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Stichprobentheorie - Funktionsweise eines Tests am Beispiel des Einstichproben-Gaußtests

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Stichprobentheorie

Funktionsweise eines Tests am Beispiel des Einstichproben-Gaußtests

Ein besseres Verständnis von Signifikanztests erhalten wir, inden wir uns genauer mit dem wahrscheinlichkeitstheoretischen Hintergrund der beiden Fehlerarten auseinandersetzen.

Wir betrachten eine normalverteilte Grundgesamtheit mit bekannter Standardabweichung.

Es wird der Einstichproben -Gaußtest betrachtet zum Signifikanznivaeu $\alpha$.

$H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu

Es stellt sich die Frage, ob es dafür spricht, dass die Hypothese $H_0$ nicht richtig ist.

Für die weiteren Untersuchungen ist die Verteilung des arithmetischen Mittels $\overline x$ wichtig.

Die Verteilung des arithmetischen Mittels ist normalverteilt, da die Grundgesamtheit normalverteilt ist. Dies gilt wegen der Reproduktionseigenschaft der Normalverteilung.

Also ist $\overline x\text{~}N(\mu _{\overline x},\sigma _{\overline x}).$ Der Erwartungswert des arithmetischen Mittels ist unbekannt.

Wäre dies nicht so, so dürfte der Test nicht durchgeführt werden, da der Erwartungswert des arithmetischen Mittels mit dem der Grundgesamtheit übereinstimmt.

Nun geht es darum $\sigma _{\overline x}$ zu bestimmen.

Es ist $\sigma _{\overline x}=\sqrt{\sigma _{\overline x}^2}=\sqrt{\mathit{VAR}(\overline X)}=\sqrt{\mathit{VAR}\left(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i\right)}=\sqrt{\frac 1{n^2}\sum _{i=1}^n\mathit{VAR}(X_i)}=\sqrt{\frac 1{n^2}\sum _{i=1}^n\sigma ^2}=\sqrt{\frac 1{n^2}n\sigma ^2}=\frac{\sigma }{\sqrt n}.$

Dieser Zusammenhang wird auch "Wurzel n-Gesetz" genannt.

Für die Verteilung ergibt sich: $\overline x\text{~}N(\mu ;\frac{\sigma }{\sqrt n}),$ wobei $\mu $ unbekannt ist.

Noch offen ist die Frage, wann $H_0$ verworfen werden soll. Dies tritt genau dann ein, wenn $\overline x$ der Hypothese $H_0$ deutlich widerspricht. Die oben gewählte Hypothesenwahl sagt aus, dass dies geschieht, wenn ein sehr kleiner Wert für $\overline x$ eintritt.

Abb. 6: Dichtefunktion des arithmetischen Mittels
Abb. 6: Dichtefunktion des arithmetischen Mittels

Hier ist der kritische Wert das Alphafraktil der obigen Normalverteilung.

Ist das arithmetische Mittel $\overline x$ der Stichprobe kleiner als der kritische Wert, so fällt die Entscheidung, dass $H_0$ widerlegt ist.

Unter der Annahme, dass $H_0$ wahr ist wird $\overline x$ standardisiert, d.h. $\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma _{\overline x}}=\frac{\overline x-\mu _0}{\frac{\sigma }{\sqrt n}}=\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n.$

Dies entspricht genau der Testfunktion.

Die Überlegungen aus der obigen Abbildung lassen sich auf den Testfunktionswert übertragen.

Abb. 7: Dichtefunktion der Testfunktion v
Abb. 7: Dichtefunktion der Testfunktion v

Es ist zu berücksichtigen, dass die Testfunktion auf der Annahme basiert , dass $H_0$ wahr ist und dass auch der kritische Wert standardisiert werden muss. Falls $H_0$ wahr ist, hat v folgende Verteilung: $\text v\text{~}N(0;1).$

Im Falle, dass v einer signifikanten Abweichung von null nach unten unterliegt, so spricht dies für die Richtigkeit von $H_1$. Dann ergibt sich folgender Verwerfungsbereich $B=(-\infty ;z_{\alpha }).$ Auch hier ist z das Alphafraktil der Standardnormalverteilung. Allerdings sind in den meisten Fällen nur Werte für $\alpha \geqslant 50\text{%}$ angegeben. Aufgrund der Symmetrieeigenschaften der Standardnormalverteilung gilt: $B=(-\infty ;z_{\alpha })=(-\infty ;-z_{1-\alpha }).$ Im Falle, dass v im Verwerfungsbereich liegt wird $H_0$ verworfen.

