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Stichprobentheorie

Wahl der Hypothese

Wahl der Hypothese

Bei einem Test stellt sich als erstes die Frage, welche Hypothese zu wählen ist.
Dabei werden drei Möglichkeiten anhand der bereits erwähnten Schemas zur Wahl gestellt (a, b oder c).

Es wird dann a gewählt, wenn aufgrund des Testverlaufs zu entscheiden ist, ob ein Parameter $\Theta $ einen Wert enthält oder nicht. Gesprochen wird dabei von einem zweiseitigen Test, da es bereits ausreicht, die Hypothese zu verwerfen,  wenn die Testfunktion in eine beliebige Richtung abweicht.

Es wird dann b gewählt, wenn Wert darauf gelegt wird, dass ein Parameter $\Theta $ kleiner als ein bestimmter Wert ist.

Es wird dann c gewählt, wenn der Parameter größer als ein spezieller Wert sein soll.

Übungen zur Wahl der Hypothese

  1. Vermutet wird zunächst, dass das mittlere Gewicht einer Mehlpackung (500g) meist geringer ausfällt als angegeben. 
Diese Vermutung soll überprüft werden.

  2. Kam es zu einer Verbesserung der Kundenzufriedenheit?

  3. Entsprechen die Angaben des Benzin-Verbrauchs der Realität?

  4. Sind neue Maschinen genauer als alte?

  5. Besteht bei den Vorzeichen bei Kursänderungen eine Unabhängigkeit?

  6. Handelt es sich um eine Normalverteilung bei den DAX-Tagesrenditen?

  7. Getestet werden soll, ob der Sollwert von 500 g im Durchschnitt eingehalten wird.

  8. Ist es möglich, dass mit Hilfe eines Signifikanzniveaus von 10 % gezeigt werden kann, dass das Abtropfvolumen im Durchschnitt mehr als 100 ml entspricht?

  9. Besteht die Möglichkeit, dass die Hypothese widerlegt werden kann, wenn das Signifikanzniveau 5 % entspricht und die Varianzen beider Stichproben identisch sind?

  10. Zu überprüfen ist, ob in Norwegen (1. Stichprobe) durchschnittlich weniger als in Deutschland (2. Stichprobe) geraucht wird.

Vertiefung

Lösungen:
  1. b) $H_0:\mu _1\geqslant 200$ gegen $H_1:\mu _1<200.$

  2. Hierbei liegt eine Änderung des Anteilswertes p bzw. einer Verteilung vor.

    c) $H_0:p_1\leqslant p_2$ gegen $H_1:p_1>p_2.$

  3. a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2.$

  4. Zu überprüfen ist die Varianz $\sigma ^2$ 

    $H_0:\sigma ^2_1\geqslant \sigma ^2_2$ gegen $H_1:\sigma ^2_1<\sigma ^2_2.$

  5. Zum Zuge kommt hierbei die Durchführung eines Unabhängigkeitstests.

  6. Liegt eine Anpassung an ein Verteilungsmodell vor?

    $H_0:F=F_0$ gegen $H_1:F\neq F_0.$ 
    Der Normalverteilung mit den unbekannten Parametern $\mu ,\sigma ^2$ entspricht $F_0$.

  7. a) $H_0:\mu =500$ gegen $H_1:\mu \neq 500.$

  8. c) $H_0:\mu \leqslant 100$ gegen $H_1:\mu >100.$

  9. a) $H_0:\sigma ^2_1=\sigma ^2_1$ gegen $H_1:\sigma ^2_1\neq \sigma ^2_1.$

  10. b) $H_0:p_1\geqslant p_2$ gegen $H_1:p_1<p_2$

Regel zur Wahl der Hypothese

Merke

Als Alternativhypothese wird das genommen, was angezeigt wird.
Im Interesse steht, ob anhand eines Signifikanzniveaus von 10% zu verdeutlichen ist, ob das Abtropfvolumen im Durchschnitt mehr als 100 ml entspricht.

