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Stichprobentheorie - Effizienz

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Stichprobentheorie

Effizienz

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Unter allen zu untersuchenden erwartungstreuen Schätzfunktionen heißt diejenige am effizientesten, welche die geringste Varianz aufweist.

Folgende Beispielaufgabe verdeutlicht uns den Begriff der Effizienz.

Beispiel

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Untersuchen Sie, welche der folgenden Schätzfunkionen effizient ist.

a) $\hat{\mu }_1=X_1+X_3.$

b) $\hat{\mu }_2=1,2X_1-0,2X_2.$

c) $\hat{\mu }_3=0,4X_1+0,6X_2.$

d) $\hat{\mu }_4=\frac 1{n-2}\sum _{i=1}^nX_i.$

1. Schritt: Zunächst schauen wir, welche Schätzfunktionen erwartungstreu sind.

Zu a): $E(\hat{\mu }_1)=E(X_1)+E(X_3)=\mu +\mu =2\mu \neq \mu .$ Also nicht erwartungstreu. Damit scheidet a) für unsere weiteren Betrachtungen aus. 

Zu b): $E(\hat{\mu }_2)=1,2E(X_1)-0,2E(X_2)=\mu .$ Hier liegt Erwartungstreue vor. 

Zu c): $E(\hat{\mu }_3)=E(0,4X_1)+E(0,6X_2)=0,4E(X_1)+0,6E(X_2)=0,4\mu +0,6\mu =\mu .$ Hier liegt Erwartungstreue vor. 

Zu d): $E(\hat{\mu }_4)=\frac 1{n-2}\sum _{i=1}^nE(X_i)=\frac 1{n-2}n\mu \neq \mu .$ Auch d) scheidet für unsere weiteren Betrachtungen aus.

2. Schritt: Vergleich der Varianzen der Schätzfunktionen $\hat{\mu }_2,\hat{\mu }_3:$

Bei unabhängigen Zufallsvariablen ist die Varianz linear bezüglich der Addition und Subtraktion.
Es ist $\mathit{VAR}(\mathit{aX})=a^2\mathit{VAR}(X)$ für jede Konstante a, so dass $\mathit{VAR}(\hat{\mu }_2)=(1,2)^2\underbrace{\mathit{VAR}(X_1)}_{\text =\sigma ^2}-(0,2)^2\underbrace{\mathit{VAR}(X_2)}_{\text =\sigma ^2}=1,4\sigma ^2.$  $\mathit{VAR}(\hat{\mu }_3)=0,4^2\mathit{VAR}(X_1)+0,6^2\mathit{VAR}(X_2)=0,52\sigma ^2.$ Ein Vergleich der Varianzen ergibt die Lösung der Aufgabe. Es istDas heißt aber gerade, dasseffizient ist.

Aufgabe zur Effizienz

Die Zufallsvariablen $X_1,...,X_n$ seien unabhängig identisch verteilt. Ist dann die Schätzfunktion $\hat{\mu }=\sum _{i=1}^n\frac 1 nX_i$ effizient ?
Tipp: Betrachten Sie das gewichtete Mittel: $\mu _g=\sum _{i=1}^n\omega _iX_i$, welches wir als erwartungstreu für $\mu $ voraussetzen. Des Weiteren sei $\mu _g\neq \hat{\mu }$.

Vertiefung

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Lösung:

Wir definieren $\omega _i:=\frac 1 n+\varepsilon _i$ mit $\sum _{i=1}^n\varepsilon _i=0$ und $\varepsilon _i\neq 0$ für mindestens ein i.

Für die Varianz von $\mu _g$ ergibt sich:

$\mathit{VAR}(\mu _g)=\mathit{VAR}\left(\sum _{i=1}^n\omega _iX_i\right)=\sum _{i=1}^n\omega _i^2\mathit{VAR}(X_i)=\sum _{i=1}^n\omega _i^2\sigma ^2=\sigma ^2\sum _{i=1}^n\omega _i^2=\sigma ^2\sum _{i=1}^n\left(\frac 1 n+\varepsilon _i\right)^2$

$\text{ }=\sigma ^2\sum _{i=1}^n\left(\frac 1{n^2}+2\frac{\varepsilon _i} n+\varepsilon _i^2\right)=\sigma ^2\left(\frac n{n^2}+2\underbrace{\sum _{i=1}^n\frac{\varepsilon _i} n}_{\text =0\text{n.V.}}+\sum _{i=1}^n\varepsilon _i^2\right)=\underbrace{\frac{\sigma ^2} n}_{\text =\mathit{VAR}(\overline X)}+\sigma ^2\sum _{i=1}^n\varepsilon _i^2$

$\text{ }=\mathit{VAR}(\overline X)+\sigma ^2\sum _{i=1}^n\varepsilon _i^2>\mathit{VAR}(\overline X)$.

Soeben haben wir zeigen können, dass das gewöhnliche arithmetische Mittel $\overline X$ eine bessere Schätzfunktion für den Mittelwert $\mu $ der Grundgesamtheit ist, als andere Mittelwerte der Stichprobenvariablen, die nicht bei jeder Beobachtung das gleiche Gewicht geben.

Dies bedeutet vor allem, dass $\overline X$ den kleinst möglichen Standardfehler hat.