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Stichprobentheorie - Funktionsweise eines Tests am Beispiel des Einstichproben-Gaußtests

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Stichprobentheorie

Funktionsweise eines Tests am Beispiel des Einstichproben-Gaußtests

In diesem Teil werden wir uns ausführlicher mit dem wahrscheinlichkeitstheoretischen Hintergrund in Bezug auf die Fehlerarten beschäftigen, um den Signifikationstest besser zu verstehen. Dazu schauen wir uns eine normalverteilte Grundgesamtheit mit bekannter Standardabweichung an.
Betrachtet wird hier der Einstichproben -Gaußtest zum Signifikanznivaeu $\alpha$.

$H_0:\mu \geqslant \mu _0$ gegen $H_1:\mu$

Demnach kann sich die Frage gestellt werden, ob das zufolge hat, dass die Hypothese $H_0$ nicht wahr ist.

Das arithmetische Mittel $\overline x$ ist für das weitere Vorgehen notwendig. Zudem handelt es sich um eine normalverteilte Grundgesamtheit auf Grund der Reproduktionseigenschaft.

Demnach ist $\overline x\text{~}N(\mu _{\overline x},\sigma _{\overline x}).$ 

Wir kennen den Erwartungswert des arithmetischen Mittels nicht. Falls das nicht der Fall wäre, wäre der Test nicht durchführbar, weil der Erwartungswert des arithmetischen Mittels dem Wert der Grundgesamtheit gleichermaßen entspricht.

Folglich muss $\sigma _{\overline x}$ bestimmt werden.

Somit ist $\sigma _{\overline x}=\sqrt{\sigma _{\overline x}^2}=\sqrt{\mathit{VAR}(\overline X)}=\sqrt{\mathit{VAR}\left(\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i\right)}=\sqrt{\frac 1{n^2}\sum _{i=1}^n\mathit{VAR}(X_i)}=\sqrt{\frac 1{n^2}\sum _{i=1}^n\sigma ^2}=\sqrt{\frac 1{n^2}n\sigma ^2}=\frac{\sigma }{\sqrt n}.$

Bei dem Zusammenhang spricht man auch von dem "Wurzel n-Gesetz“.

Es ergibt sich: $\overline x\text{~}N(\mu ;\frac{\sigma }{\sqrt n})$ für die Verteilung, wenngleich $\mu $ nicht bekannt ist.

Unbeantwortet bleibt jedoch die Frage, wann es soweit ist $H_0$ zu verwerfen. Das passiert im Falle dessen, wenn $\overline x$ der Hypothese $H_0$ eindeutig widerspricht. Die Wahl der Hypothese liefert eine Antwort darauf, und sagt aus, dass diese zu verwerfen ist, wenn ein sehr geringer Wert für $\overline x$ eingesetzt wird.

 

Abb. 6: Dichtefunktion des arithmetischen Mittels
Abb. 6: Dichtefunktion des arithmetischen Mittels

 

In der oben abgebildeten Normalverteilung, ist der kritische Wert des Alphafrakils zu sehen.

Es wird ersichtlich, dass das arithmetische Mittel $\overline x$ der Stichprobe kleiner ist als der kritische Wert, wodurch $H_0$ automatisch widerlegt wird.

Wenn angenommen wird, dass $H_0$ der Wahrheit entspricht, dann wird $\overline x$ standardisiert, was so viel heißt wie: $\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma _{\overline x}}=\frac{\overline x-\mu _0}{\frac{\sigma }{\sqrt n}}=\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n.$

Somit ist dies mit der Testfunktion deckungsgleich.

Fortlaufend lassen sich die Überlegungen zur oberen Graphik auf den Testfunktionswert anwenden:

Abb. 7: Dichtefunktion der Testfunktion v
Abb. 7: Dichtefunktion der Testfunktion v

Zu beachten ist, dass vermutet wird, dass $H_0$ der Wahrheit entspricht und demnach auch der kritische Wert zu standardisieren ist. Denn wenn $H_0$ entspricht, bedeutet es, dass v eine Verteilung von: $\text v\text{~}N(0;1).$ hat.

Wenn es nun so ist, dass v eine signifikante Abweichung von null nach unten aufweist, dann kann davon ausgegangen werden, dass $H_1$ richtig ist.
Daraus resultiert dann der Verwerfungsbereich $B=(-\infty ;z_{\alpha }).$

Das Alphafraktil der Standardnormalverteilung ist z. Meist sind hierbei lediglich Werte für $\alpha \geqslant 50\text{%}$ zu entnehmen. Es gilt $B=(-\infty ;z_{\alpha })=(-\infty ;-z_{1-\alpha })$
wegen der Symmetrieeigenschaften der Standardnormalverteilung. Falls v im Verwerfungsbereich liegt, dann kommt es zu einer Verwerfung von $H_0$

Da v unter der Annahme ermittelt wurde, dass $H_0$ richtig ist, kann bei einer Verwerfung in 100 mal $\alpha$ Prozent davon ausgegangen werden, dass es sich um einen Fehler erster Art handelt.

