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Hypothesenauswahl

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Hypothesenauswahl

Als erstes müssen wir uns bei einem Test fragen wie wir die Hypothesen zu wählen haben.
Die oben vorgestellten Kochrezepte stellen uns drei Möglichkeiten zur Auswahl: a, b oder c.

Verläuft der Test so, dass entschieden werden soll, ob ein Parameter $\Theta $ einen Wert einhält oder nicht, so wird a) gewählt.

Hier spricht man von einem zweiseitigen Test, da ein signifikantes Abweichen der Testfunktion, in eine beliebige Richtung, ausreicht, um die Hypothese zu verwerfen.

Ist es nun so, dass Wert darauf gelegt wird, dass ein Parameter $\Theta $ kleiner als ein bestimmter Wert ist, so ist b) zu wählen. Im Falle, dass der Parameter größer als ein bestimmter Wert sein soll wird c) gewählt.

Übungen zur Hypothesenauswahl

  1. Person vermutet, dass das mittlere Gewicht von Quark Packungen (200 g) zu gering ist und will

    diese Vermutung absichern.

  2. Wurde die Kundenzufriedenheit verbessert ?

  3. Trifft die Angabe des Benzin-Verbrauchs zu ?

  4. Ist die Genauigkeit einer neuen Maschine besser, als jene der alten?

  5. Sind die Vorzeichen aufeinanderfolgender Kursänderungen unabhängig voneinander ?

  6. Sind die DAX-Tagesrenditen normalverteilt ?

  7. Es soll getestet werden, ob im Durchschnitt der Sollwert von 500 g eingehalten wird.

  8. Besteht die Möglichkeit, dass man auf einem Signifikanzniveau von zehn Protent zeigt, dass das

    durchschnittliche Abtropfvolumen größer als 100 ml ist ?

  9. Ist es möglich, dass auf einem Signifikanzniveau von fünf Prozent die Hypothese widerlegt wird,

    dass die Varianzen der beiden Stichproben gleich sind ?

  10. Es ist zu überprüfen, ob in Schweden (Stichprobe 1) durchschnittlich weniger geraucht wird als in Deutschland (Stichprobe 2)

Lösungen:

  1. b) $H_0:\mu _1\geqslant 200$ gegen $H_1:\mu _1<200.$

  2. Hier handelt es sich um eine Änderung eines Anteilswerts p bzw. einer Verteilung.

    c) $H_0:p_1\leqslant p_2$ gegen $H_1:p_1>p_2.$

  3. a) $H_0:\mu _1=\mu _2$ gegen $H_1:\mu _1\neq \mu _2.$

  4. Hier ist die Varianz $\sigma ^2$ zu überprüfen.

    $H_0:\sigma ^2_1\geqslant \sigma ^2_2$ gegen $H_1:\sigma ^2_1<\sigma ^2_2.$

  5. Durchführung eines Unabhängigkeitstests.

  6. Prüfen, ob eine Anpassung an ein Verteilungsmodell vorliegt.

    $H_0:F=F_0$ gegen $H_1:F\neq F_0.$ 
    $F_0$ entspricht der Normalverteilung mit den unbekannten Parametern $\mu ,\sigma ^2.$

  7. a) $H_0:\mu =500$ gegen $H_1:\mu \neq 500.$

  8. c) $H_0:\mu \leqslant 100$ gegen $H_1:\mu >100.$

  9. a) $H_0:\sigma ^2_1=\sigma ^2_1$ gegen $H_1:\sigma ^2_1\neq \sigma ^2_1.$

  10. b) $H_0:p_1\geqslant p_2$ gegen $H_1:p_1<p_2$

Lambert-Regel zur Hypothesenauswahl

Methode

Das was zu zeigen ist, wird als Alternativhypothese verwendet.

Es interessiert uns, ob auf einem Signifikanzniveau von 10% gezeigt werden kann, ob das durchschnittliche Abtropfvolumen größer als 100 ml ist ?

Wir wollen zeigen, dass $\mu >100$ so dass der Ausdruck $\mu >100$ als $H_1$ gewählt werden muss.

Es wird so vorgegangen, weil ein Test niemals eine Nullhypothese beweisen kann. Der Test kann die Nullhypothese lediglich verwerfen. Konkret bedeutet dies, dass bei Verwerfung der Nullhypothese die Alternativhypothese statistisch abgesichert ist. Im Falle, dass die Nullhypothese nicht verworfen wird, kann aus dem Testergebnis nicht geschlossen werden, dass die Nullhypothese richtig ist.

