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Notwendiger Stichprobenumfang

WebinarTerminankündigung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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Video: Notwendiger Stichprobenumfang

Wir besprechen den notwengiden Stichprobenumfang anhand von Beispielen und besprechen einige Übungsaufgaben dazu.

Merke

Merke

Ist die Streuung in der Grundgesamtheit und die maximale Intervalllänge eines Konfidenzintervalls für den Erwartungswert bekannt, so ist die hierfür notwendige Anzahl an Stichprobenelementen gegeben durch:
$n\geqslant \left(\frac{2\sigma z} L\right)^2.$

Beispiel

Beispiel

Es sei ein 99% Konfidenzintervall ermittelt worden, welches die Form [2;4] hat. Die Streuung in der normalverteilten Grundgesamtheit sei $\sigma =3.$ Wir fragen uns, wie groß der Stichprobenumfang n mindestens sein muss, damit die Intervalllänge unterschritten wird. Folgende Formel beantwortet unsere Frage: $n\geqslant \left(\frac{2\sigma z} L\right)^2$. Die Größe L ist die Länge des Intervalls. Sie kann folgendermaßen berechnet werden. L= obere Grenze des Intervalls – untere Grenze des Intervalls. Also hier: 4-2 = 2. Nach Aufgabenstellung ist $1-\alpha =\frac{99}{100,}$ so dass $\alpha =\frac 1{100}.$ Des Weiteren sehen wir, dass z das $\left(1-\frac{\alpha } 2\right)=(1-0,005)=0,995$ -Fraktil der Standardnormalverteilung ist. Dieses lautet: z = 2,58. Also ist $n\geqslant \left(\frac{2\ast 3\ast 2,58} 2\right)=59,9.$
Also werden mindestens 60 Stichprobenelemente benötigt, um sicher zu stellen, dass die Länge des Intervalls kleiner gleich zwei ist.

Merke

Merke

Liegt eine binomialverteilte Grundgesamtheit vor, so ergibt sich für den notwendigen Stichprobenumfang: $n\geqslant \left(\frac z L\right)^2.$ Es ist z das jeweilige Fraktil der Standardnormalverteilung.

Stichprobenvarianz

Video: Notwendiger Stichprobenumfang

Wir besprechen den notwengiden Stichprobenumfang anhand von Beispielen und besprechen einige Übungsaufgaben dazu.

Aufgaben zum notwendigen Stichprobenumfang

Aufgabe 1

Ein 95 % Konfidenzintervall habe eine Länge von fünf Prozentpunkten. Es ist der notwendige Stichprobenumfang zu bestimmen.

Lösung:

5 Prozentpunkte = $5\over{100}$ = 0,05.

Die Formel, welche hier benötigt wird ist: $n\geqslant \left(\frac z L\right)^2.$

$(1-\alpha )=95\text{%} \Leftrightarrow \alpha =5\text{%}.$
Es ist $\left(1-\frac{0,05} 2\right)=0,975.$ Das 0,975-Fraktil der Binomialverteilung ist gegeben durch: z = 1,96. D.h. $n\geqslant \left(\frac{1,96^2}{0,05^2}\right)=1536,64.$ Somit werden n = 1537 Stichprobenelemente benötigt.

Aufgabe 2

In einer Meinungsumfrage bei Fans soll festgestellt werden, wie hoch die derzeitige Unterstützung (in % der Stimmen) des Kapitäns einer Fußballmannschaft ist. Wie viele zufällig ausgewählte Fans sind mindestens zu befragen, wenn das 94 % ige Konfidenzintervall eine Breite von vier Prozentpunkten besitzen soll und man davon ausgehen kann, dass diese relative Häufigkeit $\left(\text =\frac{\text{Anzahl der Befürwörter}}{\text{Gesamtzahl der Stichprobe}}\right)$

  1. bei etwa 44 Prozent

  2. bei etwa 35 Prozent

  3. zwischen 10 und 20 Prozent liegen wird?

Lösung:

Entsprechend dem Lambert-Kochrezept 6 können wir die Stichprobenvarianz als Schätzer für die Standardabweichung verwenden, d.h. $\hat{\sigma }=\sqrt{\overline x(1-\overline x)}.$

Der notwendige Stichprobenumfang ist gegeben durch:

$n\geqslant \left(2\sigma \frac z L\right)^2=4\sigma ^2\frac{z^2}{L^2},$ z ist das jeweilige Fraktil der Normalverteilung.

Zu 1): $\overline x=44\text{%},$  $\hat{\sigma }^2=0,44(1-0,44)=0,2464$ und $1-\alpha =94\text{\%} \Leftrightarrow \alpha =6\text{%}.$
$n\geqslant 4\ast (0,2464) \frac{1,88^2}{0,04^2}=2.177,2.$

Damit das 94 % -ige Konfidenzintervall eine Breite von vier Prozentpunkten besitzt, ist es nötig eine Stichprobe vom Umfang n = 2.178 zu ziehen.

Zu 2): $\overline x=35\text{%},$ $\hat{\sigma }^2=0,35(1-0,35)=0,2275$ und $1-\alpha =94\text{%} \Leftrightarrow \alpha =6\text{%}.$}

$n\geqslant 4\ast (0,2275)\frac{z^2_{1-\frac{0,06} 2}}{0,04^2}\approx 0,21\frac{z^2_{0,97}}{0,0016}\approx \frac{0,21\ast (1,88)^2}{0,0016}\approx 2.010,19.$

Damit das 94 % -ige Konfidenzintervall eine Breite von vier Prozentpunkten besitzt, ist es nötig eine Stichprobe vom Umfang n = 2.011 zu ziehen.

Zu 3): $\overline x=20\text{%},$ $\hat{\sigma }^2=0,2(1-0,2)=0,16$ und $1-\alpha =94\text{%} \Leftrightarrow \alpha =6\text{%}.$

$n\geqslant 4\ast (0,16)\frac{z^2_{1-\frac{0,06} 2}}{0,04^2}=0,1024\frac{z^2_{0,97}}{0,0016}=\frac{0,1024\ast (1,88)^2}{0,0016}\approx 1.413,76.$

Damit das 94 % -ige Konfidenzintervall eine Breite von vier Prozentpunkten besitzt, ist es nötig eine Stichprobe vom Umfang n = 1.414 zu ziehen.

Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Notwendiger Stichprobenumfang ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Stichprobentheorie.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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      • Anwendung der Kochrezepte auf Beispiele
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