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Stichprobentheorie

Anwendung der Kochrezepte auf Beispiele

Beispiele zu Kochrezept 1

Bestimmung eines Konfidenzintervalls für $\mu$ bei normalverteilter Grundgesamtheit und bekannter Varianz. Hier werden wir das Lambert-Kochrezept 1 auf Beispiele anwenden.

Beispiel

Beispiel 1:

Es soll ein 95% - KI für den Erwartungswert $\mu$ einer $N(\mu ,\sigma ^2)$ Verteilung bestimmt werden. Die Stichprobe habe den Umfang n = 100. Der daraus gebildete Mittelwert (das arithmetische Mittel) sei $\overline x=5.$ Es ergab sich eine Streuung von $\sigma =3.$

  1. Schritt: Das Konfidenzniveau ist gegeben durch $1-\alpha =95\text{%}.$ Das heißt $\alpha =0,05.$

  2. Schritt: Nun sehen wir, dass $1-\frac{\alpha } 2=1-0,025=0,975.$

  3. Schritt: Wir können jetzt das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktil z der Standardnormalverteilung N(0,1) bestimmen. Dieses finden wir in einer Tabelle. Es ist z=1,96.

  4. Schritt: Das arithmetische Mittel der Stichprobe ist $\overline {x} = 5§.

  5. Schritt: Wir erhalten für die halbe Breite des Konfidenzintervalls: $\frac{\sigma z}{\sqrt n}=\frac{3\ast 1,96}{\sqrt{100}}=0,588.$

  6. Schritt: Somit ergibt sich folgendes Konfidenzintervall: [5-0,588;5+0,588]=[4,412;5,588].

Beispiel

Beispiel 2: 

Um den durchschnittlichen Benzinverbrauch pro 100 [km] eines neuen Automodells zu bestimmen, läßt eine Automobilfirma mit 25 Wagen Testfahrten durchführen. Das Unternehmen interessiert sich für das Konfidenzintervall mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95 % für den durchschnittlichen Benzinverbrauch μ pro 100 [km]. Der Benzinverbrauch sei normalverteilt mit σ = 0.9 [l/100 km]. Die praktisch durchgeführten Tests ergaben einen Durchschnittsverbrauch aller 25 Testwagen. Dieser betrug: 9.1 [l/100 km].

  1. Schritt: Es ist gegeben, dass $1-\alpha =95\text{%} \Leftrightarrow \alpha = 5\text{%}=0,05.$

  2. Schritt: $1-\frac{0,05} 2=0,975.$

  3. Schritt: Das (0,975)- Fraktil z der N(0,1) Verteilung ist: $z_{0,975}=1,96.$

  4. Schritt: Das arithmetische Mittel in der Stichprobe ist gegeben zu $\overline x=9,1.$

  5. Schritt: Es ist $\frac{\sigma z}{\sqrt n}=\frac{0,9\ast 1,96}{\sqrt{25}}=0,3528.$

  6. Schritt: Als Konfidenzintervall ergibt sich: $\mathit{KI}=\text [9,1-0,3528;9,1+0,3528\text ]=\text [8,7472;9,4528\text ].$

Beispiel

Beispiel 3: 

Die Biersorte HP19 habe eine Füllmenge, welche normalverteilt ist. Wir ziehen aus der aktuell laufenden Produktion eine Stichprobe von sechs Flaschen. Aus langjähriger Erfahrung ist bekannt, dass die Streuung der Füllmenge 0,02l beträgt. Die Stichprobe liefert folgende Ergebnisse:

Flasche

Füllmenge in Liter [l]

1

0,51

2

0,52

3

0,5

4

0,5

5

0,51

6

0,52

Nun besteht die Aufgabe darin, ein Konfidenzintervall mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95 % für den Erwartungswert zu bestimmen.

Der Aufgabenstellung entnehmen wir, dass $\sigma$ und somit auch $\sigma^2$ bekannt ist.

  1. Schritt: Nach Aufgabenstellung ist: $1 - \alpha = 95 \text{%}$

  2. Schritt: Wir können aus der Gleichung $1-\frac{\alpha } 2$ die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha $ berechnen. Es ist $\alpha =\frac{100}{100}-\frac{95}{100}=\frac 5{100}=0,05.$ Dann ist $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,05} 2=0,975.$

  3. Schritt: Wir können nun das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ - Fraktil z der N(0,1) Verteilung in einer Tabelle

    nachschlagen. Wir lesen ab und erhalten z=1,96.

