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Stichprobentheorie - Testtheorie

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Stichprobentheorie

Testtheorie

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Video: Testtheorie

In der schließenden Statistik kommt es oft vor, dass anhand einer Stichprobe entschieden werden soll, ob eine Hypothese - bezüglich einer Grundgesamtheit - realistisch ist oder nicht.

Vorgehen in der Testtheorie

Video: Testtheorie

Einführung in Signifikanztests

Beispiel

Beispiel

In einer Schule stellt die Direktorin folgende Behauptung (Hypothese) auf: Die Schüler wiegen im Durchschnitt 58 kg. Es werden zufällig 40 Schüler ausgewählt. Man stellt fest, dass bei ihnen das mittlere Gewicht 67 kg beträgt. Nun ist es sehr empfehlenswert, ein statistisches Testverfahren durchzuführen. Dieses kann entscheiden, ob es wahrscheinlich ist, dass die Direktorin sich mit ihrer Hypothese $\mu = 58 kg$ geirrt hat.  

Zunächst sei erwähnt, dass ein solcher Test in mehreren Schritten abläuft.

Das Lambert-Kochrezept faßt alle wesentlichen Schritte zusammen.

Lambert-Kochrezept

Methode

  1. Auswahl des Testverfahrens

  2. Formulierung der Hypothese $H_0$ und der Alternativhypothese $H-1$

  3. Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird ausgewählt

  4. Testfunktionswert wird bestimmt

  5. Ein Verwerfungsbereich wird ausgemacht

  6. Im Falle, dass der Testfunktionswert im Verwerfungsbereich liegt, so wird $H_0$ verworfen

Beachte

Merke

Am meisten Schwierigkeiten bereitet der erste Schritt. Folgende Übersicht hilft uns, die richtige Entscheidung zu treffen. Die erwähnten Schemata stellen wir im Anschluß vor. Anhand der Schemata können wir das entsprechende Kochrezept wählen. Auch die Kochrezepte folgen im Anschluß.

Verbundene Stichproben

Abb. 2: Arten von Stichproben
Abb. 2: Arten von Stichproben

Es ist noch abzuklären, was verbundene Stichproben sind.

Merke

Merke

Verbundene Stichproben: Werden bei einer statistischen Teilgesamtheit bei den Merkmalsträgernmehrere Merkmale untersucht, so reden wir von einer verbundenen Stichprobe.

Beispiele

Beispiel

Beispiel 1: 

Befragen wir auf einer Straße 100 Passanten, ob sie rauchen, so liegt bei Unabhängigkeit der einzelnen Ziehungen untereinander eine einfache Stichprobe vor

Beispiel

Beispiel 2:

An einem Tag gehen wir wieder auf die Brechtstrasse und fragen 100 Passanten, ob sie rauchen. Zwei Wochen später befragen wir auf der Kasernenstrasse in der Nachbarstadt 40 Einwohner nach ihren Hobbies. Im Falle, dass das Rauchverhalten der Passanten keine Einwirkung auf die Hobbies der 40 Einwohner hat, liegen zwei unabhängige Stichproben vor.

Beispiel

Beispiel 3:

Liegt nun der Fall vor, dass wir in der Brechtstrasse 100 Passanten sowohl nach nach

ihrem Rauchverhalten als auch nach ihren Hobbies befragen, so liegen zwei verbundene Stichproben vor.

Beispiel

Beispiel 4:

Ist es nun so, dass in Beispiel drei das Rauchverhalten keinen Einfluß auf die Hobbies hat. So haben wir zwei verbundene und unabhängige Stichproben.

Beispiel

Beispiel 5:

Betrachten wir beispielsweise die folgende Tabelle der Körpergrößen $x_{1,1},...,x_{1,12}$ einer (konkreten) Stichprobe von 12 Vätern und der Körpergrößen $x_{2,1},...,x_{2,12}$ ihrer ältesten Söhne. Sofern die Väter und Söhne aus unterschiedlichen Familien stammen, können wir annehmen, dass die Körpergrößen der Väter bzw. der Söhne untereinander unabhängig sind.

/cm

166

164

166

165

169

167

190

185

178

198

200

/cm

165

164

165

166

170

168

191

186

179

199

199

Anhand dieser Tabelle ist erkennbar (und dies stimmt mit der Intuition überein), dass sehr wahrscheinlich ein Zusammenhang zwischen den Körpergrößen der Väter $x_{1,1},...,x_{1,12}$ und den Körpergrößen ihrer ältesten Söhne $x_{2,1},...,x_{2,12}$ besteht.

In diesem Beispiel sehen wir, dass wir nicht annehmen können, dass $x_{1,1},...,x_{1,12}$ und $x_{2,1},...,x_{2,12}$ Realisierungen von zwei unabhängigen Zufallsvariablen $x_{1,1},...,x_{1,12}$ bzw. $x_{2,1},...,x_{2,12}$ sind. Hier ist es nun so, dass $x_{1,1},...,x_{1,12}$ und $x_{2,1},...,x_{2,12}$ zwei verbundene Stichproben sind.   

Abb. 3: Einfache Stichproben
Abb. 3: Einfache Stichproben
Abb. 4: Unabhängige Stichproben
Abb. 4: Unabhängige Stichproben
Abb. 5: Verbundene Stichproben
Abb. 5: Verbundene Stichproben

Die Tests werden nun auf den folgenden Kursseiten vorgestellt.