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Merke
Merke
Unter allen zu untersuchenden erwartungstreuen Schätzfunktionen heißt diejenige am effizientesten, welche die geringste Varianz aufweist.
Folgende Beispielaufgabe verdeutlicht uns den Begriff der Effizienz.
Beispiel
Beispiel
Untersuchen Sie, welche der folgenden Schätzfunkionen effizient ist.
a) $\hat{\mu }_1=X_1+X_3.$
b) $\hat{\mu }_2=1,2X_1-0,2X_2.$
c) $\hat{\mu }_3=0,4X_1+0,6X_2.$
d) $\hat{\mu }_4=\frac 1{n-2}\sum _{i=1}^nX_i.$
1. Schritt: Zunächst schauen wir, welche Schätzfunktionen erwartungstreu sind.
Zu a): $E(\hat{\mu }_1)=E(X_1)+E(X_3)=\mu +\mu =2\mu \neq \mu .$ Also nicht erwartungstreu. Damit scheidet a) für unsere weiteren Betrachtungen aus.
Zu b): $E(\hat{\mu }_2)=1,2E(X_1)-0,2E(X_2)=\mu .$ Hier liegt Erwartungstreue vor.
Zu c): $E(\hat{\mu }_3)=E(0,4X_1)+E(0,6X_2)=0,4E(X_1)+0,6E(X_2)=0,4\mu +0,6\mu =\mu .$ Hier liegt Erwartungstreue vor.
Zu d): $E(\hat{\mu }_4)=\frac 1{n-2}\sum _{i=1}^nE(X_i)=\frac 1{n-2}n\mu \neq \mu .$ Auch d) scheidet für unsere weiteren Betrachtungen aus.
2. Schritt: Vergleich der Varianzen der Schätzfunktionen $\hat{\mu }_2,\hat{\mu }_3:$
Bei unabhängigen Zufallsvariablen ist die Varianz linear bezüglich der Addition und Subtraktion.
Es ist $\mathit{VAR}(\mathit{aX})=a^2\mathit{VAR}(X)$ für jede Konstante a, so dass $\mathit{VAR}(\hat{\mu }_2)=(1,2)^2\underbrace{\mathit{VAR}(X_1)}_{\text =\sigma ^2}-(0,2)^2\underbrace{\mathit{VAR}(X_2)}_{\text =\sigma ^2}=1,4\sigma ^2.$ $\mathit{VAR}(\hat{\mu }_3)=0,4^2\mathit{VAR}(X_1)+0,6^2\mathit{VAR}(X_2)=0,52\sigma ^2.$ Ein Vergleich der Varianzen ergibt die Lösung der Aufgabe. Es istDas heißt aber gerade, dasseffizient ist.
Aufgabe zur Effizienz
Die Zufallsvariablen $X_1,...,X_n$ seien unabhängig identisch verteilt. Ist dann die Schätzfunktion $\hat{\mu }=\sum _{i=1}^n\frac 1 nX_i$ effizient ?
Tipp: Betrachten Sie das gewichtete Mittel: $\mu _g=\sum _{i=1}^n\omega _iX_i$, welches wir als erwartungstreu für $\mu $ voraussetzen. Des Weiteren sei $\mu _g\neq \hat{\mu }$.
Vertiefung
Lösung:
Wir definieren $\omega _i:=\frac 1 n+\varepsilon _i$ mit $\sum _{i=1}^n\varepsilon _i=0$ und $\varepsilon _i\neq 0$ für mindestens ein i.
Für die Varianz von $\mu _g$ ergibt sich:
$\mathit{VAR}(\mu _g)=\mathit{VAR}\left(\sum _{i=1}^n\omega _iX_i\right)=\sum _{i=1}^n\omega _i^2\mathit{VAR}(X_i)=\sum _{i=1}^n\omega _i^2\sigma ^2=\sigma ^2\sum _{i=1}^n\omega _i^2=\sigma ^2\sum _{i=1}^n\left(\frac 1 n+\varepsilon _i\right)^2$
$\text{ }=\sigma ^2\sum _{i=1}^n\left(\frac 1{n^2}+2\frac{\varepsilon _i} n+\varepsilon _i^2\right)=\sigma ^2\left(\frac n{n^2}+2\underbrace{\sum _{i=1}^n\frac{\varepsilon _i} n}_{\text =0\text{n.V.}}+\sum _{i=1}^n\varepsilon _i^2\right)=\underbrace{\frac{\sigma ^2} n}_{\text =\mathit{VAR}(\overline X)}+\sigma ^2\sum _{i=1}^n\varepsilon _i^2$
$\text{ }=\mathit{VAR}(\overline X)+\sigma ^2\sum _{i=1}^n\varepsilon _i^2>\mathit{VAR}(\overline X)$.
Soeben haben wir zeigen können, dass das gewöhnliche arithmetische Mittel $\overline X$ eine bessere Schätzfunktion für den Mittelwert $\mu $ der Grundgesamtheit ist, als andere Mittelwerte der Stichprobenvariablen, die nicht bei jeder Beobachtung das gleiche Gewicht geben.
Dies bedeutet vor allem, dass $\overline X$ den kleinst möglichen Standardfehler hat.
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