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Effizienz

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Volks- und Betriebswirtschaft:
 Am 12.01.2017 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Grundbegriffe der Bilanzierung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gibt Daniel Lambert einen Überblick über die zentralen Begriffe der Bilanzierung - hier im Besonderen dem Bilanzausweis.
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Merke

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Unter allen zu untersuchenden erwartungstreuen Schätzfunktionen heißt diejenige am effizientesten, welche die geringste Varianz aufweist.

Folgende Beispielaufgabe verdeutlicht uns den Begriff der Effizienz.

Beispiel

Beispiel

Untersuchen Sie, welche der folgenden Schätzfunkionen effizient ist.

a) $\hat{\mu }_1=X_1+X_3.$

b) $\hat{\mu }_2=1,2X_1-0,2X_2.$

c) $\hat{\mu }_3=0,4X_1+0,6X_2.$

d) $\hat{\mu }_4=\frac 1{n-2}\sum _{i=1}^nX_i.$

1. Schritt: Zunächst schauen wir, welche Schätzfunktionen erwartungstreu sind.

Zu a): $E(\hat{\mu }_1)=E(X_1)+E(X_3)=\mu +\mu =2\mu \neq \mu .$ Also nicht erwartungstreu. Damit scheidet a) für unsere weiteren Betrachtungen aus. 

Zu b): $E(\hat{\mu }_2)=1,2E(X_1)-0,2E(X_2)=\mu .$ Hier liegt Erwartungstreue vor. 

Zu c): $E(\hat{\mu }_3)=E(0,4X_1)+E(0,6X_2)=0,4E(X_1)+0,6E(X_2)=0,4\mu +0,6\mu =\mu .$ Hier liegt Erwartungstreue vor. 

Zu d): $E(\hat{\mu }_4)=\frac 1{n-2}\sum _{i=1}^nE(X_i)=\frac 1{n-2}n\mu \neq \mu .$ Auch d) scheidet für unsere weiteren Betrachtungen aus.

2. Schritt: Vergleich der Varianzen der Schätzfunktionen $\hat{\mu }_2,\hat{\mu }_3:$

Bei unabhängigen Zufallsvariablen ist die Varianz linear bezüglich der Addition und Subtraktion.
Es ist $\mathit{VAR}(\mathit{aX})=a^2\mathit{VAR}(X)$ für jede Konstante a, so dass $\mathit{VAR}(\hat{\mu }_2)=(1,2)^2\underbrace{\mathit{VAR}(X_1)}_{\text =\sigma ^2}-(0,2)^2\underbrace{\mathit{VAR}(X_2)}_{\text =\sigma ^2}=1,4\sigma ^2.$  $\mathit{VAR}(\hat{\mu }_3)=0,4^2\mathit{VAR}(X_1)+0,6^2\mathit{VAR}(X_2)=0,52\sigma ^2.$ Ein Vergleich der Varianzen ergibt die Lösung der Aufgabe. Es istDas heißt aber gerade, dasseffizient ist.

Aufgabe zur Effizienz

Die Zufallsvariablen $X_1,...,X_n$ seien unabhängig identisch verteilt. Ist dann die Schätzfunktion $\hat{\mu }=\sum _{i=1}^n\frac 1 nX_i$ effizient ?
Tipp: Betrachten Sie das gewichtete Mittel: $\mu _g=\sum _{i=1}^n\omega _iX_i$, welches wir als erwartungstreu für $\mu $ voraussetzen. Des Weiteren sei $\mu _g\neq \hat{\mu }$.

Lösung:

Wir definieren $\omega _i:=\frac 1 n+\varepsilon _i$ mit $\sum _{i=1}^n\varepsilon _i=0$ und $\varepsilon _i\neq 0$ für mindestens ein i.

Für die Varianz von $\mu _g$ ergibt sich:

$\mathit{VAR}(\mu _g)=\mathit{VAR}\left(\sum _{i=1}^n\omega _iX_i\right)=\sum _{i=1}^n\omega _i^2\mathit{VAR}(X_i)=\sum _{i=1}^n\omega _i^2\sigma ^2=\sigma ^2\sum _{i=1}^n\omega _i^2=\sigma ^2\sum _{i=1}^n\left(\frac 1 n+\varepsilon _i\right)^2$

$\text{ }=\sigma ^2\sum _{i=1}^n\left(\frac 1{n^2}+2\frac{\varepsilon _i} n+\varepsilon _i^2\right)=\sigma ^2\left(\frac n{n^2}+2\underbrace{\sum _{i=1}^n\frac{\varepsilon _i} n}_{\text =0\text{n.V.}}+\sum _{i=1}^n\varepsilon _i^2\right)=\underbrace{\frac{\sigma ^2} n}_{\text =\mathit{VAR}(\overline X)}+\sigma ^2\sum _{i=1}^n\varepsilon _i^2$

$\text{ }=\mathit{VAR}(\overline X)+\sigma ^2\sum _{i=1}^n\varepsilon _i^2>\mathit{VAR}(\overline X)$.

Soeben haben wir zeigen können, dass das gewöhnliche arithmetische Mittel $\overline X$ eine bessere Schätzfunktion für den Mittelwert $\mu $ der Grundgesamtheit ist, als andere Mittelwerte der Stichprobenvariablen, die nicht bei jeder Beobachtung das gleiche Gewicht geben.

Dies bedeutet vor allem, dass $\overline X$ den kleinst möglichen Standardfehler hat.

Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Effizienz ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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