Testtheorie

In einer Schule stellt die Direktorin folgende Behauptung (Hypothese) auf: Die Schüler wiegen im Durchschnitt 58 kg. Es werden zufällig 40 Schüler ausgewählt. Man stellt fest, dass bei ihnen das mittlere Gewicht 67 kg beträgt. Nun ist es sehr empfehlenswert, ein statistisches Testverfahren durchzuführen. Dieses kann entscheiden, ob es wahrscheinlich ist, dass die Direktorin sich mit ihrer Hypothese $\mu = 58 kg$ geirrt hat.  

Beispiel 1: 

Befragen wir auf einer Straße 100 Passanten, ob sie rauchen, so liegt bei Unabhängigkeit der einzelnen Ziehungen untereinander eine einfache Stichprobe vor

Beispiel 2:

An einem Tag gehen wir wieder auf die Brechtstrasse und fragen 100 Passanten, ob sie rauchen. Zwei Wochen später befragen wir auf der Kasernenstrasse in der Nachbarstadt 40 Einwohner nach ihren Hobbies. Im Falle, dass das Rauchverhalten der Passanten keine Einwirkung auf die Hobbies der 40 Einwohner hat, liegen zwei unabhängige Stichproben vor.

Beispiel 3:

Liegt nun der Fall vor, dass wir in der Brechtstrasse 100 Passanten sowohl nach nach

ihrem Rauchverhalten als auch nach ihren Hobbies befragen, so liegen zwei verbundene Stichproben vor.

Beispiel 4:

Ist es nun so, dass in Beispiel drei das Rauchverhalten keinen Einfluß auf die Hobbies hat. So haben wir zwei verbundene und unabhängige Stichproben.

Beispiel 5:

Betrachten wir beispielsweise die folgende Tabelle der Körpergrößen $x_{1,1},...,x_{1,12}$ einer (konkreten) Stichprobe von 12 Vätern und der Körpergrößen $x_{2,1},...,x_{2,12}$ ihrer ältesten Söhne. Sofern die Väter und Söhne aus unterschiedlichen Familien stammen, können wir annehmen, dass die Körpergrößen der Väter bzw. der Söhne untereinander unabhängig sind.

Anhand dieser Tabelle ist erkennbar (und dies stimmt mit der Intuition überein), dass sehr wahrscheinlich ein Zusammenhang zwischen den Körpergrößen der Väter $x_{1,1},...,x_{1,12}$ und den Körpergrößen ihrer ältesten Söhne $x_{2,1},...,x_{2,12}$ besteht.

In diesem Beispiel sehen wir, dass wir nicht annehmen können, dass $x_{1,1},...,x_{1,12}$ und $x_{2,1},...,x_{2,12}$ Realisierungen von zwei unabhängigen Zufallsvariablen $x_{1,1},...,x_{1,12}$ bzw. $x_{2,1},...,x_{2,12}$ sind. Hier ist es nun so, dass $x_{1,1},...,x_{1,12}$ und $x_{2,1},...,x_{2,12}$ zwei verbundene Stichproben sind.