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Stichprobentheorie - Beispiele, Berechnungen und Aufgaben zur Erwartungstreue

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Stichprobentheorie

Beispiele, Berechnungen und Aufgaben zur Erwartungstreue

1. Aufgabe

Die Schätzfunktionen $x_i iid$ liegt vor. Welche davon erweist sich als erwartungstreu für den Erwartungswert?

Überprüfe:

a) $\hat{\mu }_1=\sum _{i=1}^nX_i-n\overline X+X_1.$

b) $\hat{\mu }_2=0,2X_1+0,9X_2-0,1X_3$

c) $\hat{\mu }_3=\frac 1{n-2}\sum _{i=1}^{n-1}X_i+2X_1.$

 

Hinweis

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iid= engl. indipendently identically distributed (unabhängig identisch verteilt)

 

Vertiefung

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Lösung:

a)
$E(\hat{\mu }_1)=E(\sum _{i=1}^nX_i-n\overline X+X_1).$

Auf Grund der Linearität des Erwartungswertes erhalten wir:

$E(\hat{\mu }_1)=E(\sum _{i=1}^nX_i-n\overline X+X_1)=\sum _{i=1}^nE(X_i)-nE(\overline X)+E(X_1).$

Demnach ist:

$E(\hat{\mu }_1)=\sum _{i=1}^nE(X_i)-nE(\overline X)+E(X_1)=\sum _{i=1}^n\mu -nE(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i)+\mu $

$\text{ }\text =n\mu -n(\frac 1 n\sum _{i=1}^nE(X_i))+\mu =n\mu -n(\frac 1 n\sum _{i=1}^n\mu )+\mu =n\mu -n\frac 1 nn\mu +\mu =n\mu-n\mu+\mu =\mu .$

Also wird deutlich, dass $\hat{\mu }$ erwartungstreu für $\mu$ ist.

b)
Überprüft wird:

$E(\hat{\mu }_2)=\mu $

Somit ist es:

$E(\hat{\mu }_2)=E(0,2X_1+0,9X_2-0,1X_3)=0,2E(X_1)+0,9E(x_2)-0,1E(X_3)$

Folglich kommt es zu:

$E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\mu$

$E(\hat{\mu }_2)=0,2\mu +0,9\mu -0,1\mu =1,1\mu -0,1\mu =\mu .$

Die Schätzfunktion $\hat{\mu }_2$ ist ebenfalls erwartungstreu für $\mu .$


c)
Zuletzt wird diese geprüft:

$E(\hat{\mu }_3)=\mu $
$E(\hat{\mu }_3)=E(\frac 1{n-2}\sum _{i=1}^{n-1}X_i+2X_1)=\frac 1{n-2}\sum _{i=1}^{n-1}E(X_i)+2E(X_1)=\frac 1{n-2}(n-1)\mu +2\mu .$

Daraus resultiert:

$E(\hat{\mu }_3)=\frac 1{n-2}(n-1)\mu +2\mu =\frac{(n-1)}{n-2}\mu +\frac{2(n-2)\mu }{n-2}=\frac{(n-1)\mu +(2n-4)\mu }{n-2} = {3n-5}\over{n-2}\cdot \mu \neq \mu.$

Folglich ist:

$E(\hat{\mu }_3)=\frac{n\mu -\mu +2n\mu -4\mu }{n-2}=\frac{3n\mu -5\mu }{n-2}.$
Somit ist $\hat E(\hat{\mu }_3)=\mu ,$ womit $\hat{\mu }_3$ kein erwartungstreuer Schätzer für $\mu $ ist.

2. Aufgabe

Wenn Y und Z unabhängige Zufallsvariablen sind, ist dann die Schätzfunktion $\hat{\mu }=\frac{\mathit{YZ}}{\mu }$ erwartungstreu für $\mu $?

Vertiefung

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Lösung:

Aufgrund der Unabhängigkeit beider gilt diese Gleichung: E(YZ) = E(Y) * E(Y)

Es ist $E(\hat{\mu })=E(\frac{\mathit{YZ}}{\mu })=\frac{E(Y)E(Z)}{\mu }=\frac{\mu \mu }{\mu }=\mu .$ 

Demnach ist $\hat{\mu }$ erwartungstreu für $\mu$.

 

3. Aufgabe

Wenn Y einer Zufallsvariable mit $E(Y^{\text +})=\mu ,E(Y^{\text{{}-}})=0$ entspricht, ist dann die Schätzfunktion $\hat{\mu }=X^{\text +}-Y^{\text -}=Y$ erwartungstreu?

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Lösung:

 Daraus resultiert:

$E(\hat{\mu })=\mathit{EY}=E(Y^{\text +}-Y^{\text{{}-}})=E(Y^{\text +})-E(Y^{\text{{}-}})=\mu +0=\mu .$
Demnach ist $\hat{\mu }$ erwartungstreu für $\mu$.

4. Aufgabe

Ist die Schätzfunktion $\hat{\mu }=(Y-\frac 1 n)(Z-\frac 1 n)$ erwartungstreu für $\mu$, wenn Y und Z keine voneinander unabhängigen Zufallsvariablen sind und für diese $E(\mathit{XY})=\mu $ und $10<E(Y),E(Z)<\infty .$ gilt?

 

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Lösung:

Damit entspricht es:

$E(\hat{\mu })=E\left((Y-\frac 1 n)(Z-\frac 1 n)\right)$
$=E(YZ-\frac 1 n \cdot Z - \frac 1 n \cdot Y + {1\over{n^2}}$
$=E(\mathit{YZ})-\frac{E(Y)+E(Z)} n+\frac 1{n^2}$
$=\mu -\frac{E(Y)+E(Z)} n+\frac 1{n^2}\neq \mu .$

Demnach ist $\hat{\mu }$ nicht erwartungstreu für $\mu .$

5. Aufgabe

Die folgenden Schätzfunktionen sind dahingehend zu überprüfen, welche erwartungstreu für die Varianz ist:

a) $\hat{\sigma }_1^2=\frac 1 n\sum _{i=1}^n(Y_i-\mu )^2.$ 

b) $\hat{\sigma }_2^2=\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n\text (Y_i-\overline Y\text )^2$

c) $\hat{\sigma }_3^2=Y_1$

 

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Lösung:

 Die Varianz der auftretenden Zufallsvariable ist $\sigma ^2.$

Wenn die Schätzfunktion $\hat{\sigma }^2$ für diese Varianz erwartungstreu ist, dann gilt dafür $E(\hat{\sigma }^2)=\sigma ^2.$

a) Überprüft wird, ob für $E(\hat{\sigma }_1^2)=\sigma ^2$ gilt.

Der Erwartungswert ist hier linear. Fortlaufend ist $E(\mathit{const.})=\mathit{const.}$

$E(\hat{\sigma }_1^2)=\frac 1 nE(\sum _{i=1}^n(Y_i-\mu )^2)=\frac 1 n\sum _{i=1}^n\text (E(Y_i^2)-2\overbrace{E(Y_i)}^{\text =\mu }\mu +\mu ^2\text )$

$\text =\frac 1 n\sum _{i=1}^n\text (E(Y_i^2)-2\mu ^2+\mu ^2\text )=\frac 1 n\sum _{i=1}^n\text (E(Y_i^2)-\mu ^2\text )=\frac 1 n\sum _{i=1}^n\text (E(Y_i^2)-(\mathit{EY}_i)^2\text ).$


Somit gilt: 

$\sigma ^2=E(Y_i^2)-(\mathit{EY}_i)^2.$

Dabei zeigt sich, dass…

$\text =E(\hat{\sigma }_1^2)=\frac 1 n\sum _{i=1}^n\overbrace{\text (E(Y_i^2)-(\mathit{EY}_i)^2\text )}^{\sigma^2}$
$=\frac 1 nn\sigma ^2=\sigma ^2.$

b) Geprüft wird, ob $E(\hat{\sigma }_2^2)=\sigma ^2$ gilt.

