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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur eindimensionalen Verteilung (ohne Namen)

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur eindimensionalen Verteilung (ohne Namen)

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1:

Welche dieser Aussagen sind korrekt oder faslch?

  1. Wenn die Zufallsvariable X linear transformiert wird durch Y = aX + b mit einem Parameter a > 1, so gilt für die Varianz von Y > die Varianz von X.
  2. Für die Varianz der Differenz gilt: Var(a·X - b·Y) = a2·Var(X) – b2·Var(Y), wenn X und Y von einander unabhägig sind.
  3. Es gilt stets E(X2) = Var(X) + E(X)2.
  4. Die Gleichheit E(X·Y) = E(X)·E(Y) gilt ausschließlich für unabhängige Zufallsvariablen X und Y.
  5. E(a) = a und Var(a) = a gilt für konstante Zufallsvariablen X = a.
  6. Die Varianz einer Summe von Zufallsvariablen Xi also Var($\sum _{i\;=\;1}^n\;$Xi), lässt sich berechnen durch Var(X) = Var($\sum _{i\;=\;1}^n\;$Xi) + 2$\sum _{j\;<\;k}\;$Cov(Xj, Xk).

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Lösung 1a:

Korrekt:

Var(Y) = Var(a·X + b) = a2·Var(X) > Var(X), wenn gilt a > 1

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Lösung 1b:

Falsch.

Korrekt ist, Var(a·X - b·Y) = Var(a·X + (- 1)·b·Y) = a2·Var(X) + (-1)2·b2·Var(Y) = a2·Var(X) + b2·Var(Y), wenn X und Y unabhängig sind.

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Lösung 1c:

Korrekt,

weil für die Varianz (nach dem Verschiebungssatz) bereits gilt Var(X) = E(X2) + E(X)2.

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Lösung 1d:

Korrekt,

die Gleichheit gilt ebenfalls für unkorrelierte Zufallsvariablen X und Y.

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Lösung 1e:

Falsch.

Zwar ist der Erwartungswert einer konstanten Zufallsvariablen X = a gleich dieser Zahl a ( E(X) = a) , jedoch ist die Varianz einer Zahl a ist stets null.
Var(a) = 0, weil eine konstante Zufallsvariable X = a nicht streut.

Vertiefung

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Lösung 1f:

Korrekt.

Bei unkorrelierten Zufallsvariablen fällt der Ausdruck der Covarianz 2$\sum _{j\;<\;k}\;$Cov(Xj, Xk) weg, dann gilt $\sum _{i\;=\;1}^n\;$Var(Xi).

Aufgabe 2:

Welche dieser Aussagen über Erwartungswerte und Varianzen sind korrekt oder falsch?

  1. Wenn man eine Zufallsvariable X mit einer reellen Zahl a multipliziert, so lässt dies die Varianz unverändert: Var(X) = Var (a×X).
  2. Die Varianz der Differenz zweier Zufallsvariablen ist, wenn diese unabhängig sind, gleich der Differenz der Varianzen der Zufallsvariablen, d.h. es gilt Var(X - Y) = Var(X) - Var(Y).
  3. Für unabhängige Zufallsvariablen X und Y gilt die Beziehung E(X + Y) = E(X) + E(Y).
  4. Es ist immer richtig, dass die Kovarianz einer Zufallsvariablen mit sich selbst gleich 0 ist, also Cov(X,X) = 0.
  5. Wenn zwei Zufallsvariablen gemeinsam normalverteilt sind, dann sind Unabhängigkeit und Unkorreliertheit äquivalent.
  6. Es ist immer richtig, dass der Erwartungswert einer quadrierten Zufallsvariablen X größer oder gleich dem Quadrat des Erwartungswertes ist, d.h. E(X2) ≥ E(X)2.

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Lösung 2a:

Falsch,

denn korrekt ist, dass Var(a·X) = a2·Var(X)

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Lösung 2b:

Falsch.

Denn es gilt:

Var(X – Y) = Var(X + (-Y)) = Var(X) + Var(-Y) = Var(X) + (-1)2·Var(Y) = Var(X) + Var(Y)

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Lösung 2c:

Korrekt.

Es sei aber nochmals darauf hingewiesen, dass die Beziegung E(X + Y) = E(X) + E(Y) immer gilt, sowohl für unabhängig als auch abhängige Zufallsvariablen.

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Lösung 2d:

Falsch.

Die Covarianz einer Zufallsvariablen mit sich selbst ist vielmehr gleich der Varianz.

Es gilt: Cov(X,X) = Var(X)

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Lösung 2e:

Korrekt.

Vertiefung

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Lösung 2f:

Korrekt,

denn es gilt Var(X) = E(X2) – E(X)2 und die Varianz ist immer größer oder gleich 0.

Dementsprechend ist Var(X) = E(X2) – E(X)2 ≥ 0 ⇔ E(X2) ≥ E(X)2.

 

Aufgabe 3:

Welche dieser Aussagen über Verteilungs- und Dichtungsfunktionen von Zufallsvariablen sind korrekt oder falsch.

  1. Die Dichtefunktion einer stetigen Verteilung gibt, ebenso wie die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Verteilung, die Wahrscheinlichkeiten an, mit denen die verschiedenen möglichen Realisationswerte angenommen werden.
  2. Bei jeder stetigen Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit, einen möglichen Realisationswert anzunehmen, genau gleich null.
  3. Die Wahrscheinlichkeit der Realisation der Zufallsvariable in einem bestimmten Intervall berechnet man mit Hilfe des Integrals unter der zugehörigen Verteilungsfunktion.
  4. Die Werte der Dichtefunktion sind größer oder gleich null und maximal gleich 1.
  5. Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist immer stetig.
  6. Die Dichtefunktion einer stetigen Verteilung muss nicht immer stetig sein.

Vertiefung

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Lösung 3a:

Falsch.

Nicht die Dichtefunktion, sondern die Fläche zwischen ihrem Graphen und der x-Achse gibt die Wahrscheinlichkeiten an.

Vertiefung

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Lösung 3b:

Korrekt,

denn die Wahrscheinlichkeitsdichte P(X = a) ist an jedem Punkt gleich 0.

Vertiefung

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Lösung 3c:

Falsch,

korrekt wäre hier der Ausdruck der Dichtefunktion.

Vertiefung

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Lösung 3d:

Falsch,

die Werte einer Dichtefunktion… wäre korrekt!

Vertiefung

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Lösung 3e:

Korrekt.

Vertiefung

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Lösung 3f:

Korrekt.