Beispielaufgaben zur Testtheorie

Beispiel

Beispiel 1:

Die Direktorin einer Schule stellt die Behauptung auf, dass die Schüler im Durchschnitt 58 kg wiegen. Eine zufällige Auswahl von n = 40 Schülern ergibt ein durchschnittliches Gewicht von 67 kg. Es darf vorausgesetzt werden, dass das Körpergewicht der Schüler an dieser Schule normalverteilt ist mit einer Varianz von $\sigma ^2=16[\mathit{kg}^2].$

Kann die Hypothese der Direktorin auf einem Signifikanzniveau von $\alpha = 5\%$ widerlegt werden ?

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?
Antwort: Es liegt nach Voraussetzung eine einfache Stichprobe vom Umfang n = 40 vor.
Folgerung: Somit können wir uns Schema a) zuwenden.

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?
Antwort: Die Hypothese der Direktorin bezieht sich auf das durchschnittliche Gewicht der Schüler, d.h. auf den Parameter $\mu$.
Folgerung: Nur die Tests 3.2.1 bis 3.2.4 müssen ab hier betrachtet werden.

3. Frage: Wie ist die Grundgesamtheit verteilt ?
Antwort: Die Grundgesamtheit ist nach Aufgabenstellung normalverteilt.
Folgerung: Die Tests 3.2.1 oder 3.2.2 kommen in Frage.

4. Frage: Ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ?
Antwort: Ja. $\sigma =4\mathit{kg}.$
Folgerung: Es muss Test 3.2.1 angewendet werden.

  1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen
    Wir haben gerade festgestellt, dass diese erfüllt sind.

  2. Schritt: Hypothesenwahl
    Es ist zu überprüfen, ob die Hypothese der Direktorin widerlegt werden kann. Also
    a) $H_0:\mu =58$ gegen $H_1:\mu \neq 58.$
    Wir sehen, dass ein zweiseitiger Test vorliegt.

  3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus

    Nach Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,05$.

  4. Schritt: Testfunktionswert

    $\text v=\frac{\overline x-\mu _0}{\sigma }\sqrt n=\frac{67-58} 4\sqrt{40}=14,23$

  5. Schritt: Verwerfungsbereich

    In Anlehnung an den 2. Schritt berechnen wir B.

    $z_{1-\alpha }=z_{1-0,05/2}=z_{0,975}=1,96.$

    Somit lautet der Verwerfungsbereich: $B=\text (-\infty ;-1,96\text )\cup \text (1,96;\infty \text )$

  6. Schritt: Testentscheidung

    $H_0$ wird verworfen, da $\text v\in \mathit{B.}$, denn 14,23 > 1,96.

Interpretration 

Wir haben gerade festgestellt, dass auf einem Signifikanzniveau von 5%, es statistisch abgesichert ist, dass das durchschnittliche Gewicht der Schüler nicht 58 kg beträgt.

Beispiel

Beispiel 2:

Bei einer EU-Sitzung fällen die EU-Minister die Entscheidung diejenigen Zigarettenmarken gesondert zu besteuern, deren tatsächlicher Nikotingehalt durchschnittlich um mindestens zwei Milligramm streut. Anhand einer Sichprobe von 19 Zigaretten (eine Schachtel Zigaretten) soll getestet werden, ob die Sonderbesteuerung durchführbar ist. Bei der Zigarettenmarke ROUCHE werden dabei folgende Werte gemessen: 6 * 18mg, 11 * 19 mg, 2*21 mg. Überprüfe auf einem Signifikanzniveau von 1%, ob die Marke ROUCHE besteuert werden soll. Die Grundgesamtheit kann als normalverteilt vorausgesetzt werden.

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?
Antwort: Es liegt nach Voraussetzung eine einfache Stichprobe vom Umfang n = 19 vor.
Folgerung: Somit können wir uns Schema a) zuwenden.

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ? Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf die Streuung des durchschnittlichen Nikotingehalts d.h. auf den Parameter $\sigma .$(Es ist belanglos, ob auf die Streuung $\sigma$ oder die Varianz $\sigma^2$ getestet wird.) Folgerung: Nur der Test 3.2.6 kommt in Frage.

3. Frage: Ist die Grundgesamtheit normalverteilt ? Antwort: Ja nach Aufgabenstellung Folgerung: Test 3.2.6.

Chi – Quadrat – Test für die Varianz

  1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

    Wir haben gerade festgestellt, dass diese erfüllt sind.

  2. Schritt: Hypothesenwahl

    Es ist zu überprüfen, ob die Sonderbesteuerung durchgeführt wird. Als Alternativhypothese wählen wir das, was zu zeigen ist, d.h. c) $H_0:\sigma ^2\leqslant 4$ gegen $H_1:\sigma ^2>4.$

  3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus

    Nach Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,01$.

  4. Schritt: Testfunktionswert

    Der Erwartungsert ist unbekannt, so dass wir folgenden Wert zu berechnen haben:

    $\text v=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline x)^2}{\sigma _0^2}=(n-1)\frac{s^2}{\sigma _0^2}$
    Es ist $\overline x=\frac{6\ast 18+11\ast 19+2\ast 21}{19}=18,8947.$

$X_i$/mg

$\overline x$

$X_i-\overline x$

$(X_i-\overline x)^2$

18

18,8947

-0,8947

0,8

18

18,8947

-0,8947

0,8

18

18,8947

-0,8947

0,8

18

18,8947

-0,8947

0,8

18

18,8947

-0,8947

0,8

18

18,8947

-0,8947

0,8

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

19

18,8947

0,1053

0,01

21

18,8947

2,1053

4,43

21

18,8947

2,1053

4,43

Σ =13,77

$s^2=\frac 1{19-1}\sum _{i=1}^{19}(X_i-\overline x)^2=\frac 1{18}\ast 13,77=0,765.$
Also s = 0,875, womit $v=\frac{18\ast 0,875^2} 4=3,44.$

5. Schritt: Verwerfungsbereich

$B=\text (x_{1-\alpha };\infty \text ).$ Wir ermitteln das Fraktil x der $\chi ^2(19-1)$ -Verteilung zu $x_{1-\alpha }=34,805.$ Also ist $B=(34,805;\infty ).$

6. Schritt: Testentscheidung

$H_0$ wird nicht verworfen, da $\text v\notin \mathit{B.}$

Interpretation 

Somit kann auf einem Signifikanzniveau von 1% nicht widerlegt werden, dass der durchschnittliche Nikotingehalt weniger als zwei Milligramm streut. Anhand dieses Tests sehen wir, dass die Sonderbesteuerung nicht durchgeführt werden sollte.

Beispiel

Beispiel 3:

Es ist eine Tatsache, dass die Deutsche Gesellschaft der Hochschullehre viele Mitglieder hat. Es werden zufällig 80 Mitglieder ausgewählt. Es stellt sich heraus, dass darunter 30 Privatdozenten, 25 Juniorprofessoren und 25 ordentliche Professoren sind. Auf einem 2,5 %-tigen Signifikanzniveau ist nun zu testen, ob die Grundgesamtheit gleichverteilt ist.

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?
Antwort: Es kann davon ausgegangen werden, dass eine einfache Stichprobe vom Umfang n = 80 vorliegt.
Folgerung: Somit können wir uns sofort Schema a) zuwenden.

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?
Antwort: Die Hypothese bezieht sich auf die Verteilung der Grundgesamtheit und nicht auf einen Parameter.
Folgerung: Nur der Test 3.2.7 kommt in Frage: $\chi ^2$-Anpassungstest

  1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

    Wir haben gerade gesehen, dass diese erfüllt sind.

  2. Schritt: Hypothesenwahl

    Hier ist es nun so, dass es keine andere Hypothesenwahl gibt als:
    $H_0$: Die Grundgesamtheit (GG) ist gleichverteilt. Dies heißt, dass Privatdozenten, Juniorprofessoren und ordentliche Professoren gleich häufig vertreten sind.
    $H_1$: Die Grundgesamtheit (GG) ist normalverteilt.
    Da keine Parameter geschätzt werden müssen ist r = 0.

