Testtheorie

Ein Lehrer stellt die folgende Hypothese auf: Die SchülerInnen einer Schule wiegen im Durchschnitt 58 kg.
Nachdem 40 SchülerInnen zufällig ausgewählt wurden, konnte ein mittleres Gewicht von 67 kg festgestellt werden. Dabei empfiehlt es sich nun, ein statistisches Testverfahren einzusetzen. Damit soll gezeigt werden, ob es möglich ist, dass der Lehrer mit seiner Behauptung von $\mu = 58 kg$ falsch lag.

1. Beispiel: 

Eine einfache Stichprobe liegt dann vor, wenn 100 Fußgänger dazu befragt werden, ob sie ein eigenes Auto besitzen. Gegeben ist hierbei eine Unabhängigkeit innerhalb der einzelnen Ziehungen.

2. Beispiel:

Eine Woche später findet eine erneute Befragung in der Goethestraße statt. Dabei werden auch wieder 100 Fußgänger befragt, ob sie über ein eigenes Auto verfügen.
Einen Monat später werden in einer anliegenden Stadt auf der Marktstraße 40 Personen nach ihrer beruflichen Tätigkeit gefragt. Wenn die Tatsache, dass eine gewisse Anzahl an Fußgängern über kein eigenes Auto verfügt, nicht mit der beruflichen Tätigkeit der 40 Personen in der Nachbarstadt in Verbindung steht, handelt es sich um zwei unabhängige Stichproben.

3. Beispiel:

Wenn jedoch 100 Fußgänger in der Goethestraße danach befragt werden, ob sie ein eigenes Auto besitzen und was ihre beruflichen Tätigkeiten sind, dann handelt es sich um eine verbundene Stichprobe.

4. Beispiel:

Hat jedoch die berufliche Tätigkeit der Fußgänger keinen Einfluss darauf, dass diese kein oder ein eigenes Auto haben, so sprechen wir von zwei verbundenen und unabhängigen Stichproben.

5. Beispiel:

Die vorliegende Tabelle gibt Auskunft in Bezug auf die verschiedenen Körpergrößen $x_{1,1},…,x_{1,12}$ , welche sich auf eine genaue Stichprobe der Körpergröße von 12 Vätern $x_{2,1},…,x_{2,12}$ und deren jüngste Söhne bezieht. Wenn beide (Vater und Sohn) aus verschiedenen Familien kommen, kann angenommen werden, dass sich die Körpergrößen von Vater und Sohn zueinander unterscheiden und unabhängig sind.

Anhand der Tabelle wird deutlich, dass ein Zusammenhang zwischen den Körpergrößen der Väter $x_{1,1},…,x_{1,12}$ und die der jüngsten Söhne zu vermuten ist und gleichermaßen bemerkbar wird.

Das Beispiel zeigt auf, dass nicht anzunehmen ist, dass $x_{1,1},...,x_{1,12}$ und $x_{2,1},...,x_{2,12}$ Realisierungen zweier unabhängigen Zufallsvariablen $x_{1,1},...,x_{1,12}$ bzw. $x_{2,1},…,x_{2,12}$ sind.
Dabei ist es so, dass es sich bei $x_{1,1},...,x_{1,12}$ und $x_{2,1},...,x_{2,12}$ um zwei verbundene Stichproben handelt.