Gezeigt werden soll, dass der Ausdruck $\mu >100$ als $H_1$ zu wählen ist, da $\mu >100.$
Ein Test kann nie eine Nullhypothese beweisen, weswegen dieses Vorgehen notwendig ist. Es besteht lediglich die Möglichkeit, dass der Test die Nullhypothese verwirft. Genauer gesagt ist darunter zu verstehen, dass die Alternativhypothese statistisch abgesichert wird, wenn es zu einer Verwerfung der Nullhypothese kommt. Wenn die Nullhypothese nicht verworfen wird, kann die Richtigkeit der Nullhypothese allerdings auch nicht aus den Testergebnissen entnommen werden.

Beispielaufgaben zur Testtheorie

Beispiel

1. Beispiel:

Ein Lehrer stellt die Behauptung auf, dass die SchülerInnen der Schule durchschnittlich 58 kg wiegen. Bei einer willkürliche Auswahl von 40 SchülerInnen  (n = 40 SchülerInnen), kommt ein Durchschnittsgewicht von 67 kg zustande.

Es ist vorauszusetzen, dass es sich bei dem Körpergewicht, um eine Normalverteilung handelt und eine Varianz von $\sigma ^2=16[\mathit{kg}^2]$ hat.

Ist es möglich die Behauptung des Lehrers auf der Grundlage des Signifikanzniveaus von $\alpha = 5\%$ zu widerlegen?

 

Wahl des richtigen Tests

1. Wie hoch ist die Anzahl der vorliegenden Stichproben?
-> Es liegt ein einfacher Stichprobenumfang (n = 40) nach Voraussetzung vor.
-> Folglich bedeutet es, dass Schema a) anzuwenden ist.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Die Behauptung des Lehrers zielt auf das Durchschnittsgewicht der SchülerInnen und damit auf den Parameter $\mu$.
-> Folglich bedeutet es, dass die Tests 3.2.1 bis 3.2.4 in Betracht kommen.

3. Wie ist die Verteilung der Grundgesamtheit?
-> Gemäß der Aufgabenstellung ist die Grundgesamtheit normalverteilt.
-> Zur Wahl stehen die Tests 3.2.1 oder 3.2.2.

4. Ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit gegeben ?
-> Ja, denn diese entspricht $\sigma =4\mathit{kg}.$
-> Anzuwenden ist Test 3.2.1.

 

  1. Anwendungsvoraussetzungen
    Es konnte festgestellt werden, dass diese gegeben sind.

  2. Wahl der Hypothese
    Kann die Hypothese des Lehrers widerlegt werden?
    Überprüfe:
    a) $H_0:\mu =58$ gegen $H_1:\mu \neq 58.$
    Es wird ersichtlich, dass ein zweiseitiger Test gegeben ist.

  3. Festlegung des Signifikanzniveaus
    Gemäß der Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,05$.

  4. Testfunktionswert
    $\text v=\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n=\frac{67-58} 4\sqrt{40}=14,23$

  5. Verwerfungsbereich
    B wird in Anlehnung an den 2. Schritt berechnet:
    $z_{1-\alpha }=z_{1-0,05/2}=z_{0,975}=1,96.$
    Der Verwerfungsbereich entspricht: $B=\text (-\infty ;-1,96\text )\cup \text (1,96;\infty \text )$

  6. Testentscheidung
    Weil $\text v\in \mathit{B.}$, 14,23 > 1,96, wird $H_0$ verworfen. 

  7. Deutung
    Es wurde ersichtlich, dass auf der Grundlage des Signifikanzniveaus von 5% abgesichert werden konnte, dass das Durchschnittsgewicht der SchülerInnen keine 58 kg beträgt.

Beispiel

2. Beispiel:

Im Rahmen einer Bundesratssitzung wird die Entscheidung getroffen, dass die Zigarettenmarken dann höher besteuert werden sollen, wenn deren Nikotingehalt im Durchschnitt mindestens zwei Milligramm streut.
Zu Gunsten der Stichprobe, werden 19 Zigaretten innerhalb einer Zigarettenschachtel daraufhin getestet. Daran soll sich zeigen, ob eine Sonderbesteuerung realisierbar ist. Bei der Zigarettenmarke MALE konnten Werte von: 6 * 18mg, 11 * 19 mg, 2*21 mg entnommen werden.
Zu überprüfen gilt, ob die Marke MALE auf einem Signifikanzniveau von 1% besteuert werden muss. Vorausgesetzt wird hier eine normalverteilte Grundgesamtheit.

