Schätzfunktionen

In einer Jugendherberge möchte der Herbergsvater wissen, wieviel wöchentliches Taschengeld die Minderjährigen zur Verfügung haben. Dazu befragt er vier zufällig ausgewählte Jugendliche. Die Höhe des Taschengeldes des Jugendlichen 1 sei $x_1$, die des zweiten $x_2$, die des dritten $x_3$ und die des vierten $x_4$.
Folgende Werte ergeben sich aus der Stichprobe.
 $x_1=5\text{€},$ $x_2=7\text{€},$ $x_3=9\text{€},$ $x_4=20\text{€}.$

Das arithmetische Mittel ist gegeben durch die Formel: $\overline x=\frac 1 n\sum _{i=1}^nx_i.$ Hier ist n = 4, da die Stichprobe aus vier Beobachtungen besteht.

Konkret ergibt sich dann für das arithmetische Mittel:
$\hat{\mu }=\overline x=\frac 1 4\sum _{i=1}^4x_i=\frac 1 4(x_1+x_2+x_3+x_4)=\frac 1 4(5\text{€}+7\text{€}+9\text{€}+20\text{€})=\frac{41\text{€}} 4=10,25\text{€}$.

Damit ergibt sich für die Schätzung für das durchschnittliche Taschengeld aller jugendlichen Gäste der eben berechnete Wert. Dieser lautet 10,25 €.

Es ist auch möglich, die Standardabweichung $sigma$ der Grundgesamtheit zu schätzen. Dies geschieht erwartungstreu mittels der Formel:
$\hat{\sigma }=S=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline X)^2}.$ Da n = 4 und $\overline x=10,25$ führt dies zu: $\hat{\sigma }=s=\sqrt{\frac 1{4-1}\sum _{i=1}^4(x_i-\overline x)^2}.$
Wenn wir die gegebenen Werte einsetzen erhalten wir:
$\sqrt{\frac 1{4-1}(x_1-\overline x)^2+(x_2-\overline x)^2+(x_3-\overline x)^2+(x_4-\overline x)^2}$

= $\sqrt{\frac 1{4-1}(5-10,25)^2+(7-10,25)^2+(9-10,25)^2+(20-10,25)^2}$

= 6,702.