Deswegen, weil v unter der Annahme der Richtigkeit von $H_0$ ermittelt wurde, wird im Falle des Verwerfens in 100 mal $\alpha$ Prozent aller Fälle ein Fehler erster Art begangen.

Es könnte zum Beispiel folgender Fall eintreten: $H_0$ sei falsch und $H_1$ sei wahr. Dies hätte zur Folge, dass v nicht standardnormalverteilt wäre. Die Normalverteilungseigenschasft wäre erhalten, jedoch ergibt sich für die Testfunktion ein von 0 verschiedener Erwartungswert. Dies heißt konkret:

$E(\text v)=E\left(\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n\right)=\frac{\sqrt n}{\sigma }E(\overline x-\mu _0)=\frac{\sqrt n}{\sigma }E(\mu -\mu _0)

Nun ist ersichtlich, dass der Erwartungswert der Testfunktion kleiner als null ist.

Die Standardabweichung in der Grundgesamtheit haben wir als bekannt vorausgesetzt, so dass sich diese natürlich nicht ändert und somit gleich groß bleibt.

Es ist $v\text{{\textbar}}H_0\text{\~{}}N(0;1),$ und $v\text{{\textbar}}H_1\text{\~{}}N(\frac{\sqrt n}{\sigma }(\mu -\mu _0);1),$ wobei $\frac{\sqrt n}{\sigma }(\mu -\mu _0)

Da wir vorausgesetzt haben, dass $H_0$ falsch ist, müßte der Test $H_1$ verwerfen. Nur so käme man zum richtigen Ergebnis. Es folgt eine Abbildung zum Einstichproben – Gaußtest:

Abb. 8: Alpha- und Betafehler bei einem Einstichproben Gaußtest
Abb. 8: Alpha- und Betafehler bei einem Einstichproben Gaußtest

Anhand der Abbildung sehen wir, dass dies nicht immer der Fall ist. In 100 mal $\beta$ Prozent aller Fälle kommt es zu einem Fehler zweiter Art.

Beispiel

Beispiel

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Aufgrund von Problemen in der Produktion schafft sich die Firma Blechmann GmbH & Co KG eine neue Schneidemaschine an. Selbstverständlich soll sofort überprüft werden, ob sich die Investition gelohnt hat. Diesbezüglich werden fünf Bleche zugeschnitten. Dabei wurden folgende Werte in mm gemessen, bei einer Schneideeinstellung von 160 mm: 160; 161; 162; 166; 161.

a) Zeigen Sie anhand eines Einstichrobengauß – Tests bei bekannter Standardabweichung von $\sigma = 2$, dass die durchschnittliche Schneidelänge größer als 160 mm ist. Das Signifikanzniveau beträgt $\alpha =5\text{%}.$
b) Wie groß ist der Betafehler, wenn bekannt wäre, dass $\mu = 163cm$.

Lösung Aufgabenteil a

  1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen
    Diese sind erfüllt.

  2. Schritt: Hypothesenwahl
    c)  $H_0:\mu \leqslant 160$ gegen $H_1:\mu >160.$

  3. Schritt: Signifikanzniveau
    $\alpha = 5%$

  4. Schritt: Testfunktionswert
    $\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n=\frac{162-160} 2\sqrt 5=2,236.$

  5. Schritt: Verwerfungsbereich

    Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl gewählt, d.h. $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ),$ wobei z das 95 % Fraktil \ der N(0;1) Verteilung ist.

    Also $B=\text (1,6449;\infty \text ).$

  6. Schritt: Testentscheidung

    $H_0$ wird verworfen, da $\text v\in \mathit{B.}$

Interpretation 

Auf einem Signifikanzniveau von 5% kann gezeigt werden, dass der Erwartungswert größer als 16 cm ist.