  4. Schritt: Die Stichprobe ergibt ein arithmetisches Mittel von: $\frac{0,51+0,52+0,5+0,5+0,51+0,52} 6=0,51.$

  5. Schritt: Es ergibt sich: $\sigma \frac z{\sqrt n}=\frac{0,02\ast 1,96}{\sqrt 6}=0,016.$

  6. Schritt: Schließlich können wir das entsprechende Konfidenzintervall geanau angeben.

Es lautet: $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\sigma z}{\sqrt n};\overline x+\frac{\sigma z}{\sqrt n}\right]=\text [0,51-0,016;0,51+0,016\text ].$ 
Wir erhalten: KI=[0,494 ; 0,526] .

Beispiele zu Kochrezept 2

Ermitteln eines Konfidenzintervalls für $ \mu$ bei normalverteilter Grundgesamtheit und unbekannter Varianz. Wir werden nun jeweils Lambert-Kochrezept 2 anwenden

Beispiel

Beispiel 1: 

Die Länge von produzierten Tischplatten sei normalverteilt. Die Streuung sei unbekannt. Aus der aktuellen Produktion wird eine Stichprobe von n = 3 gezogen. Es ergeben sich folgende Werte: 10,5cm ; 10cm; 10,3cm. Es ist das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau von 95 % für den Erwartungswert $\mu$ zu bestimmen.

  1. Schritt: Gegeben ist das Konfidenznive $1 - \alpha = 95\text{%}$ auso dass $\alpha = 0,05$.

  2. Schritt: Nun sehen wir, dass $1- {\alpha\over{2}} = 1 - 0,025 = 0,975$.

  3. Schritt: Anhand der entsprechenden Tabelle können wir das 0,975-Fraktil der t(3)-Verteilung ermitteln. Dieses lautet t = 3,1824.

  4. Schritt: Das arithmetische Mittel der Stichprobe ist $\overline x=\frac 1 3(10,5+10+10,3)\mathit{cm}\approx 10,27\mathit{cm}.$ Wir erhalten folgende Stichprobenstandardabweichung:
    $S=\sqrt{\frac 1{3-1}((10,5-10,27)^2+(10-10,27)^2+(10,3-10,27)^2)}.$ 
    $S=\sqrt{\frac 1{3-1}((0,23)^2+(-0,27)^2+(0,03)^2)}=\sqrt{(0,06335)}\approx 0,252.$

  5. Schritt: Wir erhalten für die halbe Breite des Konfidenzintervalls: $\frac{\mathit{St}}{\sqrt n}=\frac{0,252\ast 3,1824}{\sqrt 3}\approx 0,463.$

  6. Schriit: Somit ergibt sich folgendes Konfidenzintervall:

    [10,27-0,463;10,27+0,463]=[9,807;10,733].

Beispiel

Beispiel 2: 

Angenommen das Nettogewicht von 500 g-Cornflakes-Paketen ist normalverteilt. Eine einfache Stichprobe n = 25 ergibt: $\overline x=495[g]$ und s = 5 [g]. Es ist ein 95% Konfidenzintervall für den Erwartungswert gesucht.

  1. Schritt: $1 - \alpha = 95\text{%}$ nach Aufgabenstellung und somit $\alpha = 0,05$

  2. Schritt: $1-\frac{0,05} 2=0,975.$

  3. Schritt: Bestimmung des (0,975)-Fraktils t der t(25-1) -Verteilung: $t_{0,975}(24)=2,0639.$

  4. Schritt: Das arithmetische Mittel und s sind gegeben: $\overline x=495$ und s = 5.

  5. Schritt: Die halbe Breite des Konfidenzintervalls ist gegeben durch: $\frac{5\ast 2,0639}{\sqrt{25}}=2,0639.$

  6. Schritt: Es ist $\mathit{KI}=\text [495-2,0639;495+2,0639\text ]=\text [492,936;497,06\text ].

Beispiel

Beispiel 3: 

Die dritte Beispielaufgabe wird nun so abgeändert, dass die Standardabwichung $\sigma $ der Grundgesamtheit nicht bekannt ist. In diesem Fall führt uns das Baumschema zu Kochrezept Nr. 2. Wir befolgen dessen Schritte und erhalten:

  1. Schritt: $1-\alpha =\frac{95}{100}=0,95.$

  2. Schritt: $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,05} 2=0,975.$

  3. Schritt: Wir können nun das 0,975-Fraktil der t(5)-Verteilung nachschlagen.

    Wir lesen den Wert t=2,571 ab.

