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Stichprobentheorie - Testtheorie

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Es kommt in der schließenden Statistik häufig vor, dass mittels einer Stichprobe zu entscheiden ist, ob eine Hypothese in Bezug auf die jeweilige Grundgesamtheit wirklichkeitsgetreu ist oder nicht.

Vorgehen in der Testtheorie

Video: Testtheorie

 

Einführung in die Signifikanztests

Beispiel

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Ein Lehrer stellt die folgende Hypothese auf: Die SchülerInnen einer Schule wiegen im Durchschnitt 58 kg.
Nachdem 40 SchülerInnen zufällig ausgewählt wurden, konnte ein mittleres Gewicht von 67 kg festgestellt werden. Dabei empfiehlt es sich nun, ein statistisches Testverfahren einzusetzen. Damit soll gezeigt werden, ob es möglich ist, dass der Lehrer mit seiner Behauptung von $\mu = 58 kg$ falsch lag.

Tests solcher Art laufen in mehreren Schritten ab. In dem folgenden Schema werden die notwendigen Schritte zusammengefasst:

Schema

Methode

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  1. Ein Testverfahren wird ausgewählt.

  2. Die Hypothese $H_0$ und die Alternativhypothese $H-1$ sind aufzustellen.

  3. Auswahl des Signifikanzniveaus $\alpha$ .

  4. Bestimmung des Testfunktionswerts.

  5. Festlegung des Verwerfungsbereichs.

  6. Wenn sich der Testfunktionswert im Verwerfungsbereich befindet, wird $H_0$ verworfen.

 

Hinweis

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Da der erste Schritt häufig am schwierigsten ist, hilft die folgende Übersicht dabei, eine korrekte Entscheidung zu treffen. Die genannten Schemata und einzelnen Schemas werden im späteren Verlauf vorgestellt.  Die Schemata helfen dabei, das richtige Schema zu wählen.

Verbundene Stichproben

Abb. 2: Arten von Stichproben
Abb. 2: Arten von Stichproben

Was hat es mit den verbundenen Stichproben auf sich? 

Merke

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Von einer verbundenen Stichproben ist dann die Rede, wenn innerhalb einer statistischen Teilgesamtheit mehrere Merkmale unter den Merkmalsträgern analysiert werden.

Beispiele

Beispiel

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1. Beispiel: 

Eine einfache Stichprobe liegt dann vor, wenn 100 Fußgänger dazu befragt werden, ob sie ein eigenes Auto besitzen. Gegeben ist hierbei eine Unabhängigkeit innerhalb der einzelnen Ziehungen.

Beispiel

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2. Beispiel:

Eine Woche später findet eine erneute Befragung in der Goethestraße statt. Dabei werden auch wieder 100 Fußgänger befragt, ob sie über ein eigenes Auto verfügen.
Einen Monat später werden in einer anliegenden Stadt auf der Marktstraße 40 Personen nach ihrer beruflichen Tätigkeit gefragt. Wenn die Tatsache, dass eine gewisse Anzahl an Fußgängern über kein eigenes Auto verfügt, nicht mit der beruflichen Tätigkeit der 40 Personen in der Nachbarstadt in Verbindung steht, handelt es sich um zwei unabhängige Stichproben.

Beispiel

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3. Beispiel:

 

Wenn jedoch 100 Fußgänger in der Goethestraße danach befragt werden, ob sie ein eigenes Auto besitzen und was ihre beruflichen Tätigkeiten sind, dann handelt es sich um eine verbundene Stichprobe.

Beispiel

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4. Beispiel:

Hat jedoch die berufliche Tätigkeit der Fußgänger keinen Einfluss darauf, dass diese kein oder ein eigenes Auto haben, so sprechen wir von zwei verbundenen und unabhängigen Stichproben.

Beispiel

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5. Beispiel:

Die vorliegende Tabelle gibt Auskunft in Bezug auf die verschiedenen Körpergrößen $x_{1,1},…,x_{1,12}$ , welche sich auf eine genaue Stichprobe der Körpergröße von 12 Vätern $x_{2,1},…,x_{2,12}$ und deren jüngste Söhne bezieht. Wenn beide (Vater und Sohn) aus verschiedenen Familien kommen, kann angenommen werden, dass sich die Körpergrößen von Vater und Sohn zueinander unterscheiden und unabhängig sind.

  

/cm

166

164

166

165

169

167

190

185

178

198

200

/cm

165

164

165

166

170

168

191

186

179

199

199

Anhand der Tabelle wird deutlich, dass ein Zusammenhang zwischen den Körpergrößen der Väter $x_{1,1},…,x_{1,12}$ und die der jüngsten Söhne zu vermuten ist und gleichermaßen bemerkbar wird.

Das Beispiel zeigt auf, dass nicht anzunehmen ist, dass $x_{1,1},...,x_{1,12}$ und $x_{2,1},...,x_{2,12}$ Realisierungen zweier unabhängigen Zufallsvariablen $x_{1,1},...,x_{1,12}$ bzw. $x_{2,1},…,x_{2,12}$ sind.
Dabei ist es so, dass es sich bei $x_{1,1},...,x_{1,12}$ und $x_{2,1},...,x_{2,12}$ um zwei verbundene Stichproben handelt.  

Abb. 3: Einfache Stichproben
Abb. 3: Einfache Stichproben
Abb. 4: Unabhängige Stichproben
Abb. 4: Unabhängige Stichproben
Abb. 5: Verbundene Stichproben
Abb. 5: Verbundene Stichproben

Auf den nächsten Seiten des Kurses werden Tests dazu vorgestellt.