 

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Gegeben ist ein einfacher Stichprobenumfang (n = 19) nach Voraussetzung.
-> Folglich ist Schema a) anzuwenden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Mit der Hypothese wird die Streuung des durchschnittlichen Nikotingehalts verdeutlicht und bezieht sich auf den Parameter $\sigma .$ Dabei spielt es keine Rolle, ob auf die Streuung $\sigma$ oder die Varianz $\sigma^2$ getestet wird.
-> Folglich ist hier der Test 3.2.6 anzuwenden.

3. Handelt es sich um eine normalverteilte Grundgesamtheit?
-> Ja, denn nach der Aufgabenstellung ist der Test 3.2.6 anzuwenden.

 

Chi – Quadrat – Test für die Varianz

  1. Anwendungsvoraussetzungen
    Es konnte festgestellt werden, dass diese erfüllt sind.

  2. Wahl der Hypothese
    Überprüft werden soll, ob die Sonderbesteuerung rechtmäßig durchgeführt werden kann. Als Alternativhypothese wird das gewählt, was gezeigt werden soll d.h. c) $H_0:\sigma ^2\leqslant 4$ gegen $H_1:\sigma ^2>4.$

  3. Festlegung des Signifikanzniveaus
    Gemäß der Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,01$.

  4. Testfunktionswert
    Da der Erwatungswert nicht bekannt ist, ist folgendes zu berechnen:
    $\text v=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline x)^2}{\sigma _0^2}=(n-1)\frac{s^2}{\sigma _0^2}$
    Somit ergibt sich $\overline x=\frac{6\ast 18+11\ast 19+2\ast 21}{19}=18,8947.$

$X_i$/mg

$\overline x$

$X_i-\overline x$

$(X_i-\overline x)^2$

18

18,8947

-0,8947

0,8

18

18,8947

-0,8947

0,8

18

18,8947

-0,8947

0,8

18

18,8947

-0,8947

0,8

18

18,8947

-0,8947

0,8

18

18,8947

-0,8947

0,8

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

21

18,8947

2,1053

4,43

21

18,8947

2,1053

4,43

   

Σ =13,77

$s^2=\frac 1{19-1}\sum _{i=1}^{19}(X_i-\overline x)^2=\frac 1{18}\ast 13,77=0,765.$
Demnach ist  s = 0,875 und somit $v=\frac{18\ast 0,875^2} 4=3,44.$

          5. Verwerfungsbereich
             $B=\text (x_{1-\alpha };\infty \text ).$ Zu berechnen ist das Fraktil x der $\chi ^2(19-1)$ -Verteilung
             zu $x_{1-\alpha }=34,805.$ Also ist $B=(34,805;\infty ).$

         6. Testentscheidung
             Weil $\text v\notin \mathit{B.}$ kommt es zu keiner Verwerfung von $H_0$ .

         7. Deutung
             Es wird ersichtlich, dass auf der Grundlage eines Signifikanzniveaus von 1% der durchschnittliche  Nikotingehalt weniger als zwei Millimeter streut, nicht widerlegt werden kann. Der Test macht somit deutlich, dass eine Sonderbesteuerung nicht durchzusetzen ist.

Beispiel

3. Beispiel:

Die Deutsche Gesellschaft der Hochschullehrer verfügt über viele Mitglieder. Von diesen werden willkürlich 80 Mitglieder nach ihrer Stellung befragt. Dabei hat sich ergeben, dass unter den 80 Mitgliedern 25 ordentliche Professoren, 30 Privatdozenten und 25 Juniorprofessoren sind. Auf der Basis eines Signifikanzniveaus von 2,5 % ist nun zu überprüfen, ob es sich um eine gleichverteilte Grundgesamtheit handelt.

