wiwiweb
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Stichprobentheorie
Den Kurs kaufen für:
einmalig 49,00 €
Zur Kasse

Testverteilungen

WebinarTerminankündigung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Diskrete und stetige Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gehen wir darauf ein, welche diskreten und stetigen Verteilungen Sie in der Prüfung beherrschen müssen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Testverteilungen

Wir lernten mittels Konfidenzintervallen und Hypothesentests in der Anwendung einige Testverteilungen kennen.

Aus Vollständigkeitsgründen werden nun einige Verteilungen vorgestellt.

Chi-Quadrat-Verteilung

Seien $X_1,X_2,X_3,...,X_n$ unabhängige und jeweils standardnormalverteilte Zufallsvariablen. Dann heißt die Zufallsvariable $Y=\sum _{i=1}^nX_i^2$

Chi-quadrat verteilt mit n Freiheitsgraden. Dies können wir durch die Notation $Y\text{\~{}}\chi ^2(n)$ zu n Freiheitsgraden abkürzen.

Für den Erwartungswert und die Varianz einer Chi-quadrat-verteilten Zufallsvariablen ergeben sich folgende Werte

Erwartungswert: E(Y) = n

Varianz: VAR(Y) = 2n.

Ab n > 100 besteht die Möglichkeit, die Chi-quadrat-Verteilung durch die Normalverteilung, mit den Paramteren $n\text{ und }\sqrt{2n},$ hinreichend genau zu approximieren. In diesem Fall schreibt man für die betreffende Zufallsvariable Y:

$Y\text{\~{}}N(n;\sqrt{2n})$ ab n >100.

Beachte

Merke

Ab n > 100 besteht die Möglichkeit, die Chi-quadrat-Verteilung durch die Normalverteilung, mit den $n\text{ und }\sqrt{2n},$ hinreichend genau zu approximieren. In diesem Fall schreibt man für die betreffende Zufallsvariable Y: $Y\text{\~{}}N(n;\sqrt{2n}).$ Nimmt n nur Werte zwischen 30 und 100 an, so besteht die Möglichkeit, dass die Fraktile der Chi-Quadrat-Verteilung angenähert werden durch: $x_{\alpha }=0,5\left(x_{\alpha }^{'}+(2n-1^{0,5})\right)^2.$ Hier ist $x_{\alpha }^{'}$ das entsprechende Fraktil der Standardnormalverteilung N(0;1).

T-Verteilung

Es seien folgende Bedingungen efüllt:

  • Die Zufallsvariable Z sei normalverteilt, d.h. Z~N(0;1) und die Zufallsvariable

    Y sei Chi-Quadrat-verteilt mit n Freiheitsgraden $Y\text{\~{}}\chi ^2(n)$.

  • Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig.

    Dann heißt die Zufallsvariable $T=\frac Z{\sqrt{\frac 1 nY}}$ t(n)-verteilt. Dies wird abgekürzt durch die Schreibweise T~ t(n).

Beachte

Merke

Die Dichefunktion der t-Verteilung ist symmetrisch zur Ordinate (y-Achse). Für n > 30 kann diese Dichtefunktion durch die Standardnormalverteilung N(0;1) approximiert werden

Für den Erwartungswert und die Varianz gilt: 

E(T) = 0 und $\mathit{VAR}(T)=\frac n{n-2},$ wobei für die Varianz n > 2 vorausgesetzt werden muss.

F-Verteilung

Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen. Des Weiteren gelte: $X\text{\~{}}\chi ^2(m)$ $Y\text{\~{}}\chi ^2(n).$

Dann ist die Zufallsvariable H=\frac{\frac 1 mX}{\frac 1 nY} F – verteilt mit den Freiheitsgraden m und n. Dies wird abgekürzt durch: H ~ F(m;n).

