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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur bedingten Wahrscheinlichkeit

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur bedingten Wahrscheinlichkeit

Aufgabe 1:

Der Mathestudent D aus K glaubt am Anfang seines Studiums, dass er dieses mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 erfolgreich beenden wird. Mit erfolgreich abgeschlossenem Studium beträgt die Wahrscheinlichkeit, die gewünschte Position zu erhalten, 0,8, ohne Studienabschluss nur 0,1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Student die Position erhalten wird?

Lösung:

Hier lässt sich sehr gut der Ereignisbaum anwenden:

Abb. 11.1: Wahrscheinlichkeitsbäumchen
Abb. 11.1: Wahrscheinlichkeitsbäumchen

Es bezeichne E das Ereignis, das Studium erfolgreich zu beenden (E wie „Ende“). Außerdem ist J das Ereignis, die gewünschte Position zu erhalten (J wie „Job“). Dann ist P(E) = 0,7, P(J|E) = 0,8,

P(J |$\overline{E}$ ) = 0,1. Gefragt ist hier nach P(J).

Dies ist nichts anderes als die totale Wahrscheinlichkeit dafür, die gewünschte Position zu erhalten. Dazu muss man die bedingten Wahrscheinlichkeiten von J unter allen möglichen Hypothesen mit den Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen multiplizieren und die Ergebnisse aufaddieren:

P(J) = P(J|E)∙P(E) + P(J|$\overline{E}$)∙P($\overline{E}$) = 0,8∙0,7 + 0,1∙0,3 = 0,56 + 0,03=0,59.

Die totale Wahrscheinlichkeit, die gewünschte Position zu erhalten, beträgt also 0,59 = 59 %.

Aufgabe 2:

Im Bistum Essen wird untersucht, wer von verheirateten Paaren regelmäßig in die Kirche geht. Hierbei hat sich ergeben, dass 40 % der Männer und 50 % der Frauen regelmäßige Kirchgänger sind. Geht eine Frau in die Kirche, so beträgt die Wahrscheinlichkeit 0,3, dass ihr Mann auch hingeht.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

a) beide Ehepartner regelmäßig in die Kirche gehen

b) eine Frau Kirchgängerin ist, wenn dies ihr Mann auch ist

c) wenigstens einer der beiden Ehepartner regelmäßiger Kirchgänger ist.

Lösung:

Es seien M und F die Ereignisse, dass ein Mann bzw. eine Frau in die Kirche geht. Dann ist P(M) = 0,4 und P(F) = 0,5, außerdem P(M|F) = 0,3.

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass Mann und Frau in die Kirche gehen, ist dann nach dem Multiplikationssatz P(M $\cap$ F) = P(M|F)∙P(F) = 0,3∙0,5 = 0,15.

b) Dass eine Frau in die Kirche geht, wenn ihr Mann dies auch tut, ist P(F|M) = ${{P(M \cap F)}\over{P(M)}}= {0,15\over{0,4}}$ = 0,375.

c) Schließlich lautet die Wahrscheinlichkeit, dass wenigstens einer der beiden Ehepartner regelmäßiger Kirchgänger ist, schließlich nach dem Additionssatz P(M $\cup$ F) = P(M) + P(F) – P(M $\cap$ F) = 0,4 + 0,5 – 0,15 = 0,75.

Aufgabe 3:

Im Krankenhaus der Kleinstadt X sind Geburten von Jungen und Mädchen jeweils gleich wahrscheinlich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei drei aufeinander folgenden Geburten genau zwei Jungen zur Welt kommen, wenn

a) keine weiteren Informationen vorhanden sind,

b) wenn zusätzlich bekannt ist, dass mindestens ein Junge geboren wird,

c) wenn bekannt ist, dass die jüngste Geburt ein Junge ist?

Lösung:

a) Man rechnet mit so genannten Dreiertupeln (X) wobei z.B. (J,M,M) das Ereignis angibt, dass die erste Geburt ein Junge ist, die zweite Geburt ein Mädchen und die letzte Geburt wieder ein Mädchen. Zusätzlich gibt diese Reihenfolge das Alter an: das älteste geborene Kind ist ein Junge, das mittlere ein Mädchen und das jüngste ein Mädchen. Insgesamt existieren 23 = 8 solcher Elementarereignisse. Wenn nach genau zwei Jungen gefragt ist, so sind die Ereignisse (J,J,M), (J,M,J) und (M,J,J) günstig. Möglich sind hingegen acht Elementarereignisse, so dass die Wahrscheinlichkeit für das gesuchte Ergebnis 3/8 beträgt.

b) Wenn mindestens ein Junge dabei ist, so wird die Anzahl der möglichen Ereignisse eingeschränkt auf die sieben Elementarereignisse, in denen mindestens ein J im Tupel steckt, genauer gesagt fällt das Elementarereignis (M,M,M) raus. So sind also lediglich sieben Ereignisse möglich, weiterhin aber drei günstig, so dass die Wahrscheinlichkeit 3/7 beträgt.

c) Wenn die jüngste Geburt ein Junge sein soll, so sind die möglichen Elementarereignisse lediglich noch (J,J,J), (J,M,J), (M,J,J) und (M,M,J). Von diesen vier möglichen Ereignissen sind lediglich zwei günstig, nämlich (M,J,J) und (J,M,J). Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 2/4.

