Jetzt neu: Steuerrecht online lernen auf steuerkurse.de!
ZU DEN KURSEN!

Stichprobentheorie - Notwendiger Stichprobenumfang

Kursangebot | Stichprobentheorie | Notwendiger Stichprobenumfang

Stichprobentheorie

Notwendiger Stichprobenumfang

wiwiweb JETZT WEITER LERNEN!

Weitere Lernvideos sowie zahlreiche Materialien erwarten dich:
Komplettpaket für wiwi-Studenten


1362 Lerntexte mit den besten Erklärungen

431 weitere Lernvideos von unseren erfahrenen Dozenten

3440 Übungen zum Trainieren der Inhalte

1334 informative und einprägsame Abbildungen

Video: Notwendiger Stichprobenumfang

   

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Wenn die maximale Intervalllänge des Konfidenzintervalls für den Erwartungswert und die Streuung in der Grundgesamtheit bekannt sind, dann ist dafür die relevante Anzahl an Stichprobenelementen folgendermaßen gegeben: $n\geqslant \left(\frac{2\sigma z} L\right)^2.$

 

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Ein Konfidenzintervall von 99 Prozent wurde ermittelt. Dieser hat die Form [2;4]. Dabei handelt es sich um eine normalverteilte Grundgesamtheit der Streuung, welche $\sigma =3.$ ist.
Damit stellt sich die Frage, wie hoch die Mindestgröße des Stichprobenumfang n zu sein hat, um die Intervalllänge zu unterschreiten.
Bei der Beantwortung hilft die Formel: $n\geqslant \left(\frac{2\sigma z} L\right)^2$.
Die Länge des Intervalls wird mit „L“ gekennzeichnet. Diese ist wie folgt zu berechnen: L= oberste und unterste Grenze des Intervalls. Hierfür zählt: 4-2 = 2.

Der Aufgabenstellung zufolge ist: $1-\alpha =\frac{99}{100,}$ so dass $\alpha =\frac 1{100}.$ Es wird ersichtlich, dass z für das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)=(1-0,005)=0,995$ -Fraktil der Standardnormalverteilung gilt. Deshalb ergibt sich: z = 2,58 weswegen $n\geqslant \left(\frac{2\ast 3\ast 2,58} 2\right)=59,9$ ist.

Es werden demnach mindestens 60 Stichprobenelemente gebraucht, um zu gewährleisten, dass die gesamte Länge des Intervalls kleiner gleich zwei ist.

 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Wenn eine binomialverteilte Grundgesamtheit vorliegt, gilt für den entsprechenden Stichprobenumfang: $n\geqslant \left(\frac z L\right)^2.$ Für das jeweilige Fraktil der Standardnormalverteilung wird z hinzugezogen.

Stichprobenvarianz

Video: Notwendiger Stichprobenumfang

 

Aufgaben zum relevanten Stichprobenumfang

1. Aufgabe

Zu bestimmen ist der erforderliche Stichprobenumfang, wenn ein 95 %-iger Konfidenzintervall eine Länge von fünf Prozentpunkten aufweist.

Vertiefung

Hier klicken zum Ausklappen
Lösung:

Für die fünf Prozentpunkte gilt: $5\over{100}$ = 0,05.
Benötigt wird dafür die folgende Formel: $n\geqslant \left(\frac z L\right)^2.$

$(1-\alpha )=95\text{%} \Leftrightarrow \alpha =5\text{%}.$
Somit ist $\left(1-\frac{0,05} 2\right)=0,975.$ Gegeben ist das 0,975-Fraktil der Binomialverteilung durch: z = 1,96, also: $n\geqslant \left(\frac{1,96^2}{0,05^2}\right)=1536,64.$
Demnach werden n = 1537 Stichprobenelemente benötigt.

2. Aufgabe

Im Rahmen der Meinungsumfrage in Bezug auf einen politischen Gesetzesentwurf soll herausgefunden werden, wie viele BürgerInnen für den Entwurf stimmen würden. Alle Stimmen werden in % angegeben.
Demnach stellt sich die Frage, wie viele Personen mindestens bei einem 94%-igen Konfidenzintervall, das eine Breite von vier Prozentpunkten besitzt,  zu befragen sind, in Anbetracht der relativen Häufigkeit: $\left(\text =\frac{\text{Anzahl der Befürwörter}}{\text{Gesamtzahl der Stichprobe}}\right)$

  1. ca. 44 Prozent

  2. ca. 35 Prozent

  3. im Bereich zwischen 10 und 20 Prozent liegt.

Vertiefung

Hier klicken zum Ausklappen
Lösung:

Gemäß des Schema (6) kann die Stichprobenvarianz für die Standardabweichung genutzt werden, was  $\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)}$ bedeutet.

Der erforderliche Stichprobenumfang ist durch:

$n\geqslant \left(2\sigma \frac z L\right)^2=4\sigma ^2\frac{z^2}{L^2},$ gegeben und z gilt für das entsprechende Fraktil der Normalverteilung.

 


Zu 1.:
 $\overline x=44\text{%},$  $\hat{\sigma }^2=0,44(1-0,44)=0,2464$ und $1-\alpha =94\text{\%} \Leftrightarrow \alpha =6\text{%}.$
$n\geqslant 4\ast (0,2464) \frac{1,88^2}{0,04^2}=2.177,2.$

Eine Stichprobe mit einem Umfang von n = 2.178 muss gezogen werden, damit das 94 % -ige Konfidenzintervall über eine Breite von vier Prozentpunkten verfügt.


Zu 2.: $\overline x=35\text{%},$ $\hat{\sigma }^2=0,35(1-0,35)=0,2275$ und $1-\alpha =94\text{%} \Leftrightarrow \alpha =6\text{%}.$}

$n\geqslant 4\ast (0,2275)\frac{z^2_{1-\frac{0,06} 2}}{0,04^2}\approx 0,21\frac{z^2_{0,97}}{0,0016}\approx \frac{0,21\ast (1,88)^2}{0,0016}\approx 2.010,19.$

Eine Stichprobe mit einem Umfang von n = 2.011 muss gezogen werden, damit das 94 % -ige Konfidenzintervall über eine Breite von vier Prozentpunkten verfügt.

 


Zu 3.:
 $\overline x=20\text{%},$ $\hat{\sigma }^2=0,2(1-0,2)=0,16$ und $1-\alpha =94\text{%} \Leftrightarrow \alpha =6\text{%}.$

$n\geqslant 4\ast (0,16)\frac{z^2_{1-\frac{0,06} 2}}{0,04^2}=0,1024\frac{z^2_{0,97}}{0,0016}=\frac{0,1024\ast (1,88)^2}{0,0016}\approx 1.413,76.$

Eine Stichprobe, mit einem Umfang von n = 1.414 muss gezogen werden, damit das 94 % -ige Konfidenzintervall über eine Breite von vier Prozentpunkten verfügt.