Für den Erwartugswert und die Varianz ergeben sich folgende Werte:

$E(H)=\frac n{n-2}\text{für}n>2$ $\mathit{VAR}(H)=\frac{2n^2(n+m-2)}{m(n-4)(n-2)^2},\text{für}n>4.$

Aufgaben zur Testtheorie

Aufgabe 1

Ein Bauer stellt fest, dass das Erntegewicht in [Gramm] von Äpfeln einer speziellen Sorte vom Klima abhängig ist. Das Erntegewicht der Äpfel werde beschrieben durch die Zufallsvariablen $X_1,...,X_n,$ welche unabhängig identisch verteilt sind. Er weiß aus langjähriger Erfahrung, dass das Gewicht einer $N(\mu ,100)$-Verteilung folgt. Seine Abnehmer sind der festen Überzeugung, dass das Gewicht der Äpfel durchschnittlich kleiner als 100 g ist. Es wird aus der GG der Äpfel eine einfache Stichprobe vom Umfang n = 30 gezogen. Dabei haben sich folgende Werte in Gramm ergeben: (105, 103, 107, 105, 105, 102, 109, 104, 104, 103, 106, 106, 107, 100, 111, 110, 102, 108, 99, 103, 101, 103, 109, 106, 104, 104, 101, 106, 107, 110). Führe den entsprechenden Test durch um zu entscheiden, ob die Abnehmer richtig liegen. Das Signifikanzniveau ist $\alpha =0,0401.$

Lösung:

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?

Antwort: Es liegt nach Voraussetzung eine einfache Stichprobe vom Umfang n = 30 vor.

Folgerung: Das heißt Schema a).

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?

Antwort: Die Hypothese der Abnehmer bezieht sich auf das durchschnittliche Gewicht der Äpfel in Gramm, d.h. auf die Größe $\mu$.

Folgerung: Es kommen Tests 3.2.1 bis 3.2.4 in Betracht.

3. Frage: Wie ist die Grundgesamtheit verteilt ?

Antwort: Die Grundgesamtheit ist nach Aufgabenstellung normalverteilt.

Folgerung: Entweder Test 3.2.1 oder Test 3.2.2.

4. Frage: Ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ?

Antwort: Ja. $\sigma = 10$.

Folgerung: Also Test 3.2.1 (Einstichproben Gaußtest).

  1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

    Anhand der uns gestellten Fragen haben wir gerade festgestellt, dass die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.

  2. Schritt: Hypothesenwahl

    Die Abnehmer behaupten, dass das durchschnittliche Gewicht kleiner als 100 g ist, d.h.
    b) $H_0:\mu \geqslant 100$ gegen $H_1:\mu <100$

  3. Schritt: Signifikanzniveau

    Nach Aufgabenstellung beträgt das Signifikanzniveau $\alpha = 0,0401$.

  4. Schritt: Testfunktionswert

    Berechnung des Testfunktionswertes: $\text v=\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n.$}

    Anhand der Stichprobe ergibt sich folgender Mittelwert.

    $\overline x=\sum _{i=1}^{30}\frac{X_i}{30}=\frac{105+...+101+...+110}{30}=105.$
    Also $\text v=\frac{105-100}{10}\sqrt{30}=0,548\ast 5\approx 2,74.$

  5. Schritt: Verwerfungsbereich

    Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl gewählt.

    Es ist. $z_{1-\alpha }=z_{1-0,0401}=z_{0,9599}=1,75.$

    Somit lautet der Verwerfungsbereich: $B=\text (-\infty ;-1,75\text ).$

  6. Schritt: Testentscheidung

    $H_0$ wird nicht verworfen, da $\text v=2,74\notin \mathit{B.}$

Interpretation

Auf einem Signifikanzniveau von 4,01 % kann nicht widerlegt werden, dass das Durchschnittliche Gewicht der Äpfel größer gleich 100 g ist.

Aufgabe 2

Ein Großunternehmen unterstellt einem Unternehmen A, dass seine 300-Gramm-Packungen Weingummi im Durchschnitt auf keinen Fall 300 g wögen. Um den Beweis dafür zu liefern, dass dies nicht so ist, führt das Großunternehmen A einen Test durch. Von nun an stellen die Zufallsvariablen $X_1,...,X_n,$ das Gewicht von Einzelpackungen in [Gramm] dar. Aus Erfahrung ist bekannt, dass die Zufallsvariablen $X_1,...,X_n,$ unabhängig identisch $N(\mu ;\sigma^2 )$-verteilt sind, wobei sowohl $\mu$ als auch $\alpha$ unbekannt sind. Das Unternehmen A wählt eine einfache Stichprobe von n = 12 Packungen. Dabei ergaben sich folgende Stichprobenwerte: (298, 293, 300, 299, 301, 299, 302, 295, 303, 297, 298, 291). Beide Unternehmen verständigen sich auf ein Signifikanzniveau von $\alpha = 0,0,5$. Führen Sie den entsprechenden Test durch, um zu entscheiden, ob das Großunternehmen A falsche Angaben bezüglich des Gewichts der Weingummi Packungen macht.

