Inhaltsverzeichnis
Aufgabe 1:
Welche dieser Aussagen sind korrekt oder faslch?
- Wenn die Zufallsvariable X linear transformiert wird durch Y = aX + b mit einem Parameter a > 1, so gilt für die Varianz von Y > die Varianz von X.
- Für die Varianz der Differenz gilt: Var(a·X - b·Y) = a2·Var(X) – b2·Var(Y), wenn X und Y von einander unabhägig sind.
- Es gilt stets E(X2) = Var(X) + E(X)2.
- Die Gleichheit E(X·Y) = E(X)·E(Y) gilt ausschließlich für unabhängige Zufallsvariablen X und Y.
- E(a) = a und Var(a) = a gilt für konstante Zufallsvariablen X = a.
- Die Varianz einer Summe von Zufallsvariablen Xi also Var($\sum _{i\;=\;1}^n\;$Xi), lässt sich berechnen durch Var(X) = Var($\sum _{i\;=\;1}^n\;$Xi) + 2$\sum _{j\;<\;k}\;$Cov(Xj, Xk).
-
Lösung 1a:
Korrekt:
Var(Y) = Var(a·X + b) = a2·Var(X) > Var(X), wenn gilt a > 1
-
Lösung 1b:
Falsch.
Korrekt ist, Var(a·X - b·Y) = Var(a·X + (- 1)·b·Y) = a2·Var(X) + (-1)2·b2·Var(Y) = a2·Var(X) + b2·Var(Y), wenn X und Y unabhängig sind.
-
Lösung 1c:
Korrekt,
weil für die Varianz (nach dem Verschiebungssatz) bereits gilt Var(X) = E(X2) + E(X)2.
-
Lösung 1d:
Korrekt,
die Gleichheit gilt ebenfalls für unkorrelierte Zufallsvariablen X und Y.
-
Lösung 1e:
Falsch.
Zwar ist der Erwartungswert einer konstanten Zufallsvariablen X = a gleich dieser Zahl a ( E(X) = a) , jedoch ist die Varianz einer Zahl a ist stets null.
Var(a) = 0, weil eine konstante Zufallsvariable X = a nicht streut.
Vertiefung
Lösung 1f:
Korrekt.
Bei unkorrelierten Zufallsvariablen fällt der Ausdruck der Covarianz 2$\sum _{j\;<\;k}\;$Cov(Xj, Xk) weg, dann gilt $\sum _{i\;=\;1}^n\;$Var(Xi).
Aufgabe 2:
Welche dieser Aussagen über Erwartungswerte und Varianzen sind korrekt oder falsch?
- Wenn man eine Zufallsvariable X mit einer reellen Zahl a multipliziert, so lässt dies die Varianz unverändert: Var(X) = Var (a×X).
- Die Varianz der Differenz zweier Zufallsvariablen ist, wenn diese unabhängig sind, gleich der Differenz der Varianzen der Zufallsvariablen, d.h. es gilt Var(X - Y) = Var(X) - Var(Y).
- Für unabhängige Zufallsvariablen X und Y gilt die Beziehung E(X + Y) = E(X) + E(Y).
- Es ist immer richtig, dass die Kovarianz einer Zufallsvariablen mit sich selbst gleich 0 ist, also Cov(X,X) = 0.
- Wenn zwei Zufallsvariablen gemeinsam normalverteilt sind, dann sind Unabhängigkeit und Unkorreliertheit äquivalent.
- Es ist immer richtig, dass der Erwartungswert einer quadrierten Zufallsvariablen X größer oder gleich dem Quadrat des Erwartungswertes ist, d.h. E(X2) ≥ E(X)2.
-
Lösung 2a:
Falsch,
denn korrekt ist, dass Var(a·X) = a2·Var(X)
-
Lösung 2b:
Falsch.
Denn es gilt:
Var(X – Y) = Var(X + (-Y)) = Var(X) + Var(-Y) = Var(X) + (-1)2·Var(Y) = Var(X) + Var(Y)
-
Lösung 2c:
Korrekt.
Es sei aber nochmals darauf hingewiesen, dass die Beziegung E(X + Y) = E(X) + E(Y) immer gilt, sowohl für unabhängig als auch abhängige Zufallsvariablen.
-
Lösung 2d:
Falsch.
Die Covarianz einer Zufallsvariablen mit sich selbst ist vielmehr gleich der Varianz.
Es gilt: Cov(X,X) = Var(X)
-
Lösung 2e:
Korrekt.
Vertiefung
Lösung 2f:
Korrekt,
denn es gilt Var(X) = E(X2) – E(X)2 und die Varianz ist immer größer oder gleich 0.
Dementsprechend ist Var(X) = E(X2) – E(X)2 ≥ 0 ⇔ E(X2) ≥ E(X)2.
Aufgabe 3:
Welche dieser Aussagen über Verteilungs- und Dichtungsfunktionen von Zufallsvariablen sind korrekt oder falsch.
- Die Dichtefunktion einer stetigen Verteilung gibt, ebenso wie die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Verteilung, die Wahrscheinlichkeiten an, mit denen die verschiedenen möglichen Realisationswerte angenommen werden.
- Bei jeder stetigen Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit, einen möglichen Realisationswert anzunehmen, genau gleich null.
- Die Wahrscheinlichkeit der Realisation der Zufallsvariable in einem bestimmten Intervall berechnet man mit Hilfe des Integrals unter der zugehörigen Verteilungsfunktion.
- Die Werte der Dichtefunktion sind größer oder gleich null und maximal gleich 1.
- Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist immer stetig.
- Die Dichtefunktion einer stetigen Verteilung muss nicht immer stetig sein.
Vertiefung
Lösung 3a:
Falsch.
Nicht die Dichtefunktion, sondern die Fläche zwischen ihrem Graphen und der x-Achse gibt die Wahrscheinlichkeiten an.
Vertiefung
Lösung 3b:
Korrekt,
denn die Wahrscheinlichkeitsdichte P(X = a) ist an jedem Punkt gleich 0.
Vertiefung
Lösung 3c:
Falsch,
korrekt wäre hier der Ausdruck der Dichtefunktion.
Vertiefung
Lösung 3d:
Falsch,
die Werte einer Dichtefunktion… wäre korrekt!
Vertiefung
Lösung 3e:
Korrekt.
Vertiefung
Lösung 3f:
Korrekt.
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