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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur eindimensionalen Verteilung (ohne Namen)

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur eindimensionalen Verteilung (ohne Namen)

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1:

Die folgenden Aussagen sind richtig oder falsch. Entscheide.

a) Wenn die Zufallsvariable X linear transformiert wird durch Y = aX + b mit einem Parameter a > 1, so ist die Varianz von Y echt größer als jene von X.

b) Es gilt für die Varianz der Differenz Var(a·X - b·Y) = a2·Var(X) – b2·Var(Y), wenn X und Y unabhängige Zufallsvariablen sind.

c) Es gilt stets E(X2) = Var(X) + E(X)2.

d) Die Gleichheit E(X·Y) = E(X)·E(Y) gilt nur für unabhängige Zufallsvariablen X und Y.

e) Für konstante Zufallsvariablen X = b gilt E(b) = b und Var(b) = b.

f) Die Varianz einer Summe von Zufallsvariablen Xi also Var($\sum _{i\;=\;1}^n\;$Xi), lässt sich berechnen durch Var(X) = Var($\sum _{i\;=\;1}^n\;$Xi) + 2$\sum _{j\;<\;k}\;$Cov(Xj, Xk).

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Lösung:

a) Wenn die Zufallsvariable X linear transformiert wird durch Y = aX + b mit einem Parameter a > 1, so ist die Varianz von Y echt größer als jene von X.

Richtig, es ist Var(Y) = Var(a·X + b) = a2·Var(X) > Var(X), wenn a > 1

b) Es gilt für die Varianz der Differenz Var(a·X – b·Y) = a2·Var(X) – b2·Var(Y), wenn X und Y unabhängige Zufallsvariablen sind.

Falsch. Vielmehr ist richtig Var(a·X - b·Y) = Var(a·X + (- 1)·b·Y) = a2·Var(X) + (-1)2·b2·Var(Y) = a2·Var(X) + b2·Var(Y), wenn X und Y unabhängig sind.

c) Es gilt stets E(X2) = Var(X) + E(X)2.

Richtig. Dies liegt daran, dass für die Varianz (nach dem Verschiebungssatz) bereits gilt Var(X) = E(X2) + E(X)2.

d) Die Gleichheit E(X·Y) = E(X)·E(Y) gilt nur für unabhängige Zufallsvariablen X und Y.

Falsch, sie gilt bereits für unkorrelierte Zufallsvariablen X und Y.

e) Für konstante Zufallsvariablen X = b gilt E(b) = b und Var(b) = b.

Falsch. Zwar ist der Erwartungswert einer konstanten Zufallsvariablen X = b gleich dieser Zahl b, d.h. E(X) = b, aber die Varianz einer Zahl b ist stets null: Var(b) = 0, denn eine konstante Zufallsvariable X = b streut nicht.

f) Die Varianz einer Summe von Zufallsvariablen Xi also Var($\sum _{i\;=\;1}^n\;$Xi), lässt sich berechnen durch Var(X) = $\sum _{i\;=\;1}^n\;$Var(Xi) + 2$\sum _{j\;<\;k}\;$Cov(Xj, Xk).

Richtig. Der Ausdruck der Covarianzen 2$\sum _{j\;<\;k}\;$Cov(Xj, Xk) fällt weg bei unkorrelierten Zufallsvariablen (erst recht also bei unabhängigen Zufallsvariablen), es gilt dann $\sum _{i\;=\;1}^n\;$Var(Xi).

Aufgabe 2:

Entscheide, ob die folgenden Aussagen über Erwartungswerte und Varianzen richtig oder falsch sind:

a) Wenn man eine Zufallsvariable X mit einer reellen Zahl a multipliziert, so lässt dies die Varianz unverändert: Var(X) = Var (a×X).

b) Die Varianz der Differenz zweier Zufallsvariablen ist, wenn diese unabhängig sind, gleich der Differenz der Varianzen der Zufallsvariablen, d.h. es gilt Var(X - Y) = Var(X) - Var(Y).

c) Für unabhängige Zufallsvariablen X und Y gilt die Beziehung E(X + Y) = E(X) + E(Y).

d) Es ist immer richtig, dass die Kovarianz einer Zufallsvariablen mit sich selbst gleich 0 ist, also Cov(X,X) = 0.

e) Wenn zwei Zufallsvariablen gemeinsam normalverteilt sind, dann sind Unabhängigkeit und Unkorreliertheit äquivalent.

f) Es ist immer richtig, dass der Erwartungswert einer quadrierten Zufallsvariablen X größer oder gleich dem Quadrat des Erwartungswertes ist, d.h. E(X2) ≥ E(X)2.

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Lösung:

a) Falsch. Richtig ist vielmehr, dass Var(a·X) = a2·Var(X) gilt.

b) Falsch. Vielmehr gilt

Var(X – Y) = Var(X + (-Y))

= Var(X) + Var(-Y)

= Var(X) + (-1)2·Var(Y)

= Var(X) + Var(Y).

c) Richtig. Beachte trotzdem, dass die Beziehung immer gilt, nicht nur für unabhängige Zufallsvariablen. Auch für abhängige ist die Beziehung E(X + Y) = E(X) + E(Y) richtig.

d) Falsch. Die Covarianz einer Zufallsvariablen mit sich selbst ist vielmehr gleich der Varianz (wie der Name Covarianz schon vermuten lässt). Es gilt also Cov(X,X) = Var(X).

e) Richtig.

f) Richtig, denn es gilt Var(X) = E(X2) – E(X)2, und die Varianz ist stets größer oder gleich null. Also ist

Var(X) = E(X2) – E(X)≥ 0 ‹=› E(X2) ≥ E(X)2

Aufgabe 3:

Gib zu den folgenden Aussagen über Verteilungs- und Dichtungsfunktionen von Zufallsvariablen an, ob sie richtig oder falsch sind.

a) Die Dichtefunktion einer stetigen Verteilung gibt, genau wie die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Verteilung, die Wahrscheinlichkeiten an, mit denen die verschiedenen möglichen Realisationswerte angenommen werden.

b) Bei jeder stetigen Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit, einen möglichen Realisationswert anzunehmen, exakt gleich null.

c) Die Wahrscheinlichkeit der Realisation der Zufallsvariable in einem bestimmten Intervall berechnet man mit Hilfe des Integrals unter der zugehörigen Verteilungsfunktion.

d) Die Werte der Dichtefunktion sind größer oder gleich null und höchstens gleich Eins.

e) Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist immer stetig.

f) Die Dichtefunktion einer stetigen Verteilung muss nicht stetig sein.

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Lösung:

a) Falsch nicht die Dichtefunktion selbst gibt die Wahrscheinlichkei ten an, sondern die Fläche, die unter der Funktionskurve liegt.

b) Richtig denn die Wahrscheinlichkeitsdichte P(X = a) ist an jedem Punkt gleich null.

c) Falsch hier ist der Begriff der Wahrscheinlichkeitsfunktion, rich tig wäre Dichtefunktion.

d) Falsch die Werte einer Dichtefunktion… wäre richtig!

e) Richtig.

f) Richtig.