  4. Schritt: In Beispielaufgabe 3 wurde das arithmetisches Mittel berechnet. Es ergab sich der

    Wert: $\overline x=0,51.$ Wir erhalten für die Stichprobenstandardabweichung:
    $s=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum^6_?{(X_i - \overline{x})}}$=0,0089

  5. Schritt: Wir berechnen $\frac{\mathit{st}}{\sqrt n}.$ Es ergibt sich der wert: 0,0093.

  6. Schritt: Das Konfidenzintervall lautet nun:
    $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\mathit{st}}{\sqrt n};\overline x+\frac{\mathit{st}}{\sqrt n}\right]=[0,51-0,0093;0,51+0,0093]=[0,5007;0,5193].$

Beispiel zu Kochrezept 3

Ermitteln eines Konfidenzintervalls für $\mu$ bei poissonverteilter Grundgesamtheit und unbekannter Varianz. Hier werden wir Kochrezept 3 anwenden.

Beispiel

Die Grundgesamtheit sei poissonverteilt. Nach Ziehen einer Stichprobe vom Umfang n = 50 ergibt sich der Mittelwert: $\overline x=11.$ Nun geht es darum, ein Konfidenzintervall für eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% für den Erwartungswert $\mu$ zu berechnen.

Nach Aufgabenstellung suchen wir ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert, so dass uns, bei Beachtung des Baumschemas Kochrezept 3 weiterhilft.

  1. Schritt: Da $\alpha =1\text{\%}=\frac 1{100}$ ergibt sich: $1-\alpha =1-\frac 1{100}=\frac{99}{100}=99\text{\%}.$

  2. Schritt: $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,01} 2=0,995.$

  3. Schritt: Im 3. Schritt des Kochrezepts 3 ist eine Approximationsbedingung erwähnt, welche erfüllt sein muss. Diese ist hier erfüllt, da n > 30 nach Aufgabenstellung. Wir entnehmen der entsprechenden Fraktil-Tabelle, dass das (0,995)- Fraktil z der N(0,1) Verteilung gegeben ist durch: z = 2,58.

  4. Schritt: $\hat{\mu }=\overline x=11$ nach Aufgabenstellung.

  5. Schritt: Die halbe Breite des Konfidenzintervalls ist gegeben durch: $\frac{\sqrt{\hat{\mu }}z}{\sqrt n}=\frac{\sqrt{11}\ast 2,58}{\sqrt{50}}=1,21.$

  6. Schritt: Schließlich erhalten wir das Konfidfenzintervall für die vorliegende Stichprobe.
    $\mathit{KI}=[11-1,21;11+1,21]=[9,79;12,21].$

Beispiel zu Kochrezept 6

Ermitteln eines Konfidenzintervalls für $p$ bei dichotomer Grundgesamtheit. Hier werden wir Kochrezept 6 anwenden.

Beispiel

Hans Imglück hat während einer Feier 80 Lose erworben. Zu seinem Bedauern stellt er fest, dass 73 Nieten darunter sind. Nun geht es darum ein 95 % - Konfidenzintervall für den Anteil der Nieten zu bestimmen.

Das Wort „Anteil“ in der Aufgabenstellung verleitet uns auf eine dichotome Grundgesamtheit. Wir haben hier nur Gewinn oder Niete.
Wir schauen uns das Baumschema an und stellen fest, dass Kochrezept 6 uns hier voranbringt.

Wir arbeiten die Schritte ab.

  1. Schritt: Wir suchen ein 95% Konfidenzintervall. Somit ist das Konfidenzniveau: $1-\alpha =95\text{%}\Leftrightarrow \alpha =1-0,95=0,05=5\text{%}.$

  2. Schritt: Wir führen dann folgende Berechnung durch: $1-\frac{\alpha } 2=0,975.$

  3. Schritt: Nun bilden wir das arithmetische Mittel in der Stichprobe:
    $\overline x=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i=\frac 1{80}\ast 73=0,9125.$

  4. Schritt: Wir ermitteln in der Fraktil-Tabelle für die Standardnormalverteilung [N(0,1)] das (0,975) – Fraktil z. Wir sehen, dass z = 1,96. Nun müssen wir zwischen den beiden Fällen a) und b) unterscheiden. Da wir aus einer sehr großen Menge (Millionen von Losen) Stichprobenelemente (Lose) ziehen ohne Zurücklegen, stellen wir fest, dass die Grundgesamtheit binomial verteilt ist. Wir haben noch zu verifizieren, dass $n\overline x\geqslant 5$ und $n\overline x\leqslant n-5.$
    Da wir eine Stichprobe vom Umfang n=80 gezogen haben, erhalten wir folgende Ergebnisse.
    $n\overline x$ = 80*0,9125=73>5 und $n\overline x$ =73 <n-5=75.

