wiwiweb
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Stichprobentheorie
Den Kurs kaufen für:
einmalig 49,00 €
Zur Kasse

Schätzfunktionen

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Volks- und Betriebswirtschaft:
 Am 12.01.2017 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Grundbegriffe der Bilanzierung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gibt Daniel Lambert einen Überblick über die zentralen Begriffe der Bilanzierung - hier im Besonderen dem Bilanzausweis.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Video: Schätzfunktionen

Im Falle, dass ein Parameter (z.B. Erwartungswert) einer Grundgesamtheit unbekannt ist, so kann dieser anhand einer einfachen Stichprobe geschätzt werden. Eine einfache Stichprobe liegt vor, falls alle Objekte unabhängig voneinander gezogen werden.

Im Falle, dass ein Parameter (z.B. Erwartungswert $\mu$) einer Grundgesamtheit unbekannt ist, so kann dieser anhand einer einfachen Stichprobe geschätzt werden. Eine einfache Stichprobe liegt vor, falls alle Objekte unabhängig voneinander gezogen werden. 

Schätzfunktionen

Für das Schätzen eines unbekannten Parameters in einer Grundgesamtheit werden Schätzfunktionen verwendet.

Diese Schätzfunktionen haben als Zusatz das Zeichen “^“. Dieses steht immer über der Funktion. Die Funktion $\hat{\mu }$ ist eine Schätzfunktion für den wahren Wert $\mu$.

Die im folgenden dargestellten Schätzfunktionen müssten mit Großbuchstaben gekennzeichnet werden, d.h. $\Sigma$ statt $\sigma $. Aus didaktischen Gründen werden kleine Buchstaben verwendet.

Parameter der Grundgesamtheit und zugehörige Schätzfunktion

Parameter der Grundgesamtheit

Schätzfunktion hierfür

$\mu$

p

bei binomialverteilter Grundgesamtheit

$\sigma ^2$

$\hat{\mu }=\overline X=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i$

$\hat p=\overline X=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i$

$\hat{\sigma }^2=\frac 1 n\sum _{i=1}^n(X_i-\mu )^2$

$\hat{\sigma }^2=S^2=\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline X)^2$

$\hat{\sigma }^2=\hat p(1-\hat p)$

bei binomialverteilter Grundgesamtheit

Beispiel

Beispiel

In einer Jugendherberge möchte der Herbergsvater wissen, wieviel wöchentliches Taschengeld die Minderjährigen zur Verfügung haben. Dazu befragt er vier zufällig ausgewählte Jugendliche. Die Höhe des Taschengeldes des Jugendlichen 1 sei $x_1$, die des zweiten $x_2$, die des dritten $x_3$ und die des vierten $x_4$.
Folgende Werte ergeben sich aus der Stichprobe.
 $x_1=5\text{€},$ $x_2=7\text{€},$ $x_3=9\text{€},$ $x_4=20\text{€}.$

Das arithmetische Mittel ist gegeben durch die Formel: $\overline x=\frac 1 n\sum _{i=1}^nx_i.$ Hier ist n = 4, da die Stichprobe aus vier Beobachtungen besteht.

Konkret ergibt sich dann für das arithmetische Mittel:
$\hat{\mu }=\overline x=\frac 1 4\sum _{i=1}^4x_i=\frac 1 4(x_1+x_2+x_3+x_4)=\frac 1 4(5\text{€}+7\text{€}+9\text{€}+20\text{€})=\frac{41\text{€}} 4=10,25\text{€}$.

Damit ergibt sich für die Schätzung für das durchschnittliche Taschengeld aller jugendlichen Gäste der eben berechnete Wert. Dieser lautet 10,25 €.

Merke

Merke

Jede Schätzung, die man anhand der Stichprobe bestimmt, kann vom tatsächlichen Parameterwert der Grundgesamtheit deutlich abweichen.

Beispiel 2 (Ergänzung zum ersten Beispiel)

Beispiel

Es ist auch möglich, die Standardabweichung $sigma$ der Grundgesamtheit zu schätzen. Dies geschieht erwartungstreu mittels der Formel:
$\hat{\sigma }=S=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline X)^2}.$ Da n = 4 und $\overline x=10,25$ führt dies zu: $\hat{\sigma }=s=\sqrt{\frac 1{4-1}\sum _{i=1}^4(x_i-\overline x)^2}.$
Wenn wir die gegebenen Werte einsetzen erhalten wir:
$\sqrt{\frac 1{4-1}(x_1-\overline x)^2+(x_2-\overline x)^2+(x_3-\overline x)^2+(x_4-\overline x)^2}$

= $\sqrt{\frac 1{4-1}(5-10,25)^2+(7-10,25)^2+(9-10,25)^2+(20-10,25)^2}$

= 6,702.

Wirksamkeit von Schätzfunktionen

Video: Schätzfunktionen

Im Falle, dass ein Parameter (z.B. Erwartungswert) einer Grundgesamtheit unbekannt ist, so kann dieser anhand einer einfachen Stichprobe geschätzt werden. Eine einfache Stichprobe liegt vor, falls alle Objekte unabhängig voneinander gezogen werden.

Wirksamkeit von Schätzfunktionen - Varianzberechnung

Video: Schätzfunktionen

Im Falle, dass ein Parameter (z.B. Erwartungswert) einer Grundgesamtheit unbekannt ist, so kann dieser anhand einer einfachen Stichprobe geschätzt werden. Eine einfache Stichprobe liegt vor, falls alle Objekte unabhängig voneinander gezogen werden.
Multiple-Choice

Betrachte die Werte 3, 4 und 5. Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Schätzfunktionen

  • Maren Nebeling schrieb am 13.08.2015 um 13:18 Uhr
    Hallo Yasin, weil man, wenn man Vorfaktoren in der Varianzformel rauszieht, man diese immer quadriert. Anders beim Erwartungswert, dort zieht man Vorfaktoren linear raus... Viele Grüße, Daniel Lambert (i.A. Maren Nebeling)
  • Yasin Bostan schrieb am 30.07.2015 um 20:41 Uhr
    Wieso quadriert man den vorgezogenen Faktor 1/4 ?
Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Schätzfunktionen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
Vorstellung des Online-Kurses StichprobentheorieStichprobentheorie
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stichprobentheorie

wiwiweb - Interaktive Online-Kurse (wiwiweb.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Übersicht über auftretende Symbole
    • Einleitung zu Übersicht über auftretende Symbole
  • Schätzen
    • Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu Schätzfunktionen
    • Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Erwartungstreue
    • Asymptotische Erwartungstreue
    • Effizienz
    • Konsistenz
    • Konfidenzintervalle
      • Einleitung zu Konfidenzintervalle
      • Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls
      • Anwendung der Kochrezepte auf Beispiele
      • Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen
      • Notwendiger Stichprobenumfang
  • Testtheorie
    • Einleitung zu Testtheorie
    • Signifikanztests bei einfachen Stichproben
    • Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben
    • Tests bei zwei verbundenen Stichproben
    • Fehlerarten
    • Hypothesenauswahl
      • Einleitung zu Hypothesenauswahl
      • Funktionsweise eines Tests am Beispiel des Einstichproben-Gaußtests
    • Testverteilungen
  • Hochrechnung
    • Einleitung zu Hochrechnung
    • Differenzenschätzung
      • Einleitung zu Differenzenschätzung
      • Verhältnisschätzung (Quotientenschätzer)
    • Klumpen und geschichtete Stichproben
      • Einleitung zu Klumpen und geschichtete Stichproben
      • Geschichtete Stichproben
        • Einleitung zu Geschichtete Stichproben
        • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu geschichteten Stichproben
      • Wahl des Stichprobenumfangs
  • Regressionsrechnung (Regressionsschätzer)
    • Einleitung zu Regressionsrechnung (Regressionsschätzer)
  • Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)
    • Einleitung zu Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)
    • Aufgaben 6 bis 10 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 11 bis 15 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 16 bis 20 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 21 bis 25 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 26 bis 30 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 31 bis 35 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 36 bis 40 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 41 bis 45 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 46 bis 50 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 51 bis 55 zur Stichprobentheorie
  • 40
  • 24
  • 144
  • 21
einmalig 49,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Stichprobentheorie

    Ein Kursnutzer am 28.12.2015:
    "sehr gut erklärt und vorgelesen "

  • Gute Bewertung für Stichprobentheorie

    Ein Kursnutzer am 04.07.2015:
    "super kurs"

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen