$         =1,51.

6. Schritt: Das Konfidenzintervall der vorliegenden Stichprobe beträgt:

$\mathit{KI}=\left[(174-1,51)\mathit{cm};(174+1,51)\mathit{cm}\right]=[172,49\mathit{cm};175,51\mathit{cm}]$
                                     
Also ist die richtige Antwort a).