Lösung:

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?

Antwort: Es liegt nach Voraussetzung eine einfache Stichprobe vom Umfang n = 12 vor.

Folgerung: Schema a).

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?

Antwort: Die Hypothese des Großunternehmens bezieht sich auf das durchschnittliche Gewicht der Weingummi Packungen, d.h. die Größe $\mu$.

Folgerung: Es kommen Tests 3.2.1 bis 3.2.4 in Betracht.

3. Frage: Wie ist die Grundgesamtheit verteilt ?

Antwort: Die Grundgesamtheit ist nach Aufgabenstellung normalverteilt.

Folgerung: Entweder Test 3.2.1 oder Test 3.2.2.

4. Frage: Ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ?

Antwort: Nein, nach Aufgabenstellung.

Folgerung: Test 3.2.2 (Einstichproben t-Test).

  1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

    Ja, sie sind erfüllt. Dies haben wir gerade festgestellt

  2. Schritt: Hypothesenwahl

    Das Großunternehmen behauptet das die Weingummi Packungen

    durchschnittlich nicht 300 g wögen, d.h.
    a) $H_0:\mu =300$ gegen $H_1:\mu \neq 300$
    An dieser Stelle sehen wir, dass es sich um einen zweiseitigen Test handelt.

  3. Schritt: Signifikanzniveau

    Das Signifikanzniveau ist: $\alpha = 0,05$.

  4. Schritt: Testfunktionswert

    Berechnung des Testfunktionswertes: $\text v=\frac{\overline x-\mu _0} s\sqrt n.$

    Es ist: $\overline x=\frac 1{12}\sum _{i=1}^{12}X_i=\frac 1{12}(298+293+...+291)=298.$

298

298

0

293

298

-5

300

298

-2

299

298

1

301

298

3

299

298

1

302

298

4

295

298

-3

303

298

5

297

298

-1

298

298

0

291

298

-7

$s^2=\frac 1{11}\sum _{i=1}^{12}(X_i-\overline x)^2=\frac 1{11}(0+(-5)^2+(-2)^2+...+(-7)^2)=\frac{140}{11}\approx 12,7.$

Also erhalten wir für den Testfunktionswert: $\text v=\frac{(298-300)}{\sqrt{12,7}}\sqrt{12}\approx -1,94.$

5. Schritt: Verwerfungsbereich

Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl gewählt.

Zunächst ist: $t_{1-\frac{\alpha } 2}=t_{0,975}=2,1778\approx 2,2.$

$B=\text (-\infty ;-2,2\text )\cup \text (2,2;\infty \text )$

6. Schritt: Testentscheidung

Die Nullhypothese kann nicht verworfen werden, da -1,94 $\text v\notin \mathit{B.}$

Interpretation:

Auf einem Signifikanzniveau von fünf Prozent kann nicht gezeigt werden, dass das Unternehmen A den Sollwert von 300 g nicht einhält..

Aufgabe 3

Die Zufallsvariablen $X_1,...,X_n,$ bezeichnen nun die beim mehrfachen wiegen eines Probekörpers mit einer hoch empfindlichen Feinwaage geringfügig unterschiedlichen Messwerte in [Mikrogramm]. Des Weiteren seien diese unabhängig identisch $N(\mu ;\sigma ^2)$ -verteilt. Die Parameter $\mu $ und $\sigma ^2$ sind unbekanntAnhand eines Tests soll nun festgestellt werden, ob die vom Hersteller für Messungen angegebene Varianz $\sigma ^2=100$ haltbar ist. Viele Produktnutzer behaupten, dass die Varianz auf keinen Fall $\sigma ^2=100$ ist. Es wird eine Stichprobevom Umfang n = 16 Wägungen des festen Probekörpers in [Mikrogramm] gewählt. Dabei ergeben sich folgende Stichprobenwerte. Notiert wurden dabei die Streuungen bzw. Abweichungen untereinander. $\text{(das erste gemessene Gewicht war}x_1\text{):}$

$x_1,x_1-9,x_1+5,x_1-6,x_1+29,x_1+15,x_1+27,x_1,x_1+21,x_1+17,x_1-4,x_1+23,x_1-12,$
$x_1+11,x_1+20,x_1+7.$

Es wird folgendes Signifikanzniveau für angebracht gehalten: $\alpha = 0,0,5.$

Lösung:

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?