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Es ist davon auszugehen, dass ein einfacher Stichprobenumfang (n = 80) gegeben ist.
-> Folglich ist Schema a) anzuwenden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Die Hypothese betrifft die Verteilung der Grundgesamtheit und nicht nur einen Parameter.
-> Folglich ist der Test 3.2.7 anzuwenden, sprich: $\chi ^2$-Anpassungstest

 

  1. Anwendungsvoraussetzungen
    Es konnte festgestellt werden, dass diese gegeben sind.

  2. Wahl der Hypothese
    Bis auf $H_0$ gibt es keine andere Wahl der Hypothese. Es handelt sich dabei um eine gleichverteilte Grundgesamtheit (GG). Das bedeutet soviel wie, dass sowohl die selbe Anzahl an ordentlichen Professoren, Privatdozenten und Juniorprofessoren vertreten sind.

    $H_1$: Entspricht der normalverteilten Grundgesamtheit (GG)
    Es müssen keine Parameter geschätzt werden, weswegen r = 0 ist.

  3. Festlegung des Signifikanzniveaus
    Gemäß der Aufgabenstellung ist: $\alpha =\frac{2,5}{100}=0,025.$

  4. Testfunktionswert
    Aufgrund der drei verschiedenen Typen an Mitgliedern ist k = 3. 
    $h_1=30,h_2=25,h_3=25.$
    Wenn die Gleichverteilung bekannt wäre, so würde gelten: $p_1=\frac 1{3,}p_2=\frac 1 3,p_3=\frac 1{3.}$
    $\text v=\frac 1 n\left[\sum _{i=1}^n\frac{h_j^2}{p_j}\right]-n=\frac 1{80}\left(\frac{25^2}{1/3}+\frac{25^2}{1/3}+\frac{30^2}{1/3}\right)-80=\frac{2150}{1/3}-80=\frac 1{80}\left(\frac{2150}{1/3}\right)-80.$
    v= 0,63

  5. Verwerfungsbereich
    c) $B=\text (x_{1-0,025};\infty \text )=\text (x_{0,975};\infty \text ).$ Ermittelt wird das Fraktil x der $\chi ^2(k-r-1)=\chi ^2(3-0-1)=\chi ^2(2)$ -Verteilung zu $x_{1-\alpha }=7,378.$ Demnach ist $B=(7,378;\infty ).$

  6. Testentscheidung
    Weil $\text v\notin \mathit{B.}$ , kommt es zu keiner Verwerfung von $H_0$ 

  7. Deutung
    Es konnte auf der Grundlage des Signifikanzniveaus von 2,5 % nicht widerlegt werden, dass die einzelnen Mitgliedergruppen der Professorvereinigung in verschiedener Anzahl vertreten sind.

Beispiel

4. Beispiel:

Die Sportlehrer Schott und Schmidt sitzen gemeinsam auf der Zuschauertribüne und unterhalten sich über das Fußballspiel ihrer beiden Schulklassen. Dabei spekulieren Sie, welche Klasse am schnellsten ist und die höchste Ausdauer hat. Während des Spiels beginnen sich die Sportlehrer zu duellieren und entscheiden schlussendlich das herauszufinden. Zugunsten der Stichprobe wurden 33 SchülerInnen ausgewählt, die einen 1000-Meter-Lauf auf Zeit machen sollten. Dabei kamen die folgenden Mittelwerte sowie Standardabweichungen heraus:

Schotts Klasse: $\overline x_1=189\mathit{sec},$ $s_1=11\mathit{sec}.$ 
Schmidts Klasse:  $\overline x_2=214\mathit{sec},$  $s_2=4\mathit{sec.}$ 

Schmidt ist mit dem Ergebnis nicht einverstanden und sagt, dass seine Schülerinnen und Schüler trotzdem schneller sind. Überprüft werden soll nun, ob diese Hypothese auf der Grundlage eines Signifikanzniveaus von 5% zu widerlegen ist. Es handelt sich bei beiden um eine hyperbolische Grundgesamtheit.

 

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Es handelt sich um zwei unabhängige Stichproben mit einem Umfang von $n_1=33$ und $n_2=33$
-> Folglich ist Schema b) anzuwenden.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder einen Parameter?
-> Im Interesse von Schott und Schmidt liegt der Vergleich der durchschnittlichen Laufzeit von $\mu _1$ und $\mu _2$ 
-> Folglich sind nur die Tests 3.3.1-3.3.3 anwendbar.

