Inhaltsverzeichnis
Ist eine Kenngröße unbekannt, wie beispielsweise der Erwartungswert, ist es möglich diesen mit Hilfe einer einfachen Stichprobe zu schätzen.
Merke
Von einer einfachen Stichprobe ist dann die Rede, wenn alle Objekte losgelöst voneinander 'gezogen' werden.
Schätzfunktionen
Im Falle eines unbekannten Parameters in einer Grundgesamtheit, können Schätzfunktionen zum Einsatz kommen. Die Schätzfunktionen werden durch den Zusatz des Zeichens „^“ komplementiert, welches immer über der Funktion steht. Die Schätzfunktion $\hat{\mu }$ steht somit für den tatsächlichen Wert $\mu$.
Hinweis
Die nachfolgenden Schätzfunktionen werden aus didaktischen Gründen nicht mit Großbuchstaben versehen, sondern klein geschrieben, z.B. $\sigma $.
Parameter der Grundgesamtheit und die entsprechende Schätzfunktion
Parameter der Grundgesamtheit | dazugehörige Schätzfunktion |
|---|---|
$\mu$ p bei binomialverteilter Grundgesamtheit $\sigma ^2$ | $\hat{\mu }=\overline X=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i$ $\hat p=\overline X=\frac 1 n\sum _{i=1}^nX_i$ $\hat{\sigma }^2=\frac 1 n\sum _{i=1}^n(X_i-\mu )^2$ $\hat{\sigma }^2=S^2=\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline X)^2$ $\hat{\sigma }^2=\hat p(1-\hat p)$ bei binomialverteilter Grundgesamtheit |
Beispiel
Anlässlich der anstehenden Klassenfahrt befragt der Lehrer die Achtklässler, wie viel Taschengeld sie wöchentlich erhalten. Zur Ermittlung des Durchschnittswerts werden willkürlich vier verschiedene Schüler befragt. Dabei beträgt die Summe des ersten Schülers $x_1$, des zweiten $x_2$, des dritten $x_3$ und des vierten $x_4$.
Aus der Stichprobe ergeben sich folgende Werte:$x_1=5\text{€},$ $x_2=7\text{€},$ $x_3=9\text{€},$ $x_4=20\text{€}.$
Die Formel enthält das arithmetische Mittel: $\overline x=\frac 1 n\sum _{i=1}^nx_i$
Da die Stichprobe aus der Befragung von vier Schülern einhergeht, ist n = 4.
Das genaue arithmetische Mittel ergibt sich daraus wie folgt:
$\hat{\mu }=\overline x=\frac 1 4\sum _{i=1}^4x_i=\frac 1 4(x_1+x_2+x_3+x_4)=\frac 1 4(5\text{€}+7\text{€}+9\text{€}+20\text{€})=\frac{41\text{€}} 4=10,25\text{€}$.
Das Ergebnis der Schätzung beträgt 10,25 € und repräsentiert daher den durchschnittlichen, wöchentlichen Taschengeldbetrag der SchülerInnen.
Merke
Erhebliche Abweichungen vom tatsächlichen Parameterwert der Grundgesamtheit können in jeder Stichprobenschätzung entstehen.
Ergänzung zum Beispiel
Die Parameterwerte $sigma$ der Grundgesamtheit können allerdings auch mit Hilfe der Formel geschätzt werden: $\hat{\sigma }=S=\sqrt{\frac 1{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline X)^2}.$ Da n = 4 und $\overline x=10,25$ führt dies zu: $\hat{\sigma }=s=\sqrt{\frac 1{4-1}\sum _{i=1}^4(x_i-\overline x)^2}.$
Werden die ermittelten Werte eingesetzt, so ergibt sich:
$\sqrt{\frac 1{4-1}(x_1-\overline x)^2+(x_2-\overline x)^2+(x_3-\overline x)^2+(x_4-\overline x)^2}$
= $\sqrt{\frac 1{4-1}(5-10,25)^2+(7-10,25)^2+(9-10,25)^2+(20-10,25)^2}$
= 6,702.
Wirksamkeit von Schätzfunktionen
Zum näheren Verständnis des Kriteriums der Wirksamkeit im Rahmen der Berechnung von Erwartungswerten sowie Varianzen soll das folgende Beispielvideo die Thematik etwas veranschaulichen:
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