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Kursangebot | Stichprobentheorie | Anwendung der Schemas auf Beispiele

Stichprobentheorie

Anwendung der Schemas auf Beispiele

In diesem Teil finden die Schemas in den folgenden Beispielen ihre Anwendung.
Die Vorgehensweise verläuft auch hier schrittweise. 

Beispiele zu Schema (1)

Diese Beispiele beziehen sich auf die Bestimmung des Konfidenzintervalls für $\mu$ bei normalverteilter Grundgesamtheit und bekannter Varianz.

Beispiel

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1. Beispiel:

Für den Erwartungswert $\mu$ einer $N(\mu ,\sigma ^2)$  Verteilung soll ein Konfidenzintervall von 95 % bestimmt werden. Dabei hat die Stichprobe den Umfang n = 100. Das einhergehende arithmetische Mittel (Mittelwert) entspricht $\overline x=5.$ Dadurch ist eine Streuung von $\sigma =3$ zustande gekommen.

  1. Gegeben ist das Konfidenzniveau von $1-\alpha =95\text{%},$ was so viel wie $\alpha =0,05$ bedeutet.

  2. Es wird ersichtlich, dass $1-\frac{\alpha } 2=1-0,025=0,975.$

  3. Bestimmt werden kann nun das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ -Fraktil z der Standardnormalverteilung N(0,1), welches der Tabelle zu entnehmen ist und z=1,96 entspricht.

  4. $\overline {x}=5$ ist das arithmetische Mittel der Stichprobe.

  5. Die halbe Breite des Konfidenzintervalls entspricht dann: $\frac{\sigma z}{\sqrt n}=\frac{3\ast 1,96}{\sqrt{100}}=0,588.$

  6. Wir erhalten ein Konfidenzintervall von: [5-0,588;5+0,588]=[4,412;5,588].

Beispiel

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2. Beispiel:

Der Autohersteller Audi hat ein neues Modell herausgebracht und interessiert sich für das Konfidenzintervall mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95 % für den durchschnittlichen Benzinverbrauch μ pro 100 [km]. Um dies zu ermitteln, lässt die Firma Testfahrten mit 30 Wagen dieser Serie durchführen.

Der Benzinverbrauch ist normalverteilt und beträgt somit σ = 0.9 [l/100 km]. Durch die Tests ging ein Durchschnittsverbrauch von 9.1 [l/100 km] bei allen 30 Testwagen einher.

  1. Gegeben ist: $1-\alpha =95\text{%} \Leftrightarrow \alpha = 5\text{%}=0,05.$

  2. $1-\frac{0,05} 2=0,975.$

  3. (0,975)- Fraktil z der N(0,1) Verteilung beträgt: $z_{0,975}=1,96.$

  4. In der Stichprobe ist das arithmetische Mittel zu $\overline x=9,1.$ gegeben.

  5. Daraus ergibt sich $\frac{\sigma z}{\sqrt n}=\frac{0,9\ast 1,96}{\sqrt{25}}=0,3528.$

  6. Der Konfidenzintervall ist: $\mathit{KI}=\text [9,1-0,3528;9,1+0,3528\text ]=\text [8,7472;9,4528\text ].$

Beispiel

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3. Beispiel:

 Ein Getränkehersteller interessiert sich für das Konfidenzintervall der abgefüllten Flaschen. Es liegt eine Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95% für die durchschnittliche Füllmenge pro Liter vor. Für die Ermittlung dessen werden 6 Flaschen aus der Gesamtmenge hinzugezogen.

Flasche

Füllmenge in Liter [l]

1

0,51

2

0,52

3

0,5

4

0,5

5

0,51

6

0,52

Der Aufgabenstellung kann sowohl $\sigma$ als auch  $\sigma^2$ entnommen werden, da diese bekannt sind. Folglich soll der Konfidenzintervall mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95 % für den Erwartungswert bestimmt werden.

  1. Der Aufgabenstellung zufolge ist: $1 - \alpha = 95 \text{%}$

  2. Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha $ kann aus der Gleichung $1-\frac{\alpha } 2$  ermittelt werden. Somit ergibt sich daraus $\alpha =\frac{100}{100}-\frac{95}{100}=\frac 5{100}=0,05.$ Dann ist $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,05} 2=0,975.$

  3. Die Tabelle gibt auskunft über das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)$ - Fraktil z der N(0,1) Verteilung. Zu entnehmen ist z=1,96.

  4. Das arithmetische Mittel aus der Stichprobe ergibt: $\frac{0,51+0,52+0,5+0,5+0,51+0,52} 6=0,51.$

  5. Somit beträgt es $\sigma \frac z{\sqrt n}=\frac{0,02\ast 1,96}{\sqrt 6}=0,016.$

  6. Im letzten Schritt kann demnach das entsprechende Konfidenzintervall genau angegeben werden und lautet: $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\sigma z}{\sqrt n};\overline x+\frac{\sigma z}{\sqrt n}\right]=\text [0,51-0,016;0,51+0,016\text ].$ 
    Das ergibt sich einKonfidenzintervall von: KI=[0,494 ; 0,526] .

Beispiele zu Schema (2)

Die Beispiele beziehen sich auf das zweite Schema, da es sich hierbei um den Konfidenzintervall für $ \mu$ bei normalverteilter Grundgesamtheit und unbekannter Varianz handelt.

Beispiel

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1. Beispiel: 

Die Höhe der hergestellten Fensterrahmen einer Fensterbaufirma ist normalverteilt und die Streuung nicht bekannt. Aus der laufenden Produktion werden zugunsten der Stichprobe drei Rahmen herausgezogen (n = 3).
Daraus ergeben sich die Werte: 10,5 cm ; 10,5 cm ; 10,5 cm.

Zu bestimmen ist hierbei der Erwartungswert $\mu$ des Konfidenzintervalls zum Konfidenzniveau von 95 %.

 

  1. Bekannt ist das Konfidenzniveau $1 - \alpha = 95\text{%}$ und $\alpha = 0,05$.

  2. Ersichtlich wird, dass $1- {\alpha\over{2}} = 1 - 0,025 = 0,975$.

  3. Mit Hilfe der passenden Tabelle kann das 0,975-Fraktil der t(3)-Verteilung bestimmt werden, welches t = 3,1824 beträgt.

  4. Bei dem arithmetischen Mittel handelt es sich hier um $\overline x=\frac 1 3(10,5+10+10,3)\mathit{cm}\approx 10,27\mathit{cm}.$ Es ergibt sich eine Stichprobenstandardabweichung von:
    $S=\sqrt{\frac 1{3-1}((10,5-10,27)^2+(10-10,27)^2+(10,3-10,27)^2)}.$ 
    $S=\sqrt{\frac 1{3-1}((0,23)^2+(-0,27)^2+(0,03)^2)}=\sqrt{(0,06335)}\approx 0,252.$

  5. Die halbe Breite des Konfidenzintervalls beträgt dann: $\frac{\mathit{St}}{\sqrt n}=\frac{0,252\ast 3,1824}{\sqrt 3}\approx 0,463.$

  6. Das Konfidenzintervall ist: [10,27-0,463;10,27+0,463]=[9,807;10,733].

Beispiel

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2. Beispiel:

Das Nettogewicht einer Packung mit gemahlenen Kaffee beträgt beispielsweise 500 g, ist normalverteilt und aus der einfachen Stichprobe von n = 25 ergibt sich $\overline x=495[g]$ und s = 5 [g].
Gesucht ist ein 95 % Konfidenzintervall für den Erwartungswert.

  1. Der Aufgabenstellung zufolge ist $1 - \alpha = 95\text{%}$ und somit auch $\alpha = 0,05.$

  2. $1-\frac{0,05} 2=0,975.$

  3. Die (0,975)-Fraktils t der t(25-1) -Verteilung: $t_{0,975}(24)=2,0639$ wird bestimmt.

  4. Aus dem arithmetische Mittel und s ergibt sich: $\overline x=495$ und s = 5.

  5. $\frac{5\ast 2,0639}{\sqrt{25}}=2,0639$ beschreibt die halbe Breite des Konfidenzintervalls.

  6. Somit ist es $\mathit{KI}=\text [495-2,0639;495+2,0639\text ]=\text [492,936;497,06\text ]$ .

Beispiel

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3. Beispiel:

Dieser Aufgabe ist die Standardabwichung $\sigma $ der Grundgesamtheit nicht zu entnehmen. Folglich dient hierbei Schema (2) des Baumschemas, welches uns die Schritte vorgibt:

  1. $1-\alpha =\frac{95}{100}=0,95.$

  2. $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,05} 2=0,975.$

  3. Das 0,975-Fraktil der t(5)-Verteilung kann eingesehen wird, wodurch der Wert t=2,571 abzulesen ist.

  4. Der 3. Beispielaufgabe ist das bereits berechnete, arithmetische Mittel zu entnehmen. Daraus ging der folgende Wert hervor: $\overline x=0,51.$ Das Ergebnis der Stichprobenstandardabweichung ist somit:
    $s=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum^6_?{(X_i - \overline{x})}}$=0,0089

  5. Gerechnet wird dann $\frac{\mathit{st}}{\sqrt n}$ woraus der Wert 0,0093 resultiert.

  6. Der Konfidenzintervall ist:
    $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\mathit{st}}{\sqrt n};\overline x+\frac{\mathit{st}}{\sqrt n}\right]=[0,51-0,0093;0,51+0,0093]=[0,5007;0,5193].$

Beispiel zu Schema (3)

Dieses Beispiel bezieht sich auf das dritte Schema zur Ermittlung des Konfidenzintervalls $\mu$ bei poissonverteilter Grundgesamtheit und unbekannter Varianz. 