  5. Schritt: Nun geht es darum, eine Schätzung der Standardabweichung der Zufallsvariablen $X_i$ zu ermitteln.Wir sind im Fall a), so dass $\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)}=\sqrt{0,9125(1-0,9125)}$ = 0,2826.

  6. Schritt: Wir bestimmenn die halbe Breite des Konfidenzintervalls, d.h. $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}=0,062.$

  7. Schritt: Schließlich erhalten wir das gesuchte Konfidenzintervall:
    $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n};\overline x+\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}\right]=[0,851;0,9744].$

Beispiele zu Kochrezept 7

Ermitteln eines Konfidenzintervalls für $\sigma^2$ bei normalverteilter Grundgesamtheit. Hier hilft uns jeweils Lambert-Kochrezept 7 weiter.

Beispiel

Beispiel 1: 

Eine Maschine schneidet ein Papierband in ca. 24 Zentimeter lange Stücke. Die Streuung der Länge wird ermittelt, indem bei 24 zufällig ausgewählten Stücken die Länge nachgemessen wird. Es ergibt sich $s^2=0,88[\mathit{cm}]^2$. Nun soll das Konfidenzintervall für $\sigma ^2$ zu einem Konfidenzniveau von 99% ermittelt werden.

  1. Schritt: Gegeben ist das Konfidenzniveau $1-\alpha =99\text{\%},$ so dass $\alpha =0,01.$

  2. Schritt: Da μ unbekannt ist befinden wir uns in Fall a).

  3. Schritt: Aus Übersichtsgründen wird gesetzt: $c_2=c^2,c_1=c^1.$ Das $\left(\frac{0,01} 2\right)=0,005$ -Fraktil $c^1$ und $\left(1-\frac{0,01} 2\right)=0,995$ -Fraktil $c^2$ der $\chi ^2(24-1)$ sind gegeben durch: $c^1_{0,005}=9,26$ und  $c^2_{0,995}=44,181.$

  4. Schritt: Es ist: $(24-1)\ast s^2=23\ast 0,88=20,24.$

  5. Schritt: $\mathit{KI}=\left[\frac{20,24}{44,181};\frac{20,24}{9,26}\right]=[0,458;2,186].$

Beispiel

Beispiel 2: 

Schauen wir uns die Kalorienzahl von Sahnetorten an, so stellen wir fest, dass diese normalverteilt ist. Es wird eine Stichprobe von n = 11 Torten genommen. Je 200 g ergeben sich folgende Werte: 1020 ; 900; 1010; 1000; 990; 1090; 1000; 1020; 1030; 960; 1040. Gesucht ist ein Konfidenzintervall für die Varianz der Grundgesamtheit. Es ist bekannt, dass $\alpha = 0,01$.

Wir folgen dem „Baumschema“ und stellen fest, dass Kochrezept 7 uns weiterhilft.

  1. Schritt: Da $\alpha = 0,01$ ergibt sich für das Konfidenzniveau: $1 - \alpha = 0,99$.

  2. Schritt: Aufgrund der Aufgabenstellung ist $\mu$ unbekannt, so dass wir uns in Fall a) befinden.

  3. Schritt: Nun haben wir das (0,005)-Fraktil $c_1$ und das (0,995)-Fraktil $c_2$

    der $\chi ^2(11-1)=\chi ^2(10)$ -Verteilung zu bestimmen. Wir entnehmen der entsprechenden Tabelle $c_1=2,16$ und $c_2=25,19.$

  4. Schritt: In diesem Schritt haben wir $(n-1)s^2$ zu bestimmen.

    Hierzu fertigen wir uns folgende Tabelle an:

Gem. Werte je 200g  $x_i$

$\overline x$

$x_i-\overline x$

$(x_i-\overline x)^2$

1.020

1.005,45

14,55

211,7

900

1.005,45

-105,45

11.119,7

1.010

1.005,45

4,55

20,7

1.000

1.005,45

-5,45

29,7

990

1.005,45

-15,45

238,7

1.090

1.005,45

84,55

7.148,7

1.000

1.005,45

-5,45

29,7

1.020

1.005,45

14,55

211,7

1.030

1.005,45

24,55

602,7

960

1.005,45

-45,45

2.065,7

1.040

1.005,45

34,55

1.193,7

$10\ast s^2=\sum _{i=1}^{11}(x_i-\overline x)^2$

22.872,7

5. Schritt: Wir erhalten als Konfidenzintervall für die Varianz der Stichprobe:
 $\mathit{KI}=\left[\frac{22872,7}{25,19};\frac{22872,7}{2,16}\right]=[908;10589,2].$