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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur bedingten Wahrscheinlichkeit

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur bedingten Wahrscheinlichkeit

Aufgabe 1:

Chemiestudent Christian ist zu Beginn seines Studiums davon überzeugt, dass er dieses mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 mit Erfolg abschließen wird (S). Danach beträgt ist die Wahrscheinlichkeit, dass er seinen Traumjob (T) bekommt 0,9. Sollte er das Studium nicht abschließen, so ist die Wahrscheinlichkeit für diesen lediglich bei 0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Christian seinen Traumjob bekommt?

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Lösung 1:

Hier kann man sehr gut das Baumdiagramm anwenden:

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Abb. 4.8 Baumdiagramm

$S$ ist das Ereignis, dass das Studium abgeschlossen wird, das Ereignis $T$ steht für den Traumjob. Somit ist $P(S)=0,6$ , $P(T|S) = 0,9$. $P(T |\overline{S} ) = 0,1$.

Gesucht ist $P(T)$:

Nichts anderes also als die totale Wahrscheinlichkeit, den Traumjob zu bekommen. Man muss die bedigten Wahrscheinlichkeiten von T mit den Wahrscheinlichkeiten der darunter gefassten Hypothesen multiplizieren und diese Ergebinisse miteinander addiern:

$P(T) = P(T|S)$ ∙ $P(S) + P(T| \overline{S})$ ∙ $ P(\overline{S}) $= $(0,9$ ∙ $ 0,6)$ + $(0,3$ ∙ $0,4)$ =  $0,54 + 0,12 = 0,66$

Die totale Wahrscheinlichkeit, die gewünschte Position zu erhalten, beträgt also 0,66 = 66 %.

Aufgabe 2:

Die ev. Landeskirche möchte wissen, wie regelmäßig Paare den sonntäglichen Gottesdienst besuchen. Dabei wurde herausgefunden, dass 45% der Männer und 60% der Frauen jeden Sonntag die Kirche besuchen. Wenn eine Frau den Gottesdienst besucht, so bringt sie zu 55% ihren Mann mit.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ...

  1. ... beide Ehepartner jeden Sonntag den Gottesdienst besuchen?
  2. ... eine Frau den Gottesdienst besucht, wenn ihr Mann dies ebenfalls tut?
  3. ... wenigstens einer der beiden Partner jeden Sonntag in die Kirche geht?

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Lösung 2a:

M und W sind die Ereignisse, dass ein Mann bzw. eine Frau sonntags den Gottesdienst besucht. Somit ist P(M)=0,45 und P(W)=0,6, zudem ergibt sich P(M|W)= 0,55.

Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ehepartner jeden Sonntag den Gottesdienst besuchen, ist laut Multiplikationssatz: P(M $\cap$ W) = P(M|W) ∙ P(W) = 0,55 ∙ 0,6 = 0,33

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Lösung 2b:

M und W sind die Ereignisse, dass ein Mann bzw. eine Frau sonntags den Gottesdienst besucht. Somit ist P(M)=0,45 und P(W)=0,6, zudem ergibt sich P(M|W)= 0,55.

Die Wahrscheinlichkeit, das eine Frau den Gottesdienst besucht, wenn ihr Mann dies ebenfalls tut, ist P(W|M) = ${{P(M \cap W)}\over{P(M)}}= {0,33\over{0,45}}$ = 0,734.

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Lösung 2c:

M und W sind die Ereignisse, dass ein Mann bzw. eine Frau sonntags den Gottesdienst besucht. Somit ist P(M)=0,45 und P(W)=0,6, zudem ergibt sich P(M|W)= 0,55.

Das wenigstens einer der beiden Partner jeden Sonntag in die Kirche geht, lässt sich mit Hilfe des Additionssatzes lösen:

P(M $\cup$ W) = P(M) + P(W) – P(M $\cap$ W) = 0,45 + 0,6 – 0,33 = 0, 72

Aufgabe 3:

Im Kreiskrankenhaus der Musterstadt wrden mit der selben Wahrscheinlichkeit Jungen als auch Mädchen geboren. Wie wahrscheinlich ist es, dass bei vier Geburten dreimal ein Mädchen geboren wird, wenn...

  1. ... keine weiteren Informationen vorhanden sind,
  2. ... zusätzlich bekannt ist, dass mindestens ein Mädchen geboren wird,
  3. ... bekannt ist, dass das älteste Kind ein Mädchen ist?

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Lösung 3a:

Was hier vorliegt ist ein Vierertupel, wo bspw. (M,J,M,M) das Ereignis beschreibt, dass das erste Kind ein Mädchen ist, das Zweite ein Junge und die letzten beiden Male erneut ein Mädchen. Logischerweise gibt die Abfolge auch das Alter der Kinder an. Das älteste Kind an der ersten Stelle, hier ein Mädchen, und das jünste Kind steht an letzter Stelle, hier ebenfalls ein Mädchen. Insgesamt existieren 24 mögliche Elementarereignisse.

Wird nach exakt drei Mädchen gefragt, so sind folgende günstige Ereignisse:

(J,M,M,M) ; (M,J,M,M) ; (M,M,J,M) ; (M,M,M,J)

Somit ist die gefragte Wahrscheinlichkeit ${4 \over {16}} = {1 \over {4}}$ = 0,25 = 25%.