Aufgabe 4:

In der südfranzösischen Stadt Grasse – Welthauptstadt des Parfums – produzieren drei Fabriken den Duft Chalence. Auf das erste Werk entfällt 30 % des Ausstoßes, auf das zweite 50 % und auf das dritte der Rest.

Die drei Fabriken stellen das Produkt leider nicht fehlerfrei her: die Wahrscheinlichkeit, dass Werk 1 einen fehlerhaften Duft herstellt, ist 40 %, bei den Fabriken 2 und 3 lauten die Werte jeweils 25 % bzw. 35 %.

In einer Düsseldorfer Edelparfumerie wird nun ein fehlerbehaftetes Parfum entdeckt.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Parfum generell fehlerhaft ist?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das in Düsseldorf gefundene fehlerhafte Teil von der zweiten Parfumerie aus Grasse stammt?

Lösung:

Man beachte den Unterschied zwischen Ausstoß (= Gesamtproduktion) und Ausschuss (= fehlerhafte Produktion).

Methode 1 (die Definition)

lässt sich nicht ohne weiteres rechnen, da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Stück fehlerhaft ist und aus dem zweiten Werk stammt, noch unbekannt ist. Die fehlende Angabe wird in Methode 2 (der Vierfeldertafel) zunächst ausgerechnet.

Methode 2 (Vierfeldertafel)

  • Zunächst trägt man die Zahlen 0,3, 0,5 und 0,2 in der letzten Zeile ein.

  • Danach berechnet man die Wahrscheinlichkeit 0,12, 0,125 und 0,07. Man erhält z.B. 0,12 durch P(F|A1) = $\frac{P(F\;\cap \;A_1)}{P(A_1)}$ =  $\frac{P(F\;\cap \;A_1)}{0,3}$, dies ist wiederum äquivalent zu P(F $\cap$ A1) = 0,3·0,4 = 0,12.

  • Danach auf die freien Felder P( $\cap$ A1) etc. schließen: P( $\cap$ A1) = P(A1) – P(F $\cap$ A1) = 0,3 – 0,12 = 0,18, genau so 0,375 und 0,14.

  • Schließlich die Summen der Zeilen ausrechnen: 0,695 und 0,315.

  • Die gefragte Wahrscheinlichkeit lässt sich dann als Quotient berechnen, d.h. über die Definition P(A2|F) = $\frac{P(A_2\;\cap \;F)}{P(F)}$ =  $\frac{0,125}{0,315}$ = = 0,3968.

A1

A2

A3

Summe

fehlerfrei

0,18

0,375

0,13

0,685

fehlerhaft

0,12

0,125

0,07

0,315

Summe

0,3

0,5

0,2

1

Tab. 11.1: Vierfeldertafel

Die Wahrscheinlichkeit, dass überhaupt ein Parfum fehlerhaft ist, lautet mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

P(F) = P(F|A1)·P(A1) + P(F|A2)·P(A2) + P(F|A3)·P(A3)

= 0,4·0,3 + 0,25·0,5 + 0,35·0,2 = 0,315.

Die zweite Aufgabenstellung ist hingegen typisch für die Bayessche Formel: P(W2|F) ist gefragt, P(F|W2) hingegen ist bekannt. Also

P(W2|F) = $\frac{P(F|W_2)\;\cdot \;P(W_2)}{P(F)}$ =  $\frac{0,25\;\cdot \;0,5}{0,315}$ = 0,3968.

Aufgabe 5:

Der Student Theo Pfusch ist bezüglich seines Studienverhaltens nicht immer ganz ehrlich. Er pfuscht in der Matheklausur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7. Dies tut er, weil er sich eine höhere Wahrscheinlichkeit zu bestehen ausrechnet, wenn er pfuscht. Diese liegt dann nämlich bei 0,8, wenn er hingegen nicht pfuscht, lediglich bei 0,6.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Theo die Matheklausur besteht?

b) Theo hat die Klausur bestanden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dafür gepfuscht hat?

Lösung:

a) Es stehe f für das Ereignis pfuschen und b für das Ereignis bestehen. Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, die Klausur zu bestehen, d.h. nach P(b). Dies ist aber nach dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit dann

P(b) = P(b|f)·P(f) + P(b|fC)·P(fC)

= P(b|f)·P(f) + P(b|fC)·(1 - P(f))

= 0,8·0,7 + 0,6·0,3

= 0,56 + 0,18

= 0,74.

b) Halten wir zunächst fest:

Eine typische Klausuraufgabe. Zunächst rechnet man in a) den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit, um dann in b) die Bayessche Formel zu bemühen.

P(f|b) = [P(b|f)·P(f)]/P(b)

= [0,8·0,7]/0,74

= 0,56/0,74 = 0,7568.