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Stichprobentheorie - Schätzfunktionen

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Stichprobentheorie

Schätzfunktionen

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Video: Schätzfunktionen

Im Falle, dass ein Parameter (z.B. Erwartungswert $\mu$) einer Grundgesamtheit unbekannt ist, so kann dieser anhand einer einfachen Stichprobe geschätzt werden. Eine einfache Stichprobe liegt vor, falls alle Objekte unabhängig voneinander gezogen werden. 

Schätzfunktionen

Für das Schätzen eines unbekannten Parameters in einer Grundgesamtheit werden Schätzfunktionen verwendet.

Diese Schätzfunktionen haben als Zusatz das Zeichen “^“. Dieses steht immer über der Funktion. Die Funktion $\hat{\mu }$ ist eine Schätzfunktion für den wahren Wert $\mu$.

Die im folgenden dargestellten Schätzfunktionen müssten mit Großbuchstaben gekennzeichnet werden, d.h. $\Sigma$ statt $\sigma $. Aus didaktischen Gründen werden kleine Buchstaben verwendet.

Parameter der Grundgesamtheit und zugehörige Schätzfunktion

Parameter der Grundgesamtheit

Schätzfunktion hierfür

$\mu$

p

bei binomialverteilter Grundgesamtheit

$\sigma ^2$

$\hat{\mu }=\overline X=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i$

$\hat p=\overline X=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i$

$\hat{\sigma }^2=\frac 1 n\sum _{i=1}^n(X_i-\mu )^2$

$\hat{\sigma }^2=S^2=\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline X)^2$

$\hat{\sigma }^2=\hat p(1-\hat p)$

bei binomialverteilter Grundgesamtheit

Beispiel

Beispiel

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In einer Jugendherberge möchte der Herbergsvater wissen, wieviel wöchentliches Taschengeld die Minderjährigen zur Verfügung haben. Dazu befragt er vier zufällig ausgewählte Jugendliche. Die Höhe des Taschengeldes des Jugendlichen 1 sei $x_1$, die des zweiten $x_2$, die des dritten $x_3$ und die des vierten $x_4$.
Folgende Werte ergeben sich aus der Stichprobe.
 $x_1=5\text{€},$ $x_2=7\text{€},$ $x_3=9\text{€},$ $x_4=20\text{€}.$

Das arithmetische Mittel ist gegeben durch die Formel: $\overline x=\frac 1 n\sum _{i=1}^nx_i.$ Hier ist n = 4, da die Stichprobe aus vier Beobachtungen besteht.

Konkret ergibt sich dann für das arithmetische Mittel:
$\hat{\mu }=\overline x=\frac 1 4\sum _{i=1}^4x_i=\frac 1 4(x_1+x_2+x_3+x_4)=\frac 1 4(5\text{€}+7\text{€}+9\text{€}+20\text{€})=\frac{41\text{€}} 4=10,25\text{€}$.

Damit ergibt sich für die Schätzung für das durchschnittliche Taschengeld aller jugendlichen Gäste der eben berechnete Wert. Dieser lautet 10,25 €.

Merke

Merke

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Jede Schätzung, die man anhand der Stichprobe bestimmt, kann vom tatsächlichen Parameterwert der Grundgesamtheit deutlich abweichen.

Beispiel 2 (Ergänzung zum ersten Beispiel)

Beispiel

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Es ist auch möglich, die Standardabweichung $sigma$ der Grundgesamtheit zu schätzen. Dies geschieht erwartungstreu mittels der Formel:
$\hat{\sigma }=S=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline X)^2}.$ Da n = 4 und $\overline x=10,25$ führt dies zu: $\hat{\sigma }=s=\sqrt{\frac 1{4-1}\sum _{i=1}^4(x_i-\overline x)^2}.$
Wenn wir die gegebenen Werte einsetzen erhalten wir:
$\sqrt{\frac 1{4-1}(x_1-\overline x)^2+(x_2-\overline x)^2+(x_3-\overline x)^2+(x_4-\overline x)^2}$

= $\sqrt{\frac 1{4-1}(5-10,25)^2+(7-10,25)^2+(9-10,25)^2+(20-10,25)^2}$

= 6,702.

Wirksamkeit von Schätzfunktionen

Video: Schätzfunktionen

Wirksamkeit von Schätzfunktionen - Varianzberechnung

Video: Schätzfunktionen