  3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus

    Nach Aufgabenstellung ist: $\alpha =\frac{2,5}{100}=0,025.$

  4. Schritt: Testfunktionswert
    Da es drei Mitgliedertypen gibt, ist k = 3. 
    $h_1=30,h_2=25,h_3=25.$
    Läge die Gleichverteilung vor, so müßte gelten: 
    $p_1=\frac 1{3,}p_2=\frac 1 3,p_3=\frac 1{3.}$
    $\text v=\frac 1 n\left[\sum _{i=1}^n\frac{h_j^2}{p_j}\right]-n=\frac 1{80}\left(\frac{25^2}{1/3}+\frac{25^2}{1/3}+\frac{30^2}{1/3}\right)-80=\frac{2150}{1/3}-80=\frac 1{80}\left(\frac{2150}{1/3}\right)-80.$
    v= 0,63.
  5. Schritt: Verwerfungsbereich
    c) $B=\text (x_{1-0,025};\infty \text )=\text (x_{0,975};\infty \text ).$ Wir ermitteln das Fraktil x der $\chi ^2(k-r-1)=\chi ^2(3-0-1)=\chi ^2(2)$ -Verteilung zu $x_{1-\alpha }=7,378.$ Also ist $B=(7,378;\infty ).$
  6. Schritt: Testentscheidung
    $H_0$ wird nicht verworfen, da $\text v\notin \mathit{B.}$

Interpretation 

Somit kann auf einem Signifikanzniveau von 2,5 % nicht widerlegt werden, dass die einzelnen Mitgliedergruppen der Professorvereinigungen unterschiedlich stark vertreten sind.

Beispiel

Beispiel 4: 

Die Vorsitzenden zweier befreundeter Sportvereine sitzen am Stammtisch und bewundern jeweils die sportlichen Leistungen ihrer Mitglieder. Müller äußert: „Meine Leute gehören zu den Besten der Besten. Deren Ausdauer ist so enorm, dass fast alle jeden Tag trainieren können“. Demgegenüber antwortet Maier: Das ist bei meinen Leuten eine Selbstverständlichkeit, die wir gar nicht erst erwähnen. Deswegen sind wir besser. Nach einigem Alkoholkonsum entscheiden sich beide für einen Wettkampf am morgigen Tag. Aufgrund einer Baumaßnahme ist der große Sportplatz nicht begehbar. Statt dessen wird auf einen kleineren Sportplatz ausgewichen, der nur wenigen Sportlern Platz bietet. Nach einer zufälligen Auswahl von je 33 Mitgliedern wird deren 1000-Meter Zeit gestoppt. Es ergeben sich folgende Mittelwerte und Standardabweichungen:

Verein Müller: $\overline x_1=189\mathit{sec},$ $s_1=11\mathit{sec}.$ 
Verein Maier:  $\overline x_2=214\mathit{sec},$  $s_2=4\mathit{sec.}$ 
Nach dieser Niederlage ruft Maier: „Das ist alles Zufall, meine Leute sind trotzdem besser“. Nun geht es darum zu prüfen, ob auf einem Signifikanzniveau von 5% diese Hypothese widerlegt werden kann. Es ist bekannt, dass beide Grundgesamtheiten hyperbolisch verteilt sind.

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?
Antwort: Es liegen zwei unabhängige Stichproben vom Umfang $n_1=33$ und $n_2=33$ vor.
Folgerung: Also kommt nur Schema b) in Frage

2. Frage: Betrifft die Hypothese einen Parameter oder eine Verteilung ?
Antwort: Maier und Müller wollen die durchschnittlichen Laufzeiten $\mu _1$ und $\mu _2$ vergleichen.
Folgerung: Nur die Tests 3.3.1 - 3.3.3 kommen in Frage.

3. Frage: Wie sind die Grundgesamtheiten verteilt ?
Antwort: In beiden Fällen liegen hyperbolische Verteilungen vor. Die Stichprobenumfänge sind jeweils größer als 30.
Somit hilft uns Test 3.3.3 weiter.

Approximativer Zweistichproben - Gaußtest

  1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

    Wir haben gerade erkannt, dass diese erfüllt sind.

  2. Schritt: Hypothesenwahl

    Wir wollen wissen, ob die Hypothese von Maier widerlegt werden kann.

    b) $\underbrace{H_0:\mu _1\geqslant \mu _2}_{\mathit{Hypothese}\mathit{von}\mathit{Maier}}$ gegen $\underbrace{H_1:\mu _1<\mu _2}_{\mathit{Alternativhypothese}}.$

    Zur Verdeutlichung der Hypothesenwahl rufen wir uns die Aussagen der Konkurrenten in Erinnerung.

    Maier sagt: „...meine Leute sind trotzdem besser.“

    Das heißt aber gerade, dass sie im Schnitt schneller sind als Müllers Sportler.

    Dann muss ihre mittlere 1000 – Meterzeit geringer sein als die der anderen.

    Daraus schließen wir, dass Müllers Mitglieder mehr Zeit benötigen müssen als die von Maier.

