Effizienz

1. Zu Beginn soll geschaut werden, welche der gegebenen Schätzfunktionen erwartungstreu sind.

Hierzu schauen wir uns einmal jede Schätzfunktion einzeln an.

a):  $E(\hat{\mu }_1)=E(X_1)+E(X_3)=\mu +\mu =2\mu \neq \mu .$
Es zeigt sich, dass diese nicht erwartungstreu ist. Für die weitere Betrachtung kann a) demnach ausgeblendet werden.

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b): $E(\hat{\mu }_2)=1,2E(X_1)-0,2E(X_2)=\mu .$ 
Hierbei stellt sich heraus, dass eine Erwartungstreue vorliegt. 

bei c): $E(\hat{\mu }_3)=E(0,4X_1)+E(0,6X_2)=0,4E(X_1)+0,6E(X_2)=0,4\mu +0,6\mu =\mu $ stellt sich heraus, dass diese ebenfalls erwartungstreu ist.

und d): $E(\hat{\mu }_4)=\frac 1{n-2}\sum _{i=1}^nE(X_i)=\frac 1{n-2}n\mu \neq \mu $ erweist sich gleichermaßen als nicht erwartungstreu und kann demnach ebenso ausgeblendet werden.


2. Im zweiten Schritt sollen nun die Varianzen der Schätzfunktionen miteinander verglichen werden $\hat{\mu }_2,\hat{\mu }_3:$

Die Varianz ist bei unabhängigen Zufallsvariablen linear in Bezug auf die Addition und Subtraktion.

Somit ist es $\mathit{VAR}(\mathit{aX})=a^2\mathit{VAR}(X)$ für jede einzelne Konstante der Schätzfunktion a, indem $\mathit{VAR}(\hat{\mu }_2)=(1,2)^2\underbrace{\mathit{VAR}(X_1)}_{\text =\sigma ^2}-(0,2)^2\underbrace{\mathit{VAR}(X_2)}_{\text =\sigma ^2}=1,4\sigma ^2.$  $\mathit{VAR}(\hat{\mu }_3)=0,4^2\mathit{VAR}(X_1)+0,6^2\mathit{VAR}(X_2)=0,52\sigma ^2.$ Durch den Vergleich der Varianzen resultiert die Lösung, dass diese effizient ist.

 Definiert wird für mindestens ein i  $\omega _i:=\frac 1 n+\varepsilon _i$ mit $\sum _{i=1}^n\varepsilon _i=0$ und $\varepsilon _i\neq 0$

Es ergibt sich für die Varianz von $\mu _g$:

$\mathit{VAR}(\mu _g)=\mathit{VAR}\left(\sum _{i=1}^n\omega _iX_i\right)=\sum _{i=1}^n\omega _i^2\mathit{VAR}(X_i)=\sum _{i=1}^n\omega _i^2\sigma ^2=\sigma ^2\sum _{i=1}^n\omega _i^2=\sigma ^2\sum _{i=1}^n\left(\frac 1 n+\varepsilon _i\right)^2$
$\text{ }=\sigma ^2\sum _{i=1}^n\left(\frac 1{n^2}+2\frac{\varepsilon _i} n+\varepsilon _i^2\right)=\sigma ^2\left(\frac n{n^2}+2\underbrace{\sum _{i=1}^n\frac{\varepsilon _i} n}_{\text =0\text{n.V.}}+\sum _{i=1}^n\varepsilon _i^2\right)=\underbrace{\frac{\sigma ^2} n}_{\text =\mathit{VAR}(\overline X)}+\sigma ^2\sum _{i=1}^n\varepsilon _i^2$

$\text{ }=\mathit{VAR}(\overline X)+\sigma ^2\sum _{i=1}^n\varepsilon _i^2>\mathit{VAR}(\overline X)$.

Somit konnte gezeigt werden, dass dies für das gewöhnliche arithmetische Mittel $\overline X$ eine bessere Schätzfunktion für den Mittelwert $\mu $ der Grundgesamtheit ist. Andere Mittelwerte der Stichprobenvariablen, die nicht bei jeder Beobachtung das gleiche Gewicht ergeben, eigenen sich daher weniger.

Demnach verdeutlicht es besonders, dass $\overline X$ den kleinsten möglichen Standardfehler innehat.