Demnach wäre möglich, dass man zu der Entscheidung käme, dass $H_0$ falsch ist und $H_1$ richtig. Das würde allerdings bedeuten, dass v nicht standardnormalverteilt wäre, wenngleich die Normalverteilungseigenschaft erhalten sind. Für die Testfunktion heißt das allerdings ein von 0 verschiedener Erwartungswert, was so viel bedeutet wie:

$E(\text v)=E\left(\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n\right)=\frac{\sqrt n}{\sigma }E(\overline x-\mu _0)=\frac{\sqrt n}{\sigma }E(\mu -\mu _0)$

Es wird deutlich, dass der Erwartungswert der Testfunktion kleiner als null ist.

Es wurde davon ausgegangen, dass die Standardabweichung in der Grundgesamtheit bekannt ist, was gleichzeitig heißt, dass sich diese nicht verändert sondern gleich groß bleibt.

Somit ist $v\text{{\textbar}}H_0\text{\~{}}N(0;1),$ und $v\text{{\textbar}}H_1\text{\~{}}N(\frac{\sqrt n}{\sigma }(\mu -\mu _0);1),$ wenngleich $\frac{\sqrt n}{\sigma }(\mu -\mu _0)$

Da wir vorausgesetzt haben, dass $H_0$ falsch ist, müsste der Test $H_1$ verwerfen. Nur so käme man zum richtigen Ergebnis. Es folgt eine Abbildung zum Einstichproben – Gaußtest:

Wenn dabei davon ausgegangen wird, dass $H_0$ nicht wahr ist, wäre die Folge, dass der Test $H_1$  zugunsten des richtigen Ergebnisses verworfen wird.

Die folgende Abbildung zeigt den Einstichproben – Gaußtest:

Abb. 8: Alpha- und Betafehler bei einem Einstichproben Gaußtest
Abb. 8: Alpha- und Betafehler bei einem Einstichproben Gaußtest

Anhand der Abbildung sehen wir, dass dies nicht immer der Fall ist. In 100 mal $\beta$ Prozent aller Fälle kommt es zu einem Fehler zweiter Art.

 

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Die Firma Neuser GmbH steht vor der Aufgabe, neue Schneidemaschinen zu besorgen, da sich die alten im Laufe der Zeit abgenutzt haben. Dabei soll herausgefunden werden, ob sich die neue Anschaffung gelohnt hat. Um das zu überprüfen, wurden fünf Bleche hinzugezogen und durchgeschnitten. Dabei konnten die folgenden Werte bei einer Schneideeinstellung von 160 mm vernommen werden:


160 mm
161 mm
162 mm
166 mm
161 mm

Aufgaben:
a. Beweisen Sie mittels des Einstichrobengauß – Tests bei einer bekannten Standardabweichung von $\sigma = 2$, dass die Schneidelänge bei dem Signifikanzniveau $\alpha =5\text{%}$ im Durchschnitt mehr als 160 mm beträgt.
 
b. Welche Größe umfasst der Betafehler, falls $\mu = 163cm$ bekannt ist?

Lösung zur Aufgabe a

  1. Anwendungsvoraussetzungen
    Die Anwendungsvoraussetzungen sind gegeben.

  2. Wahl der Hypothese
    c)  $H_0:\mu \leqslant 160$ gegen $H_1:\mu >160.$

  3. Signifikanzniveau
    $\alpha = 5%$

  4. Testfunktionswert
    $\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n=\frac{162-160} 2\sqrt 5=2,236.$

  5. Verwerfungsbereich
    Hinsichtlich der Wahl der Hypothese ist der Verwerfungsbereich zu wählen, d.h. $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ),$ bei dem das 95 % Fraktil \ der N(0;1) Verteilung z ist.
    Demnach ist $B=\text (1,6449;\infty \text ).$

  6. Testentscheidung
    Weil $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen.

  7. Deutung
    Der Erwartungswert ist größer als 16 cm, wenn das Signifikanzniveau 5 % beträgt. 

Lösung zur Aufgabe b

Hinsichtlich der Größe des Betafehlers kommt folgendes heraus: $v\vee H_1\text{\~{}}N\left(\frac{\sqrt 5} 2(163-160);1\right)=N(3,3541;1)$
aufgrund von $W\left(v\text{{\textbar}}H_1\right)$.
Wenn $\mu =163\text{mm}$ Anlehnend an die Wahl der Hypothese, handelt es sich um einen Betafehler von ca. 4,36 %.
Das bedeutet, dass, obwohl $H_1$ richtig ist, $H_0$  in 4,36 % der Fällen nicht verworfen wird.