Beispiel

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Nach der Ziehung innerhalb einer Stichprobe ergibt sich für n = 50 und ein Mittelwert von: $\overline x=11$. Nun geht es darum, ein Konfidenzintervall für eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% für den Erwartungswert $\mu$ zu berechnen.

Das Baumschema des Schema (3) dient hier ebenfalls zur Hilfe.

  1. Weil $\alpha =1\text{\%}=\frac 1{100}$ ergibt sich: $1-\alpha =1-\frac 1{100}=\frac{99}{100}=99\text{\%}.$

  2. Daraus resultiert: $1-\frac{\alpha } 2=1-\frac{0,01} 2=0,995.$

  3. Im 3. Schritt des Schema (3) ist eine Approximationsbedingung erwähnt, welche erfüllt sein muss. Diese ist hier erfüllt, da n > 30 laut der Aufgabenstellung ist. Wir entnehmen der entsprechenden Fraktil-Tabelle, dass das (0,995)- Fraktil z der N(0,1) Verteilung gegeben ist durch: z = 2,58.

  4. Gemäß der Aufgabenstellung: $\hat{\mu }=\overline x=11$ .

  5. $\frac{\sqrt{\hat{\mu }}z}{\sqrt n}=\frac{\sqrt{11}\ast 2,58}{\sqrt{50}}=1,21$ beschreibt die halbe Breite des Konfidenzintervalls.

  6. Daraus hervor geht das Konfidenzintervall:
    $\mathit{KI}=[11-1,21;11+1,21]=[9,79;12,21].$

Beispiel zu Schema (6)

In diesem Beispiel kommt es zur Anwendung des sechsten Schemas zur Ermittlung eines Konfidenzintervalls für $p$ bei dichotomer Grundgesamtheit.

Beispiel

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Leo hat bei einer Jubiläumsfeier 80 Lose gekauft. Leider musste er feststellen, dass davon 73 Nieten sind.
Die Aufgabe besteht nun darin, für den Anteil der Nieten einen 95 % - Konfidenzintervall zu erfassen.
Das Wort „Anteil“ liefert bereits einen Hinweis, sodass daraus einhergeht, dass es sich um eine dichotome Grundgesamtheit handelt. Demnach bestehen hier nur die beiden Möglichkeiten der Nietenziehung und Gewinnziehung.
Dem Baumschema zufolge ist für diese Aufgabe das Schema (6) geeignet.

  1. Gesucht wird ein 95% Konfidenzintervall. Das Konfidenzniveau beträgt: $1-\alpha =95\text{%}\Leftrightarrow \alpha =1-0,95=0,05=5\text{%}.$

  2. Eine Berechnung ist mit: $1-\frac{\alpha } 2=0,975$ durchzuführen.

  3. Ermittelt werden muss nun das arithmetische Mittel in der Stichprobe:
    $\overline x=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i=\frac 1{80}\ast 73=0,9125.$

  4. Mit Hilfe der Fraktil-Tabelle für die Standardnormalverteilung [N(0,1)] das (0,975) – Fraktil z, ist zu entnehmen, dass z = 1,96 beträgt.
 Folglich ist dann zwischen dem 1. und 2. Fall zu unterscheiden. Gezogen wird aus einer enorm großen Menge an Losen, welche gleichzeitig die Stichprobenelemente bilden, die nicht zurückgelegt werden. Dabei wird ersichtlich, dass die Grundgesamtheit binomial verteilt ist.
 Des Weiteren ist eine Verifizierung von Nöten $n\overline x\geqslant 5$ und $n\overline x\leqslant n-5$.

 Im Rahmen des Umfangs der Stichprobe (n=80) ergeben sich die Ergebnisse: $n\overline x$ = 80*0,9125=73>5 und $n\overline x$ =73 <n-5=75.

  5. Folglich soll eine Schätzung der Standardabweichung der Zufallsvariablen $X_i$ ermittelt werden. Hierbei liegt der 1. Fall vor, wodurch $\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)}=\sqrt{0,9125(1-0,9125)}$ = 0,2826 ergibt.

  6.  $\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}=0,062.$ bezieht sich auf die halbe Breite des Konfidenzintervalls.

  7. Das ermittelte Konfidenzintervall lautet:
    $\mathit{KI}=\left[\overline x-\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n};\overline x+\frac{\hat{\sigma }z}{\sqrt n}\right]=[0,851;0,9744].$

Beispiele zu Schema (7)

Diese Beispiele beziehen sich auf die Anwendung des siebten Schemas zur Ermittlung eines Konfidenzintervalls für $\sigma^2$ bei normalverteilter Grundgesamtheit.

Beispiel

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1. Beispiel: 

Bei der Produktion von Küchenrollen trennt eine Maschine die einzelnen „Tücher“ ca. alle 24 cm voneinander ab. Um die Streuung der Länge festzustellen, werden im Rahmen der Stichprobe 24 Stücke herausgezogen und gemessen. Ergeben hat sich daraus: $s^2=0,88[\mathit{cm}]^2$.

Die Aufgabe besteht darin, das Konfidenzintervall für $\sigma ^2$ zu einem Konfidenzniveau von 99% zu bestimmen.

  1. Das Konfidenzniveau ist $1-\alpha =99\text{\%},$ so dass $\alpha =0,01$ ist.

  2. Bei der Aufgabenstellung handelt es sich um den ersten Fall, da μ unbekannt ist.

  3. Zugunsten der Übersichtlichkeit ist: $c_2=c^2,c_1=c^1.$ Das $\left(\frac{0,01} 2\right)=0,005$ -Fraktil $c^1$ und $\left(1-\frac{0,01} 2\right)=0,995$ -Fraktil $c^2$ der $\chi ^2(24-1)$ gegeben durch: $c^1_{0,005}=9,26$ und  $c^2_{0,995}=44,181.$

  4. Somit ergibt sich: $(24-1)\ast s^2=23\ast 0,88=20,24.$

  5. $\mathit{KI}=\left[\frac{20,24}{44,181};\frac{20,24}{9,26}\right]=[0,458;2,186].$

Beispiel

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2. Beispiel: 

Bei der Betrachtung der Kalorienanzahl von einer Erdbeerschnitte wird deutlich, dass diese normalverteilt ist. Demnach wird eine Stichprobe durchgeführt, indem 11 willkürliche Schnitten genommen werden. Dabei ergeben sich die Werte für á 200 g: 1020; 900; 1010; 1000; 990; 1090; 1000; 1020; 1030; 960; 1040. Bereits gegeben ist, dass $\alpha = 0,01$ ist.

Die Aufgabe besteht darin, den Konfidenzintervall für die Varianz der Grundgesamtheit zu ermitteln.
Dem Bauschema ist zu entnehmen, dass Schema (7) zur Lösung der Aufgabe geeignet ist.

  1. Auf Grund von $\alpha = 0,01$ beträgt das Konfidenzniveau: $1 - \alpha = 0,99$.

  2. Die Aufgabenstellung gibt keine weiteren Informationen, wesewegen $\mu$ nicht bekannt ist und dem 1. Fall entspricht.

  3. Das (0,005)-Fraktil $c_1$ und das (0,995)-Fraktil $c_2$

    der $\chi ^2(11-1)=\chi ^2(10)$ -Verteilung ist zu bestimmen. Der passenden Tabelle zu entnehmen, dass $c_1=2,16$ und $c_2=25,19.$

  4. Zu guter Letzt ist $(n-1)s^2$ zu ermitteln.

    Die angefertigte Tabelle soll dabei als Stütze dienen:

Gem. Werte je 200g  $x_i$

$\overline x$

$x_i-\overline x$

$(x_i-\overline x)^2$

1.020

1.005,45

14,55

211,7

900

1.005,45

-105,45

11.119,7

1.010

1.005,45

4,55

20,7

1.000

1.005,45

-5,45

29,7

990

1.005,45

-15,45

238,7

1.090

1.005,45

84,55

7.148,7

1.000

1.005,45

-5,45

29,7

1.020

1.005,45

14,55

211,7

1.030

1.005,45

24,55

602,7

960

1.005,45

-45,45

2.065,7

1.040

1.005,45

34,55

1.193,7

$10\ast s^2=\sum _{i=1}^{11}(x_i-\overline x)^2$

  

22.872,7

5. Das Konfidenzintervall für die Varianz der Stichprobe ergibt:
 $\mathit{KI}=\left[\frac{22872,7}{25,19};\frac{22872,7}{2,16}\right]=[908;10589,2].$