    Es geht nun darum diese Aussage zu widerlegen, d.h. zu testen, ob

    b) $H_0:\mu _1\geqslant \mu _2$ gegen  $\mu _1<\mu _2.$

    Hier wird sofort klar, dass es sich um einen einseitigen Test handelt.

  3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus

    Nach Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,05$.

  4. Schritt: Testfunktionswert

    Alle benötigten Werte sind gegeben, so dass 
    $\text v=\frac{189-214}{\sqrt{\frac{121}{33}+\frac{16}{33}}}=\frac{-25}{\sqrt{\frac{137}{33}}}=-12,27.$

  5. Schritt: Verwerfungsbereich

    $B=\text (-\infty ;-z_{1-0,05}\text )=\text (-\infty ;-z_{0,95}\text ).$ Wir ermitteln das 0,95 Fraktil z der N(0,1)-Verteilung zu 1,6449.

    Also ist $B=\text (-\infty ;-1,6449\text ).$

  6. Schritt Testentscheidung

    $H_0$ wird verworfen, da $\text v\in \mathit{B.}$

Interpretation 

Somit kann auf einem Signifikanzniveau von fünf Prozent Maiers Behauptung widerlegt werden.

Beispiel

Beispiel 5:

Nach Durchführung einer stichprobenartigen Untersuchung der Autobahnpolizei Dortmund (A1) ergaben sich folgende Werte:

nicht alkoholisiert

alkoholisiert

männlicher Fahrer

28

51

weiblicher Fahrer

24

10

a) Auf einem Signifikanzniveau von 2% soll getestet werden, ob Geschlecht und Alkoholisierung voneinander abhängen.
b) Kann auf einem Signifikanzniveau von 0,1 % gezeigt werden, dass auf dem betrachteten Streckenabschnitt mehr alkoholisierte als nüchterne Fahrer unterwegs sind ?

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ?
Antwort: Es liegen zwei verbundene Stichproben vor.
Folgerung: Also kommt nur Schema c) in Frage.

2. Frage: Was soll getestet werden ?
Antwort: Test auf Unabhängigkeit bei unbekannt verteilter Grundgesamtheit.
Folgerung: Test 3.4.4. Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

  1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

    Soeben haben wir diese verifiziert.

  2. Schritt: Hypothesenwahl

    $H_0$: Die Merkmale Geschlecht und Alkoholisierung sind in der Grundgesamtheit unabhängig.

    $H_1$: Die beiden Merkmale sind abhängig.

  3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus

    Nach Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,02$.

  4. Schritt: Testfunktionswert

    Damit $\text v=\frac{\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^l(h_{\mathit{ij}}-h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}})^2}{h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}}}$ berechnet werden kann, ist es nötig die erwarteten Häufigkeiten $(h_{\mathit{ij}}^{\mathit{erw}}),$ unter der Annahme der Unabhängigkeit, zu ermitteln.

nicht alkoholisiert alkoholisiert

Σ

männliche Fahrer

$\frac{79\ast 52}{113}=36,35$ &
\centering $\frac{79\ast 61}{113}=42,65$ &

$\frac{79\ast 61}{113}=42,65$ &

79

weibliche Fahrer

$\frac{34\ast 52}{113}=15,65$ $\frac{34\ast 61}{113}=18,35$ &

34

Σ

52

61

113

5. Schritt: Verwerfungsbereich
$B=\text (x_{0,98};\infty \text ).$
Es ist x das 0,98-Fraktil der $\chi ^2\left((2-1)(2-1)\right)=\chi ^2(1)$-Verteilung.
Da für 0,98 kein Tabellenwert existiert, müssen die beiden benachbarten Werte betrachtet werden. Das heißt: $x_{0,975}=5,024<x_{0,98}<6,635=x_{0,99}.$

6. Schritt: Testentscheidung

Wir stellen fest, dass $\text v>x_{0,99}>x_{0,98,}$ womit v im Verwerfungsbereich liegt, d.h. $\text v\in \mathit{B.}$ Somit lehnen wir $H_0$ ab.

Interpretation 

Die Abhängigkeit der beiden Merkmale in der Grundgesamtheit ist auf einem Signifikanzniveau von 2% statistisch abgesichert. Also gibt es einen Zusammenhang zwischen Alkoholisierung und Geschlecht des Fahrers.

b) Hier ist nun das Geschlecht der Fahrer irrelevant, d.h.:

nicht alkoholisiert

alkoholisiert

Fahrer

52

61

Auswahl des richtigen Tests

1. Frage: Wie viele Stichproben liegen vor ? 
Antwort: Bei den zugrundeliegenden Daten geht es um die Realisation einer Stichprobe in Bezug auf die Alkoholisierung. 
Folgerung: Also führt uns Schema a) zum Ziel.