Lösung Aufgabenteil b

Für den Betafehler ergibt sich: $v\vee H_1\text{\~{}}N\left(\frac{\sqrt 5} 2(163-160);1\right)=N(3,3541;1)$
Es ist nach $W\left(v\text{{\textbar}}H_1Im Falle, dass $\mu =163\text{mm}$beträgt der Betafehler ca. 4,36 % bei obiger Hypothesenwahl. In Worte zusammengefasst heißt dies, dass in 4,36 % aller Fälle $H_0$ nicht verworfen wird, obwohl $H_1$ richtig ist.

Klausurhilfe

Um Fehler in der Statistikklausur zu vermeiden folgen einige absichtlich falsch gelöste Aufgaben.

Aufgabe 1

Es sei gegeben, dass VAR(X) = 100 und VAR(Y) = 6.
Behauptung: Die Varianz von X+Y beträgt: VAR(X)+VAR(Y) = 10 +6 = 16.

Vertiefung

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Berichtigung:

Im Falle der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen wäre die Lösung richtig. Dies ist allerdings nicht erwähnt, so dass die Aufgabe so unlösbar ist.

Aufgabe 2

Es ist VAR(X) = 10. Gesucht ist die Varianz von Y = 10X.
Behauptung: VAR(Y) = VAR(10X) = 10*VAR(X) = 100.

Vertiefung

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Berichtigung:

Hier wurde eine falsche Rechenregel angewendet.

Die Varianzrechenregeln ergeben: VAR(Y) = VAR(10X) =$10^2$*VAR(X) = 100 VAR(X) = 100*10=1000.

Aufgabe 3 

In einer einfachen Stichprobe sind von 20 Personen ein Fünftel gut gelaunt. Gesucht ist ein Konfidenzintervall für den Anteil der schlecht gelaunten Personen $\alpha = 0,01$.
Behauptung: $z_{0,995}=2,58$ und KI=[0,57;1,03].

Vertiefung

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Behauptung:

Die Approximationsbedingungen für die Normalverteilung sind nicht erfüllt.

Dies hat zur Folge, dass das Konfidenzintervall sich nicht auf dem herkömmlichen Wege bestimmen läßt.

Aufgabe 4

Eine Stichprobe einer normalverteilten Grundgesamtheit von fünf statistischen Einheiten ergibt das arithmetische Mittel 80 und die Standardabweichung fünf. Kann gezeigt werden, dass der Erwartungswert der Grundgesamtheit kleiner als 89 ist ?
Behauptung: Einstichproben – Gaußtest. Anwendungsvoraussetzungen sind erfüllt.

Deswegen, weil das Signifikanzniveau nicht gegeben ist, kann ich es in diesem Fall frei wählen. Ich wähle einen üblichen Wert: $\alpha = 0,01$.

c) $H_0:\mu \leqslant 89$ gegen $H_1:\mu >89$

$\text v=\frac{80-89} 5\sqrt 5=-4,024.$
$B=\text (2,33;\infty \text ).$
$H_0$ wird nicht verworfen, da $\text v\notin \mathit{B.}$ Deswegen ist $H_0$ richtig.

Vertiefung

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Behauptung:

1. Bei dieser Aufgabe ist richtig erkannt worden, dass die Grundgesamtheit normalverteilt ist und dass der Parameter $\mu$ getestet werden soll. Es wurde nicht erkannt, dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt ist. Es ist die Standardabweichung mit der Streuung verwechselt worden. Letztere ist bekannt, so dass hier der Einstichproben-t-Test (Test 3.2.2) durchzuführen ist.

Falsche Hypothesenwahl. Folgende Wahl ist richtig

b) $H_0:\mu \geqslant 89$ gegen $H_1:\mu

Dies deswegen, weil das was zu zeigen ist als Alternativhypothese verwendet wird.

3. Durchgeführte Interpretation nicht zulässig. Bei richtiger Hypothesenwahl wäre $H_0$ verworfen worden.

Die getätigte Interpretation zeigt letztendlich, dass der Klausurteilnehmer die Testtheorie nicht richtig verstanden hat.

Merke

Merke

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Im Falle, dass $H_0$ nicht verworfen wird, so heißt dies noch lange nicht, dass $H_0$ richtig ist. Es besteht immer noch die Möglichkeit des Betafehlers. Dessen Wahrscheinlichkeit ist unbekannt.