Antwort: Es liegt nach Voraussetzung eine einfache Stichprobe vom Umfang n = 16 vor.

Folgerung: Schema a).

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?

Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf die vom Hersteller angegebene Varianz, d.h. den Parameter $\sigma^2$.

Folgerung: Test 3.2.6 unter Vorbehalt.

3. Frage: Wie ist die Grundgesamtheit verteilt ?

Antwort: Die Grundgesamtheit ist nach Aufgabenstellung normalverteilt.

Folgerung: Definitiv Test 3.2.6 (Chi – Quadrat – Test für die Varianz).

  1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

    Wir stellten gerade fest, dass die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind..

  2. Schritt: Hypothesenwahl.

    Einige Produktnutzer behaupten, dass die Varianz auf keinen Fall gleich 100 ist, d.h.

    a) $H_0:\sigma ^2=\sigma _0^2=100$ gegen $H_1:\sigma ^2\neq \sigma _0^2.$

  3. Schritt: Signifikanzniveau

    Nach Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,05$.

  4. Schritt: Testfunktionswert

    Berechnung des Testfunktionswertes, wobei $\mu$ unbekannt:

    Für $\overline x$ erhalten wir: $\overline x=\frac 1{16}(x_1+x_1-9+x_1+5+...+x_1-12+x_1+11)=x_1+9.$

    $\text v=\frac{\sum _{i=1}^{16}(x_i-\overline x)^2}{\sigma _0^2}$

    $\text{ }\text =\frac{\left((-9)^2+(-18)^2+(-4)^2+(-15)^2+20^2+6^2+18^2+12^2+8^2+..+(-2)^2\right)}{100}=\frac{2630}{100}=26,3.$

  5. Schritt: Verwerfungsbereich

    Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl gewählt, d.h.

    Es ist x das jeweilige Fraktil der- Verteilung, d.h. $B=\left[0;x_{\frac{\alpha } 2}\right)\cup \left(x_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \right).$
    Es ist x das Fraktil der $\chi ^2(n-1)${}- Verteilung, d.h. $x_{0,025}(15)=6,262\text{und}x_{0,975}(15)=27,488.$ und somit $B=\text (0;6,262\text )\cup \text (27,488;\infty \text )$

  6. Schritt: Testentscheidung

    $H_0$ wird nicht verworfen, da $\text v\notin \mathit{B.}$

Interpretation

Auf einem Signifikanzniveau von 5% kann nicht gezeigt werden, dass die Varianz der Waage nicht $100g^2$ ist. Die Nullhypothese wird somit akzeptiert.

Aufgabe 4

Eine Bevölkerungsumfrage aus dem Jahr 1990 ergab, dass 43,5% der insgesamt 3000 Befragten für eine der damaligen Regierungsparteien stimmen wollten. Kann anhand dieser Stichprobe behauptet werden, dass die Regierungsparteien zum damaligen Zeitpunkt über eine absolute Mehrheit der Stimmen der Bevölkerung verfügten ? Das Signifikanzniveau beträgt 5%.

Lösung:

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?

Antwort: Es liegt nach Voraussetzung eine einfache Stichprobe vom Umfang n = 3000 vor.

Folgerung: Schema a).

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?

Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf den Anteil p der Wähler, die für die Regierungsparteien waren, also den Parameter p.

3. Frage: Wie ist die Grundgesamtheit verteilt ?

Antwort: Wir können von einer Binomialverteilung ausgehen, da die Grundgesamtheit nach Aufgabenstellung dichotom ist. (Entweder hat der Wähler für die Regierungsparteien gewählt oder nicht.)

Folgerung: Test 3.2.5.

  1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

    Es gilt: $3000\ast 0,435=1305\geqslant 5\text{   }\text{und}\text{   }3000\ast 0,435\leqslant 3000-5=2995.$

    Wir stellen fest, dass sämtliche Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.