2. Frage: Bezieht sich die Hypothese auf eine Verteilung oder auf einen Parameter ? 
Antwort: Getestet werden soll der Anteil p der betrunkenen Fahrer. (Dichotome Grundgesamtheit). 
Folgerung: Test 3.2.5: Approximativer Einstichproben-Gaußtest

1. Schritt: Anwendungsvoraussetzungen

Nun ist zu prüfen, ob die Approximationsbedingungen erfüllt sind:

Zur Erinnerung: Die Stichprobe ist vom Umfang n = 113.

$n\overline x=\frac{113\ast 61}{113}\geqslant 5\text{und}n\overline x=61\leqslant 108=n-5.$

2. Schritt: Hypothesenwahl

c) $H_0:p\leqslant 0,5$ gegen $H_1:p>0,5.$

Wir wollen zeigen, dass die meisten Fahrzeugführer betrunken sind. Demnach sollte p > 0,5 gezeigt werden, d.h.

$H_0:p\leqslant 0,5$ gegen $H_1:p>0,5.$

Falls die Testentscheidung für ein Verwerfen von $H_0$ spricht, so ist $H_1$ statistisch abgesichert

(und somit hätten wir auf einem Signifikanzniveau von α = 0,001 die Hypothese $H_1:p>0,5.$ nachgewiesen). Im Falle, dass $H_0$ nicht verworfen, so ist die Richtigkeit von $H_0$ noch lange nicht bewiesen, da immer noch die Möglichkeit eines Fehlers zweiter Art mit unbekannter Wahrscheinlichkeit β besteht.

3. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus

Nach Aufgabenstellung ist $\alpha = 0,001$.

4. Schritt: Testfunktionswert

Es ist $\text v=\frac{\overline x-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}\sqrt n=\frac{\frac{161}{13}-0,5}{\sqrt{0,5(1-0,5)}}\sqrt{113}=0,8466.$

5. Schritt: Verwerfungsbereich

$B=\text (z_{1-\alpha };\infty \text ).$ Das 99,9 % -Fraktil der N(0,1)-Verteilung ist gegeben durch:
$z_{1-\alpha }=3,0902.$
Also ist $B=\text (3,0902;\infty \text ).$

6. Schritt Testentscheidung

Die Hypothese $H_0$ kann nicht verworfen werden, da $\text v\notin \mathit{B.}$

Interpretation 

Auf einem Signifikanzniveau von 0,1 % kann nicht widerlegt werden, dass die Hälfte der Fahrer betrunken ist.

Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Hypothesenauswahl ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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Stichprobentheorie

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  • Übersicht über auftretende Symbole
    • Einleitung zu Übersicht über auftretende Symbole
  • Schätzen
    • Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu Schätzfunktionen
    • Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Einleitung zu Eigenschaften von Schätzfunktionen
      • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Erwartungstreue
    • Asymptotische Erwartungstreue
    • Effizienz
    • Konsistenz
    • Konfidenzintervalle
      • Einleitung zu Konfidenzintervalle
      • Vorgehensweisen, Kochrezepte zur Bestimmung des entsprechenden Konfidenzintervalls
      • Anwendung der Kochrezepte auf Beispiele
      • Aufgaben, Berechnungen und Beispiele zu Konfidenzintervallen
      • Notwendiger Stichprobenumfang
  • Testtheorie
    • Einleitung zu Testtheorie
    • Signifikanztests bei einfachen Stichproben
    • Mehrstichprobentests bei unabhängigen Stichproben
    • Tests bei zwei verbundenen Stichproben
    • Fehlerarten
    • Hypothesenauswahl
      • Einleitung zu Hypothesenauswahl
      • Funktionsweise eines Tests am Beispiel des Einstichproben-Gaußtests
    • Testverteilungen
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    • Einleitung zu Hochrechnung
    • Differenzenschätzung
      • Einleitung zu Differenzenschätzung
      • Verhältnisschätzung (Quotientenschätzer)
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      • Einleitung zu Klumpen und geschichtete Stichproben
      • Geschichtete Stichproben
        • Einleitung zu Geschichtete Stichproben
        • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zu geschichteten Stichproben
      • Wahl des Stichprobenumfangs
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