Zu Beginn ist festzustellen, dass…

$\sum _{i=1}^n\text (Y_i-\overline Y\text )^2=\sum _{i=1}^n\text (Y_i^2-2X_i\overline Y+\overline Y^2\text )=\sum _{i=1}^nY_i^2-\frac n n2\sum _{i=1}^nY_i\overline Y+\sum _{i=1}^n\overline Y^2,$

Hinzugezogen wird dabei die Definition des arithmetischen Mittels $\overline X$

$\text =(\sum _{i=1}^nY_i^2)-2n\overline Y\overline Y+n\overline Y^2=(\sum _{i=1}^nY_i^2)-2n\overline Y^2+n\overline Y^2=(\sum _{i=1}^nY_i^2)-n\overline Y^2.$

Ob eine Erwartungstreue in Bezug auf die Varianz vorherrscht, kann gemäß der vorherigen Herleitung folgendermaßen überprüft werden:

$E(\hat{\sigma }_2^2)=\frac 1{n-1}E\sum _{i=1}^n\text (Y_i-\overline Y\text )^2=\frac 1{n-1}[E(\sum _{i=1}^nY_i^2)-nE\text (\overline Y^2\text )],$

Für das weitere Vorgehen ist es von Bedeutung zu wissen, dass

$\sigma ^2=E(Y_i^2)-(EY_i)^2\text{{\textless}={\textgreater}}\sigma ^2+(EY_i)^2=E(Y_i^2),$

wodurch

$E(\hat{\sigma }_2^2)=\frac 1{n-1}E(\sum _{i=1}^nY_i^2)-nE\text (\overline Y^2\text )=\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^nE\text (Y_i^2\text )-nE\text (\overline Y^2\text ).$


Unter Berücksichtigung der letzten Formel für $\sigma ^2$ kommt heraus:

$E(\hat{\sigma }_2^2)=\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n\text (\sigma ^2+(EY_i)^2\text )-\frac n{n-1}(\overline{\sigma }^2+(E\overline Y)^2)\text ),$ $\overline{\sigma }^2=\mathit{VAR}(\overline Y)=\mathit{VAR}(\frac 1 n\sum _{i=1}^nY_i)$
so dass

$E(\hat{\sigma }_2^2)=\frac 1{n-1}\text (n\sigma ^2+n(EY_i)^2\text )-\frac n{n-1}(\mathit{VAR}(\frac 1 n\sum _{i=1}^nY_i)+(\frac 1 n\sum _{i=1}^nE(Y_i))^2)$

Infolge der Unabhängigkeit beider gilt hier:

$\mathit{VAR}(\frac 1 n\sum _{i=1}^nY_i)=\frac 1{n^2}\sum _{i=1}^n\mathit{VAR}(Y_i)=\frac 1{n^2}n\sigma ^2=\frac 1 n\sigma ^2,$

wodurch:

$E(\hat{\sigma }_2^2)=\frac 1{n-1}\text (n\sigma ^2+n(EY_i)^2\text )-\frac 1{n-1}\sigma ^2-\frac n{n-1}(\mathit{EY}_i)^2=\frac 1{n-1}\text (n\sigma ^2+n(EY_i)^2-\sigma ^2-n(\mathit{EY}_i)^2$

$E(\hat{\sigma }_2^2)=\frac 1{n-1}\text (n\sigma ^2-\sigma ^2\text )=\frac{n-1}{n-1}\sigma ^2=\sigma ^2.$
Es gilt: $E(\hat{\sigma }_2^2)=\sigma ^2,$ wodurch sich zeigt, dass $\hat{\sigma }_2^2$ ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz ist.

c) $E(\hat{\sigma }_3^2)=E(Y_1)=\mu ,$ wodurch sich zeigt, dass $\hat{\sigma }_3^2$ ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz ist.

6. Aufgabe

Gegeben ist das gewogene arithmetische Mittel:

$\mu _g=\sum _{i=1}^n\omega _iY_i.$ Die Größen $\omega _i$ werden Gewichte genannt. Es gilt, dass $\sum _{i=1}^n\omega _i=1.$ 

Folglich ist $\mu _g$ eine erwartungstreue Schätzfunktion für das Mittel $\mu$ der Grundgesamtheit.

Vertiefung

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Lösung:

Die Erwartungstreue von $\mu _g$ wird ersichtlich durch:

$E(\mu _g)=E\left(\sum _{i=1}^n\omega _iY_i\right)=\sum _{i=1}^n\omega _iE\underbrace{(Y_i)}_{\text =\mu \mathit{n.V.}}=\sum _{i=1}^n\omega _i\mu =\mu \underbrace{\sum _{i=1}^n\omega _i}_{\text =1}=\mu .$
Demnach ist $E(\mu _g)=\mu ,$ womit $\mu _g$ erwartungstreu ist für das Mittel $\mu .$