3. Welche Verteilung der Grundgesamtheiten liegt vor?
-> Es handelt sich sowohl im ersten als auch im zweiten Fall um eine hyperbolische Verteilung. Dabei sind die Umfänge der Stichproben größer als 30.
-> Folglich ist der Test 3.3.3 anzuwenden.

Approximativer Zweistichproben - Gaußtest

  1. Anwendungsvoraussetzungen

    Es zeigte sich, dass diese gegeben sind.

  2. Wahl der Hypothese

    Es soll überprüft werden, ob die Aussage von Schmidt widerlegt werden kann.

    $\underbrace{H_0:\mu _1\geqslant \mu _2}_{\mathit{Hypothese}\mathit{von}\mathit{Maier}}$ gegen $\underbrace{H_1:\mu _1<\mu _2}_{\mathit{Alternativhypothese}}.$

     

     dabei handelt es sich um einen einseitigen Test, denn geprüft wird: $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen  $\mu _1<\mu _2.$

  3. Das Signifikanzniveau wird festgelegt

    Gemäß der Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,05$.

  4. Testfunktionswert

    Alle notwendigen Werte sind vorhanden, weswegen
    $\text v=\frac{189-214}{\sqrt{\frac{121}{33}+\frac{16}{33}}}=\frac{-25}{\sqrt{\frac{137}{33}}}=-12,27.$

  5. Verwerfungsbereich

    $B=\text (-\infty ;-z_{1-0,05}\text )=\text (-\infty ;-z_{0,95}\text ).$ Bestimmt wird das 0,95 Fraktil z der N(0,1)-Verteilung zu 1,6449.

    Demnach ist $B=\text (-\infty ;-1,6449\text ).$

  6. Testentscheidung

    Weil $\text v\in \mathit{B.}$ wird $H_0$ verworfen

  7. Deutung

    Auf der Grundlage des Signifikanzniveaus von fünf Prozent kann die Äußerung von Schmidt widerlegt werden.

Beispiel

5. Beispiel:

Nachdem die Autobahnpolizei auf der Autobahn A3 Richtung Köln eine Stichprobenkontrolle durchgeführt hat, kamen folgende Werte raus:

 

 

ohne Promille

mit Promille

Männer am Steuer

28

51

Frauen am Steuer

24

10

a) Auf der Grundlage eines 2%-igen Signifikanzniveaus soll überprüft werden, ob es einen Zusammenhang zwischen Alkoholeinfluss und Geschlecht gibt.

b) Ist es möglich, anhand eines Signifikanzniveaus von 0,1 % zu zeigen, dass auf der genannten Autobahnstrecke  mehr Fahrer mit Promille als ohne unterwegs sind?

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben?
-> Es handelt sich dabei um zwei verbundene Stichproben.
-> Folglich kann nur Schema c) zum Einsatz kommen.

2. Was genau ist zu testen?
-> Zu testen ist die Unabhängigkeit bei unbekannt verteilter Grundgesamtheit.
-> Der Test 3.4.4. Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest ist anzuwenden.

 

  1. Anwendungsvoraussetzungen

    Diese konnten bestätigt werden.

  2. Wahl der Hypothese

    $H_0$: Der Zusammenhang von Promille und Geschlecht sind in der Grundgesamtheit unabhängig.

    $H_1$: Es gibt einen Zusammenhang zu beiden.

  3. Das Signifikanzniveau wird festgelegt

    Gemäß der Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,02$.