  2. Schritt: Hypothesenwahl.
    c) $H_0:p\leqslant p_0=50\text{%}.$ Der Stimmenanteil der Regierungsparteien in der Bevölkerung p ist kleiner oder gleich 50 %. gegen $H_1:p>50\text{%}.$ Der Stimmenanteil der Regierungsparteien in der Bevölkerung p ist größer als 50 Prozent. Somit hätten sie mehr als 50 % der Stimmen.

  3. Schritt: Signifikanzniveau

    Nach Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,05$.

  4. Schritt: Testfunktionswert
    Berechnung des Testfunktionswertes. $\text v=\frac{0,435-0,5}{\sqrt{0,5(1-0,5)}}\ast \sqrt{3000}=-7,12.$

  5. Schritt: Verwerfungsbereich

    Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl gewählt, d.h $B=(z_{1-\alpha };\infty )$

    Das 0,95-Fraktil der Standardnormalverteilung ist gegeben zu: $z_{0,95}=1,65.$ Also $B=(1,65;\infty )$

  6. Schritt: Testentscheidung

    Da $\text v=-7,12\notin B=\text (1,65;\infty \text )$ wird $H_0$ nicht verworfen

Interpretation.

Auf einem Signifikanzniveau von 5% kann nicht widerlegt werden, dass die Regierungsparteien zum damaligen Zeitpunkt weniger oder gleich viele Stimmen wie 50 % hatten.

Aufgabe 5

(Qualitätskontrolle) Unterscheidet sich die mittlere Länge spezieller Leitplanken in einer einfachen Stichprobe vom Umfang n = 58 signifikant $(\alpha =0,05)$ vom Sollwert μ = 8,5 [m], so soll die Produktion gestoppt werden. In diesem Fall müssen die Einstellungen kontrolliert werden. Die 58 Messwerte der Stichprobe ergaben $\overline x=9\text{[m]}$ und s = 0,4 [m]. Es ist ein entsprechender Test durchzuführen, um eine Aussage über die Wartung zu machen.

Lösung:

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?

Antwort: Es liegt nach Voraussetzung eine einfache Stichprobe vom Umfang n = 58 vor.

Folgerung: Schema a).

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?

Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf einen Parameter.

Folgerung: Tests 3.2.1 bis 3.2.5.

3. Frage: Welcher Parameter liegt vor ?

Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf den Parameter

Folgerung: Tests 3.2.1-3.2.4.

4. Frage: Wie ist die Grundgesamtheit verteilt ?

Antwort: Es ist nicht bekannt, wie die Grundgesamtheit verteilt ist.

Folgerung: Test 3.2.3 oder 3.2.4.

5. Frage: Ist die Standardabweichung bekannt ?

Antwort: Nein, nach Aufgabenstellung. Die Stichprobenvarianz ist dagegen bekannt.

Folgerung: Test 3.2.4.

  1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

    Es ist 58 > 30, womit die Anwendungsvoraussetzungen erfüllt sind.

  2. Schritt: Hypothesenwahl.
    a) $H_0:\mu =8,5$ gegen $H_1:\mu \neq 8,5.$

  3. Schritt: Signifikanzniveau

    Nach Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,05$.

  4. Schritt: Testfunktionswert

    Berechnung des Testfunktionswertes. $\text v=\frac{9-8,5}{0,4}\ast \sqrt{58}=9,51.$

  5. Schritt: Verwerfungsbereich

    Das $1-\frac{\alpha } 2=1-0,025=0,975$-Fraktil der Standardnormalverteilung ist gegeben zu: $z_{0,975}\approx 1,96.$

    Somit ist bei Berücksichtigung der Hypothesenwahl $B=(-\infty ;-1,96)\cup (1,96;\infty )$

  6. Schritt: Testentscheidung

    Da $\text v=9,51\in B$ wird $H_0$ verworfen.

Interpretation

Auf einem Signifikanzniveau von 5% weicht die mittlere Länge der speziellen Leitplanken signifikant vom Sollwert 8,5 m ab. Die Produktion sollte sofort gestoppt werden, um die Einstellungen zu kontrollieren.

Aufgabe 6

Es soll getestet werden, ob sich der jeweils erste Wurf zweier Stämme einer Mausgattung hinsichtlich ihrer Wurfgewichte (in g) unterscheidet. Die Stämme werden mit A und B bezeichnet. Für beide Stämme wurde jeweils eine einfache Stichprobe entnommen. 

Bei Stamm A ergab sich ein Wurf vom \ Umfang $n_1=16$ und bei Stamm B ein Wurf vom Umfang von $n_2=14.$

Stamm A

Stamm B

$\overline x=17,5$ $\overline y=15$
$s_x=4$ $s_y=3$
$n_1=16$ $n_2=14$

Es kann angenommen werden, dass die Werte des Stammes A aus einer $N(\mu _x;\sigma ^2)$ −verteilten Grundgesamtheit und die Werte des Stammes B aus einer $N(\mu _y;\sigma ^2)$ −verteilten Grundgesamtheit entnommen wurden. Es soll nun zum Niveau $\alpha = 0,05$ getestet werden, ob das mittlere Wurfgewicht nicht vom Stamm abhängt.

Lösung:

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?

Antwort: Es liegen nach Voraussetzung zwei einfache Stichproben vor. Es ist $n_1=16\text{und}n_2=14.$

Folgerung: Schema b).

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?

Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf den Vergleich der Parameter $\mu _1\text{   }\mathit{und}\text{   }\mu _2.$

Erinnerung: Es liegen zwei unabhängige Stichproben vor.

Folgerung: Folgende Tests können von nun an betrachtet werden Tests: 3.3.1 bis 3.3.3.

3. Frage: Wie sind die Grundgesamtheiten verteilt ?

Antwort: Die Grundgesamtheiten sind normalverteilt.

Folgerung: Tests 3.3.1 oder 3.3.2.

4. Frage: Ist die Standardabweichung der Grundgesamtheiten bekannt ?

Antwort: Nein, nach Aufgabenstellung. Aber es ist $\sigma _1=\sigma _2.$

Folgerung: Test 3.3.2 (Zweistichproben t -Test).

  1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

    Sämtliche Voraussetzungen sind erfüllt.

  2. Schritt: Hypothesenwahl

    a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2.$

  3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus

    Nach Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,05$.

  4. Schritt: Testfunktionswert

    Es ist $\text v=\frac{\overline x_1-\overline x_2}{\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\frac{n_1+n_2}{n_1n_2}}}=\frac{17,5-15}{\sqrt{\frac{(16-1)16+(14-1)9}{16+14-2}\frac{16+14}{16\ast 14}}}=\frac{2,5}{\sqrt{\frac{15\ast 16+13\ast 9}{28}\frac{30}{224}}}.$

    $\text v=\frac{2,5}{\sqrt{\frac{357}{28}\frac{30}{224}}}\approx 1,91.$

  5. Schritt: Verwerfungsbereich

    $B=\text (-\infty ;-t_{1-\frac{\alpha } 2}\text )\cup .\text (t_{1-\frac{\alpha } 2};\infty \text )$
    $t_{1-\frac{\alpha } 2}(28)=t_{0,975}(28)=2,0484.$
    Also ist $B=\text (-\infty ;-2,0484\text )\cup \text (2,0484;\infty \text )$

  6. Schritt Testentscheidung

    Die Hypothese $H_0$ kann nicht verworfen werden, da $\text v\notin \mathit{B.}$

Interpretation

Auf einem Signifikanzniveau von 5% kann nicht widerlegt werden, dass die Wurfgewichte der beiden Stämme sich signifikant unterscheiden.

Aufgabe 7

Ein Unternehmer ist mit seiner Abfüllmaschine unzufrieden. Er sieht auf einer Messe eine neue Maschine. Deren Angaben sind wesentlich lukrativer als die der seinigen Maschine. Dies sieht er als Anlass zu prüfen, ob die neue Maschine präziser ist als seine. Es ist bekannt, dass die alte Maschine bei Einstellung des Sollgewichts um sechs Gramm streut. Nun testet er die neue Maschine. Bei fester Einstellung des Sollgewichts wird anhand einer einfachen Stichprobe von n = 20 jeweils das Füllgewicht gemessen. Das notierte Füllgewicht wird mit $(X_1,...,X_n)$ bezeichnet. Es kann angenommen werden, dass das Füllgewicht \ normalverteilt ist. Aus dem Stichprobenergebnis ergeben sich folgende Werte: $s^2=22,18g^2,(\text{also} s=\sqrt{22,18g^2}=4,7g.)$

Ein Signifikanzniveau von 2,5 % wird für angebracht gehalten. Nun stellt sich die Frage, ob die Streuung der neuen Maschine geringer ist als die der alten Maschine. Führen Sie den entsprechenden Test durch, um zu einer Entscheidung zu gelangen.