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Lösung 3b:

Wird mindestens ein Mädchen geboren, verringert sich die Grundgesamtheit von 16 auf 15 Möglichkeiten, denn (J,J,J,J) fällt damit weg. Also ändert sich die Wahrscheinlichkeit auf:

${4 \over {15}}$ = 0,2666 = 26,67%

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Lösung 3c:

Ist die erste Geburt ein Mädchen, so halbiert sich die Anzahl aller möglichen Elementarereignisse von 16 auf acht (M,X,X,X). Auch die Anzahl der günstigen Ereignisse wird nochmals von vier auf drei reduziert: (M,J,M,M) ; (M,M,J,M) ; (M,M,M,J).

Daraus ergibt sich dann ${3 \over {8}}$ = 0,375 = 37,5%

Aufgabe 4:

Aus der Stadt Aachen stammen die berühmten Aachener Printen. Drei dort ansässige Bäcker seien für die ganze Jahresproduktion verantwortlich, der erste Bäcker stellt 25%, der Zweite 40 % und der dritte Bäcker den Rest aller Printen her. Trotz größtmöglicher Sorgfalt landet beim Verpacken auch Bruchware in den Tüten. So werden beim ersten Bäcker 20%, beim zweiten 15% und beim dritten 30% nicht aussortiert.

In einem Supermarkt wird nun eine Tüte Printen entdeckt, die auch Bruchware enthält. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ...

  1.  ... eine Tüte Printen Bruchware enthält?
  2.  ... die im Supermarkt entdeckte Tüte aus der dritten Bäckerein stammt?

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Lösung 4a:

Methode 1 (die Definition)

hier lässt sich diese Methode nicht ohne weiteres anwenden, da die Wahrscheinlichkeiten für B-Ware aus Bäckerei drei noch unbekannt ist. Die fehlenden Werte kann man bspw. über die zweite Methode (Vierfeldertafel) bestimmen.

Methode 2 (Vierfeldertafel)

Als erstes trägt man alle bekannten Werte für die Bäckereien in die Vierfeldertafel ein, hier 0,25; 0,4 und 0,35.

Im zweiten Schritt errechnet man die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Bäckereien B-Ware nicht auszusortieren: 0,05; 0,06; 0,105
Beispielhaft für B1
$P(BW|B_1) = \frac{P(BW\;\cap \;B_1)}{P(B_1)} = \frac{P(BW\;\cap \;B_1)}{0,25}$, dies ist wiederum äquivalent zu $P(BW\cap B_1) = 0,25 · 0,2 = 0,05$

Anschließend berechnet man die Werte für die einwandfreie Ware $(\overline{BW})$:
$P(\overline{BW} \cap B_1) = P(B_1) – P(BW\cap B_1) = 0,25 – 0,05= 0,2$
und auf gleiche Weise 0,34 und 0,245.

Abschließend summiert man die jeweiligen Felder zu 0,215 und 0,785.

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Abb. 4.9 Vierfeldertafel - Aufgabe 4

Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Tüte Printen überhaupt Bruchware enthält, kann man den Staz der totalen Wahrscheinlichkeit anwenden:

P(BW) = P(BW|B1)⋅P(B1) + P(BW|B2)·P(B2) + P(BW|B3)·P(B3) = 0,2 · 0,25 + 0,15 · 0,4 + 0,3 · 0,35 = 0,215.

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Lösung 4b:

Für Aufgabe b lässt sich super die Bayessche Formel anwenden: P(W3|BW) ist gefragt, P(BW|W3) hingegen ist bekannt.

$P(B_3|BW) = \frac{P(BW|B_3)\;\cdot \;P(B_3)}{P(BW)} = \frac{0,3\;\cdot \;0,35}{0,215} = 0,488$

Aufgabe 5:

Der Schüler Peter Schummel ist unter seinen Freunden dafür berüchtig in Klausuren zu 80% schummeln. Er macht das, weil er so nämlich mit der Wahrscheinlichkeit von 90% besteht, schummelt er nicht, so liegt die Quote die Klausur zu bestehen nur bei 50%.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Theo die Matheklausur besteht?
  2. Peter hat eine Klausur bestanden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er geschummelt?

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Lösung 5a:

S steht dafür, dass Peter schummelt, B dafür, dass er die Klausur besteht. Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit P(B), dass Peter in jedem Fall besteht. Man rechnet also wieder mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit:

$ P(B) = P(B|S) \cdot P(S) + P(B| \overline {S}) \cdot P(\overline {S})

= 0,9 \cdot 0,8 + 0,2 \cdot 0,5 = 0,72 + 0,1 = 0,82 $

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 Lösung 5b:

Hier ist P(S|B) gesucht, also mit welcher Wahrscheinlichkeit geschummelt wiurde, WENN die Klausur bestanden ist.

$P(S|B) = \frac{P(B|S)\;\cdot \;P(S)}{P(B)} = \frac{0,9\;\cdot \;0,8}{0,82} = 0,878$

Expertentipp

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Bei klassischen Klausuraufgaben ist es häufig so, dass man in Teilaufgabe a) zuerst den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und im zweiten Teil b) die Bayessche Formel muss

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