  4. Testfunktionswert

    Es ist nötig vorerst die erwarteten Häufigkeiten $(h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}}),$ unter der Annahme der Unabhängigkeit zu bestimmen, um $\text v=\frac{\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^l(h_{\mathit{ij}}-h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}})^2}{h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}}}$ berechnen zu können.

 ohne Promillemit Promille

Σ

Männer am Steuer

$\frac{79\ast 52}{113}=36,35$ &

 $\frac{79\ast 61}{113}=42,65$ &

$\frac{79\ast 61}{113}=42,65$ &

79

Frauen am Steuer

$\frac{34\ast 52}{113}=15,65$$\frac{34\ast 61}{113}=18,35$ &

34

Σ

52

61

113

5. Verwerfungsbereich
$B=\text (x_{0,98};\infty \text ).$
Das 0,98-Fraktil der $\chi ^2\left((2-1)(2-1)\right)=\chi ^2(1)$-Verteilung ist x.
Es existiert für 0,98 kein Tabellenwert, weswegen die beiden benachbarten Werte hinzugezogen werden müssen. Das bedeutet: $x_{0,975}=5,024<x_{0,98}<6,635=x_{0,99}.$

6. Testentscheidung

Somit ist festzustellen, dass $\text v>x_{0,99}>x_{0,98,}$ womit v im Verwerfungsbereich liegt, denn $\text v\in \mathit{B.}$ Demnach ist $H_0$ abzulehnen.

7. Interpretation 

Der Zusammenhang der beiden Indikatoren ist auf der Grundlage des Signifikanzniveaus von 2% statistisch abgesichert. Demnach gibt es eine Verbindung zwischen alkoholisierten Fahrern und dem Geschlecht.


b) Das Geschlecht der am Steuer Sitzenden ist hier nicht von Bedeutung, d.h.:

 

 

mit Promille

ohne Promille

Am Steuer

52

61

Wahl des richtigen Tests

1. Wie viele Stichproben sind gegeben? 
-> Es handelt sich bei den gegebenen Daten um die Durchführung einer Stichprobe bezüglich der Alkoholisierung von Fahrern.
-> Folglich ist Schema a) zu wählen.

2. Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder auf einen Parameter? 
-> Der Anteil p der alkoholisierten Fahrer am Steuer ist zu testen, was einer dichotomen Grundgesamtheit entspricht.
-> Folgich ist der approximative Einstichproben-Gaußtest (Test 3.2.5) anzuwenden.

  1. Anwendungsvoraussetzungen
    Zu überprüfen ist, ob die Approximationsbedingungen gegeben sind: Die Stichprobe umfasste den Umfang von n = 113.
    $n\overline x=\frac{113\ast 61}{113}\geqslant 5\text{und}n\overline x=61\leqslant 108=n-5.$

  2. Wahl der Hypothese
    c) $H_0:p\leqslant 0,5$ gegen $H_1:p>0,5.$

  3. Das Signifikanzniveau wird festgelegt
    Gemäß der Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,001$.

    Gezeigt werden soll, dass die meisten Fahrer am Steuer alkoholisiert sind, weswegen p > 0,5 verdeutlicht wird durch:

    $H_0:p\leqslant 0,5$ gegen $H_1:p>0,5.$

    $H_1$ ist dann statistisch abgesichert, wenn es durch die Testentscheidung zu einer Verwerfung von $H_0$ kommen muss.

    Auf einem Signifikanzniveau von α = 0,001 ist die von Hypothese $H_1:p>0,5$ nachweisbar. Wenngleich es zu keiner Verwerfung von $H_0$ kommt, ist die Richtigkeit von $H_0$ bei weitem noch nicht bewiesen. Nach wie vor besteht auch hier die Möglichkeit, dass ein Fehler zweiter Art mit unbekannter Wahrscheinlichkeit β vorliegt.



  4. Testfunktionswert
    Es ist $\text v=\frac{\overline x-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}\sqrt n=\frac{\frac{161}{13}-0,5}{\sqrt{0,5(1-0,5)}}\sqrt{113}=0,8466.$

  5. Verwerfungsbereich
    $B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$ Gegeben ist das 99,9 % -Fraktil der N(0,1)-Verteilung durch:
    $z_{1-\alpha }=3,0902.$
    Demnach ist $B=\text (3,0902;\infty \text ).$

  6. Testentscheidung
    Weil $\text v\notin \mathit{B.}$ kann die Hypothese $H_0$ nicht verworfen werden.

  7. Deutung
    Auf er Grundlage eines Signifikanzniveaus von 0,1 % kann nicht widerlegt werden, dass die Hälfte der am Steuer Sitzenden alkoholisiert sind.