Lösung:

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?

Antwort: Es liegt nach Voraussetzung eine einfache Stichprobe vom Umfang n = 20 vor.

Folgerung: Somit können wir uns Schema a) zuwenden.

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?

Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf die Streuung der Maschinen, also den Parameter $\sigma^2$.

Folgerung: Test 3.2.6 unter Vorbehalt.

3. Frage: Wie sind die Grundgesamtheiten verteilt ?

Antwort: Die Grundgesamtheit ist nach Voraussetzung normalverteilt.

Folgerung: Definitiv Test 3.2.6.

  1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen
    Diese sind, wie gerade festgestellt, erfüllt.

  2. Schritt: Hypothesenwahl
    b) $H_0:\sigma ^2\geqslant 36$ gegen $H_1:\sigma ^2<36$

  3. Schritt: Signifikanzniveau
    $\alpha =2,5\text{\%}=0,025.$

  4. Schritt: Testfunktionswert

    Da $\mu $ unbekannt: $\text v=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline x)^2}{\sigma _0^2}=(n-1)\frac{s^2}{\sigma _0^2}=(20-1)\frac{22,18}{36}=11,71.$

  5. Schritt: Verwerfungsbereich

    Der Verwerfungsbereich wird in Anlehnung an die Hypothesenwahl gewählt, d.h. $B=\text [0;x_{\alpha }\text )$

    Es ist x das jeweilige Fraktil der $\chi ^2(n-1)${}-Verteilung, da $\mu $ unbekannt ist.

    Wir erhalten für das Signifikanzniveau 0,025: $x_{0,025}(19)=8,907.$

    Also $B=\text [0;8,907\text ).$

  6. Schritt: Testentscheidung

    $H_0$ wird nicht verworfen, da $\text v\notin \mathit{B.}$

Interpretation:

Auf einem Signifikanzniveau von 2,5 % kann nicht angenommen werden, dass die Streuung der neun Maschine kleiner ist als die der alten Maschine.

Aufgabe 8

In dieser Übungsaufgabe interessiert uns der Zusammenhang zwischen täglicher Fahrzeit (Y) und Geschlecht (X ): Wir gehen davon aus. dass eine einfache Zufallsstichprobe von n = 1985 Berufstätigen in Bochum folgende Daten einer Kontingenztabelle liefert:

(x) Geschlecht (y) Fahrzeit

$y<30$

$30\leqslant y\leqslant 60$

$60<y$

männlich

500

422

241

weiblich

485

223

114

Gibt es eine Abhängigkeit zwischen X und Y ? Führen Sie den entsprechenden Test durch, um zu einer Entscheidung zu gelangen. Es besteht eine Unsicherheit von 2,5 %.

Lösung:

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?

Antwort: Es liegen zwei verbundene Stichproben vor, da das Geschlecht (x) und die Fahrzeit (y) in Minuten voneinander abhängen. 

Folgerung: Somit können wir uns Schema c) zuwenden.

2. Frage: Was soll getestet werden ?

Antwort: Test auf Unabhängigkeit bei unbekannt verteilter Grundgesamtheit.

Folgerung: Test 3.4.4 kommt zur Anwendung.

Chi-Quadrat-Unabhängigkeits-Test

  1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

    Wir stellten gerade fest, dass diese erfüllt sind.

  2. Schritt: Hypothewsenwahl

    $H_0:$ X, Y sind unabhängig (mit k=2 bzw. r=3 verschiedenen Ausprägungen)
    $H_1:$ X, Y sind abhängig

  3. Schritt: Signifikanzniveau
    $\alpha = 2,5\%$

  4. Schritt: Testfunktionswert

(x) Geschlecht (Y) Fahrzeit in min Randhäufigkeit

$y<30$

$30\leqslant y\leqslant 60$

$60<y$

männlich

500

422

241

1163

weiblich

485

223

114

822

Σ 985

Σ 645

Σ 355

Σ 1985

Nun stellen wir die Häufigkeiten unter der Annahme der Unabhängigkeit dar.

$y<30$

$30\leqslant y\leqslant 60$

$60<y$

männlich

(500)

985*1163/1985=577,1

(422)

645*1163/1985=377,9

(241)

355*1163/1985=207,99

1163

weiblich

(485)

985*822/1985=407,89

(223)

645*822/1985=267,1

(114)

355*822/1985=147

822

Σ 985

Σ 645

Σ 355

Σ 1985

, k = 2, r = 3

$\text v=\frac{(500-577,1)^2}{577,1}+\frac{(422-377,9)^2}{377,9}+\frac{(241-207,99)^2}{207,99}$ $+\frac{(485-407,89)^2}{407,89}+\frac{(223-267,1)^2}{267,1}+\frac{(114-147)^2}{147}=10,3+5,15+5,24+14,58+7,28+7,4=49,95.$

5. Schritt: Verwerfungsbereich:

$B=(x_{1-0,025};\infty )=(x_{0,975};\infty )$

Es liegen zwei Merkmale und drei Ausprägungen vor, d.h. k = 2 und r = 3 und somit

bestimmen wir das 2,5 % Fraktil der $\chi ^2(2)$ - Verteilung. Also $x_{0,975}=7,378.$

6. Schritt: Testentscheidung:

$B=\text (7,378;\infty \text ).$
$H_0$ wird verworfen, da $\text v\in \mathit{B.}$

Interpretation:

Auf einem Signifikanzniveau von 2,5 % hängen die Merkmale Geschlecht und Fahrzeit in Minuten signifikant voneinander ab.

Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Testverteilungen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
Vorstellung des Online-Kurses StichprobentheorieStichprobentheorie
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stichprobentheorie

wiwiweb - Interaktive Online-Kurse (wiwiweb.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Übersicht über auftretende Symbole
    • Einleitung zu Übersicht über auftretende Symbole
  • Schätzen
    • Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu Schätzfunktionen
    • Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Erwartungstreue
    • Asymptotische Erwartungstreue
    • Effizienz
    • Konsistenz
    • Konfidenzintervalle
      • Einleitung zu Konfidenzintervalle
      • Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls
      • Anwendung der Kochrezepte auf Beispiele
      • Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen
      • Notwendiger Stichprobenumfang
  • Testtheorie
    • Einleitung zu Testtheorie
    • Signifikanztests bei einfachen Stichproben
    • Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben
    • Tests bei zwei verbundenen Stichproben
    • Fehlerarten
    • Hypothesenauswahl
      • Einleitung zu Hypothesenauswahl
      • Funktionsweise eines Tests am Beispiel des Einstichproben-Gaußtests
    • Testverteilungen
  • Hochrechnung
    • Einleitung zu Hochrechnung
    • Differenzenschätzung
      • Einleitung zu Differenzenschätzung
      • Verhältnisschätzung (Quotientenschätzer)
    • Klumpen und geschichtete Stichproben
      • Einleitung zu Klumpen und geschichtete Stichproben
      • Geschichtete Stichproben
        • Einleitung zu Geschichtete Stichproben
        • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu geschichteten Stichproben
      • Wahl des Stichprobenumfangs
  • Regressionsrechnung (Regressionsschätzer)
    • Einleitung zu Regressionsrechnung (Regressionsschätzer)
  • Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)
    • Einleitung zu Gemischte Übungsaufgaben zur Stichprobentheorie (Aufgaben 1 bis 5)
    • Aufgaben 6 bis 10 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 11 bis 15 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 16 bis 20 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 21 bis 25 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 26 bis 30 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 31 bis 35 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 36 bis 40 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 41 bis 45 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 46 bis 50 zur Stichprobentheorie
    • Aufgaben 51 bis 55 zur Stichprobentheorie
  • 40
  • 24
  • 144
  • 21
einmalig 49,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Stichprobentheorie

    Ein Kursnutzer am 28.12.2015:
    "sehr gut erklärt und vorgelesen "

  • Gute Bewertung für Stichprobentheorie

    Ein Kursnutzer am 04.07.2015:
    "super kurs"

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen