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Schätzen > Eigenschaften von Schätzfunktionen:

Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Erwartungstreue

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Aufgabe 1

Es ist zu überprüfen, welche der folgenden Schätzfunktionen $x_i iid$ (indipendently identically distributed/unabhängig identisch vereteilt) erwartungstreu sind für den Erwartungswert.

a) $\hat{\mu }_1=\sum _{i=1}^nX_i-n\overline X+X_1.$

b) $\hat{\mu }_2=0,2X_1+0,9X_2-0,1X_3$

c) $\hat{\mu }_3=\frac 1{n-2}\sum _{i=1}^{n-1}X_i+2X_1.$

Lösung:

a) $E(\hat{\mu }_1)=E(\sum _{i=1}^nX_i-n\overline X+X_1).$

Widerum erhalten wir aufgrund der Linearität des Erwartungswertes:

$E(\hat{\mu }_1)=E(\sum _{i=1}^nX_i-n\overline X+X_1)=\sum _{i=1}^nE(X_i)-nE(\overline X)+E(X_1).$

Also ist

$E(\hat{\mu }_1)=\sum _{i=1}^nE(X_i)-nE(\overline X)+E(X_1)=\sum _{i=1}^n\mu -nE(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)+\mu $

$\text{ }\text =n\mu -n(\frac 1 n\sum _{i=1}^nE(X_i))+\mu =n\mu -n(\frac 1 n\sum _{i=1}^n\mu )+\mu =n\mu -n\frac 1 nn\mu +\mu =n\mu-n\mu+\mu =\mu .$
Also ist $\hat{\mu }$ erwartungstreu für $\mu .$

b) Wir überprüfen, ob:

$E(\hat{\mu }_2)=\mu $

Es ist

$E(\hat{\mu }_2)=E(0,2X_1+0,9X_2-0,1X_3)=0,2E(X_1)+0,9E(x_2)-0,1E(X_3)$

Dies führt zu:

$E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\mu$

$E(\hat{\mu }_2)=0,2\mu +0,9\mu -0,1\mu =1,1\mu -0,1\mu =\mu .$

Auch die Schätzfunktion $\hat{\mu }_2$ ist erwartungstreu für $\mu .$

c) Auch dieses mal prüfen wir ob:

$E(\hat{\mu }_3)=\mu $ gilt.
$E(\hat{\mu }_3)=E(\frac 1{n-2}\sum _{i=1}^{n-1}X_i+2X_1)=\frac 1{n-2}\sum _{i=1}^{n-1}E(X_i)+2E(X_1)=\frac 1{n-2}(n-1)\mu +2\mu .$
Wir fassen zusammen und erhalten:

$E(\hat{\mu }_3)=\frac 1{n-2}(n-1)\mu +2\mu =\frac{(n-1)}{n-2}\mu +\frac{2(n-2)\mu }{n-2}=\frac{(n-1)\mu +(2n-4)\mu }{n-2} = {3n-5}\over{n-2}\cdot \mu \neq \mu.$
Schließlich ist

$E(\hat{\mu }_3)=\frac{n\mu -\mu +2n\mu -4\mu }{n-2}=\frac{3n\mu -5\mu }{n-2}.$
Es gilt nicht, das $\hat E(\hat{\mu }_3)=\mu ,$ womit $\hat{\mu }_3$ kein erwartungstreuer Schätzer für $\mu $ ist.

Aufgabe 2

Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen. Ist dann die Schätzfunktion $\hat{\mu }=\frac{\mathit{XY}}{\mu }$ erwartungstreu für $\mu $?

Lösung:

Wegen der Unabhängigkeit gilt die folgende Gleichheit: E(XY) = E(X) * E(X), also:

Es ist $E(\hat{\mu })=E(\frac{\mathit{XY}}{\mu })=\frac{E(X)E(Y)}{\mu }=\frac{\mu \mu }{\mu }=\mu .$ 

Somit ist $\hat{\mu }$ erwartungstreu für $\mu$.