 

Beispielaufgaben zur Klausurvorbereitung

 Zugunsten der Fehlervermeidung in der Statistikklausur, wurden die folgenden Aufgaben falsch gelöst.

 

1. Aufgabe

Ausgehen davon, dass VAR(Y) = 100 und VAR(Z) = 6 , besteht die Annahme, dass die Varianz von Y+Z folgendes beträgt: VAR(Y)+VAR(Z) = 10 +6 = 16.

Vertiefung

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Korrektur:

Wenn die Zufallsvariablen eine Unabhängigkeit aufweisen würde, dann wäre die Lösung korrekt. Da dieser Fakt jedoch unerwähnt bleibt, ist die Aufgabe nicht zu lösen.

2. Aufgabe

VAR(Y) = 10. Zu finden ist die Varianz von Z = 10Y.
Demnach ist davon auszugehen, dass: VAR(Z) = VAR(10Y) = 10*VAR(Y) = 100.

Vertiefung

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Korrektur:

Dabei wurde eine falsche Rechenregel angewandt.

Bei der Varianzrechenregel kommt heraus: VAR(Y) = VAR(10X) =$10^2$*VAR(X) = 100 VAR(X) = 100*10=1000.

3. Aufgabe

Laut den Ergebnissen einer einfachen Stichprobe sind von 20 Personen ein fünftel gestresst. Gesucht ist ein Konfidenzintervall für den Anteil der nicht gestressten Personen $\alpha = 0,01$.
Behauptung: $z_{0,995}=2,58$ und KI=[0,57;1,03].

Vertiefung

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Annahme:

Die Approximationsbedingungen der Normalverteilung sind nicht gegeben. Somit führt das dazu, dass der Konfidenzintervall auf keinem klassischen Weg bestimmbar ist.

4. Aufgabe

Bei einer Stichprobe mit einer normalverteilten Grundgesamtheit von fünf statistischen Einheiten, kommt für das arithmetische Mittel 80 und für die Standardabweichung fünf heraus.
Frage: Ist es möglich aufzuzeigen, dass der Erwartungswert der Grundgesamtheit unter 89 liegt?

Annahme: Die Anwendungsvoraussetzungen für den Einstichproben-Gaußtest sind erfüllt.

Da das Signifikanzniveau nicht bekannt ist, ist dieses frei wählbar. Damit wird hier ein gängiger Wert von $\alpha = 0,01$ gewählt.

c) $H_0:\mu \leqslant 89$ gegen $H_1:\mu >89$

$\text v=\frac{80-89} 5\sqrt 5=-4,024.$
$B=\text (2,33;\infty \text ).$

Weil $\text v\notin \mathit{B.}$  ist es $H_0$. Somit wird $H_0$ nicht verworfen.

Vertiefung

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Annahme:

1. Es wurde hierbei richtig erkannt, dass es sich um eine normalverteilte Grundgesamtheit handelt und es somit zur einer Testung des Parameters $\mu$ kommen muss. Unberücksichtigt bliebt jedoch die Tatsache, dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht bekannt ist. Somit wurde deutlich, dass die Standardabweichung und die Streuung miteinander verwechselt wurden.
Da die Streuung gegeben ist, kommt der Einstichproben-t-Test (Test 3.2.2) zum Einsatz.
Die Wahl der Hypothese ist falsch.

Berichtigung

b) $H_0:\mu \geqslant 89$ gegen $H_1:\mu

.. aufgrund dessen, da das, was zu zeigen ist, als Alternativhypothese verwendet wird.

3. Raum für Interpretationen ist hier nicht gewünscht, wenn die Wahl der Hypothese $H_0$ bestimmt hätte, so sei $H_0$ zu verwerfen.

Die Deutung macht ersichtlich, dass die Testtheorie nicht vollends von dem Klausurteilnehmenden verstanden wurde.

Merke

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Nur weil es zu keiner Verwerfung von $H_0$ kommt, bedeutet es nicht, dass $H_0$ richtig ist, da es sich ebenfalls um einen Betafehler handeln könnte. Wie hoch die Wahrscheinlich dafür liegt, ist nicht gewiss.