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Stichprobentheorie - Schätzfunktionen

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Stichprobentheorie

Schätzfunktionen

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Ist eine Kenngröße unbekannt, wie beispielsweise der Erwartungswert, ist es möglich diesen mit Hilfe einer einfachen Stichprobe zu schätzen.

Merke

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Von einer einfachen Stichprobe ist dann die Rede, wenn alle Objekte losgelöst voneinander 'gezogen' werden.


Schätzfunktionen

Im Falle eines unbekannten Parameters in einer Grundgesamtheit, können Schätzfunktionen zum Einsatz kommen. Die Schätzfunktionen werden durch den Zusatz des Zeichens „^“ komplementiert, welches immer über der Funktion steht. Die Schätzfunktion $\hat{\mu }$ steht somit für den tatsächlichen Wert $\mu$.

Hinweis

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Die nachfolgenden Schätzfunktionen werden aus didaktischen Gründen nicht mit Großbuchstaben versehen, sondern klein geschrieben, z.B. $\sigma $.


Parameter der Grundgesamtheit und die entsprechende Schätzfunktion

Parameter der Grundgesamtheit

dazugehörige Schätzfunktion

$\mu$

p

bei binomialverteilter Grundgesamtheit

$\sigma ^2$

$\hat{\mu }=\overline X=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i$

$\hat p=\overline X=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i$

$\hat{\sigma }^2=\frac 1 n\sum _{i=1}^n(X_i-\mu )^2$

$\hat{\sigma }^2=S^2=\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline X)^2$

$\hat{\sigma }^2=\hat p(1-\hat p)$

bei binomialverteilter Grundgesamtheit

Beispiel

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Anlässlich der anstehenden Klassenfahrt befragt der Lehrer die Achtklässler, wie viel Taschengeld sie wöchentlich erhalten. Zur Ermittlung des Durchschnittswerts werden willkürlich vier verschiedene Schüler befragt. Dabei beträgt die Summe des ersten Schülers  $x_1$, des zweiten $x_2$, des dritten $x_3$ und des vierten $x_4$.

Aus der Stichprobe ergeben sich folgende Werte:

 $x_1=5\text{€},$ $x_2=7\text{€},$ $x_3=9\text{€},$ $x_4=20\text{€}.$

Die Formel enthält das arithmetische Mittel: $\overline x=\frac 1 n\sum _{i=1}^nx_i$
Da die Stichprobe aus der Befragung von vier Schülern einhergeht, ist n = 4.

Das genaue arithmetische Mittel ergibt sich daraus wie folgt:
$\hat{\mu }=\overline x=\frac 1 4\sum _{i=1}^4x_i=\frac 1 4(x_1+x_2+x_3+x_4)=\frac 1 4(5\text{€}+7\text{€}+9\text{€}+20\text{€})=\frac{41\text{€}} 4=10,25\text{€}$.

Das Ergebnis der Schätzung beträgt 10,25 € und repräsentiert daher den durchschnittlichen, wöchentlichen Taschengeldbetrag der SchülerInnen.

 

Merke

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Erhebliche Abweichungen vom tatsächlichen Parameterwert der Grundgesamtheit können in jeder Stichprobenschätzung entstehen.


Ergänzung zum Beispiel

Die Parameterwerte $sigma$ der Grundgesamtheit können allerdings auch mit Hilfe der Formel geschätzt werden: $\hat{\sigma }=S=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline X)^2}.$ Da n = 4 und $\overline x=10,25$ führt dies zu: $\hat{\sigma }=s=\sqrt{\frac 1{4-1}\sum _{i=1}^4(x_i-\overline x)^2}.$

Werden die ermittelten Werte eingesetzt, so ergibt sich:
$\sqrt{\frac 1{4-1}(x_1-\overline x)^2+(x_2-\overline x)^2+(x_3-\overline x)^2+(x_4-\overline x)^2}$

= $\sqrt{\frac 1{4-1}(5-10,25)^2+(7-10,25)^2+(9-10,25)^2+(20-10,25)^2}$

= 6,702.

Wirksamkeit von Schätzfunktionen

Zum näheren Verständnis des Kriteriums der Wirksamkeit im Rahmen der Berechnung von Erwartungswerten sowie Varianzen soll das folgende Beispielvideo die Thematik etwas veranschaulichen:

Video: Schätzfunktionen