Aufgabe 3

Sei X eine Zufallsvariable mit $E(X^{\text +})=\mu ,E(X^{\text{{}-}})=0.$
Ist dann die Schätzfunktion $\hat{\mu }=X^{\text +}-X^{\text -}=X$ erwartungstreu ?

Lösung:

Wir erhalten

$E(\hat{\mu })=\mathit{EX}=E(X^{\text +}-X^{\text{{}-}})=E(X^{\text +})-E(X^{\text{{}-}})=\mu +0=\mu .$
Also ist $\hat{\mu }$ erwartungstreu für $\mu$.

Aufgabe 4

Seien X und Y Zufallsvariablen, welche nicht unabhängig sind. Es gelte $E(\mathit{XY})=\mu $ und $10<E(X),E(Y)<\infty .$

Ist die Schätzfunktion $\hat{\mu }=(X-\frac 1 n)(Y-\frac 1 n)$ erwartungstreu für $\mu$?

Lösung:

Es ist

$E(\hat{\mu })=E\left((X-\frac 1 n)(Y-\frac 1 n)\right)$
$=E(XY-\frac 1 n \cdot Y - \frac 1 n \cdot X + {1\over{n^2}}$
$=E(\mathit{XY})-\frac{E(X)+E(Y)} n+\frac 1{n^2}$
$=\mu -\frac{E(X)+E(Y)} n+\frac 1{n^2}\neq \mu .$

Somit ist $\hat{\mu }$ nicht erwartungstreu für $\mu .$

Aufgabe 5

Untersuchen Sie, welche der folgenden Schätzfunktionen erwartungstreu, für die Varianz sind.

a) $\hat{\sigma }_1^2=\frac 1 n\sum _{i=1}^n(X_i-\mu )^2.$ 

b) $\hat{\sigma }_2^2=\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n\text (X_i-\overline X\text )^2$

c) $\hat{\sigma }_3^2=X_1$

Lösung:

Die Varianz der auftretenden Zufallsvariablen sei $\sigma ^2.$

Ist die Schätzfunktion $\hat{\sigma }^2$ erwartungstreu für die Varianz, so gilt $E(\hat{\sigma }^2)=\sigma ^2.$

Zu a) Wir prüfen, ob $E(\hat{\sigma }_1^2)=\sigma ^2$ gilt.

Der Erwartungswert ist linear. Des Weiteren ist $E(\mathit{const.})=\mathit{const.}$

$E(\hat{\sigma }_1^2)=\frac 1 nE(\sum _{i=1}^n(X_i-\mu )^2)=\frac 1 n\sum _{i=1}^n\text (E(X_i^2)-2\overbrace{E(X_i)}^{\text =\mu }\mu +\mu ^2\text )$

$\text =\frac 1 n\sum _{i=1}^n\text (E(X_i^2)-2\mu ^2+\mu ^2\text )=\frac 1 n\sum _{i=1}^n\text (E(X_i^2)-\mu ^2\text )=\frac 1 n\sum _{i=1}^n\text (E(X_i^2)-(\mathit{EX}_i)^2\text ).$

Es gilt 

$\sigma ^2=E(X_i^2)-(\mathit{EX}_i)^2.$

Dann sehen wir aber, dass

$\text =E(\hat{\sigma }_1^2)=\frac 1 n\sum _{i=1}^n\overbrace{\text (E(X_i^2)-(\mathit{EX}_i)^2\text )}^{\sigma^2}$
$=\frac 1 nn\sigma ^2=\sigma ^2.$

Zu b) Auch hier prüfen wir, ob $E(\hat{\sigma }_2^2)=\sigma ^2$ gilt.}

Zunächst stellen wir fest, dass

$\sum _{i=1}^n\text (X_i-\overline X\text )^2=\sum _{i=1}^n\text (X_i^2-2X_i\overline X+\overline X^2\text )=\sum _{i=1}^nX_i^2-\frac n n2\sum _{i=1}^nX_i\overline X+\sum _{i=1}^n\overline X^2,$
wobei wir uns hier an die Definition des arithmetischen Mittels $\overline X$ erinnert haben.

$\text =(\sum _{i=1}^nX_i^2)-2n\overline X\overline X+n\overline X^2=(\sum _{i=1}^nX_i^2)-2n\overline X^2+n\overline X^2=(\sum _{i=1}^nX_i^2)-n\overline X^2.$

Nun können wir prüfen, ob Erwartungstreue bezüglich der Varianz besteht.

$E(\hat{\sigma }_2^2)=\frac 1{n-1}E\sum _{i=1}^n\text (X_i-\overline X\text )^2=\frac 1{n-1}[E(\sum _{i=1}^nX_i^2)-nE\text (\overline X^2\text )],$

nach obiger Herleitung.

Für unsere weiteren Betrachtungen ist es wichtig, dass wir wissen, dass

$\sigma ^2=E(X_i^2)-(EX_i)^2\text{{\textless}={\textgreater}}\sigma ^2+(EX_i)^2=E(X_i^2),$

so dass

$E(\hat{\sigma }_2^2)=\frac 1{n-1}E(\sum _{i=1}^nX_i^2)-nE\text (\overline X^2\text )=\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^nE\text (X_i^2\text )-nE\text (\overline X^2\text ).$

Wir berücksichtigen unsere letzte Formel für $\sigma ^2$ und erhalten:

$E(\hat{\sigma }_2^2)=\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n\text (\sigma ^2+(EX_i)^2\text )-\frac n{n-1}(\overline{\sigma }^2+(E\overline X)^2)\text ),$ $\overline{\sigma }^2=\mathit{VAR}(\overline X)=\mathit{VAR}(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)$
so dass

$E(\hat{\sigma }_2^2)=\frac 1{n-1}\text (n\sigma ^2+n(EX_i)^2\text )-\frac n{n-1}(\mathit{VAR}(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)+(\frac 1 n\sum _{i=1}^nE(X_i))^2)$

Aufgrund der Unabhängigkeit gilt hier:

$\mathit{VAR}(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)=\frac 1{n^2}\sum _{i=1}^n\mathit{VAR}(X_i)=\frac 1{n^2}n\sigma ^2=\frac 1 n\sigma ^2,$ so dass

$E(\hat{\sigma }_2^2)=\frac 1{n-1}\text (n\sigma ^2+n(EX_i)^2\text )-\frac 1{n-1}\sigma ^2-\frac n{n-1}(\mathit{EX}_i)^2=\frac 1{n-1}\text (n\sigma ^2+n(EX_i)^2-\sigma ^2-n(\mathit{EX}_i)^2$

$E(\hat{\sigma }_2^2)=\frac 1{n-1}\text (n\sigma ^2-\sigma ^2\text )=\frac{n-1}{n-1}\sigma ^2=\sigma ^2.$
Es gilt: $E(\hat{\sigma }_2^2)=\sigma ^2,$ womit $\hat{\sigma }_2^2$ ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz ist.

c) $E(\hat{\sigma }_3^2)=E(X_1)=\mu ,$ womit $\hat{\sigma }_3^2$ kein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz ist.

Aufgabe 6

Das gewogene arithmetische Mittel ist gegeben durch: $\mu _g=\sum _{i=1}^n\omega _iX_i.$ Die Größen $\omega _i$ werden Gewichte genannt. Es gelte, dass $\sum _{i=1}^n\omega _i=1.$ Dann ist $\mu _g$ eine erwartungstreue Schätzfunktion für das Mittel $\mu$ der Grundgesamtheit.

Lösung:

Die Erwartungstreue von $\mu _g$ sehen wir folgendermaßen.

$E(\mu _g)=E\left(\sum _{i=1}^n\omega _iX_i\right)=\sum _{i=1}^n\omega _iE\underbrace{(X_i)}_{\text =\mu \mathit{n.V.}}=\sum _{i=1}^n\omega _i\mu =\mu \underbrace{\sum _{i=1}^n\omega _i}_{\text =1}=\mu .$
Somit ist $E(\mu _g)=\mu ,$ womit $\mu _g$ erwartungstreu ist für das Mittel $\mu .$

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Erwartungstreue ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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