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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Wir haben ihn schon öfter benutzt, trotzdem hier nochmals formal:

Merke

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Sei A1, ... , An eine Zerlegung der Grundgesamtheit Ω, d.h.

  • Ω = A1 $\cup$ A2 $\cup$ ... $\cup$ An, d.h. die Ai bilden die gesamte Ereignismenge und

  • Ai $\cap$ Aj = Ø, i ≠ j, d.h. die einzelnen Ai sind disjunkt, schneiden sich also nicht.

Dann gilt für ein Ereignis B:

P(B) =$\sum_{i=1}^n P(B|Ai)\cdot P(Ai) = P(B|A1)\cdot P(A1) + ... + P(B|An)\cdot P(An).$

Den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit haben wir bereits auf der vorigen Seite unter „Vierte Methode: Bäumchen (inkl. Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)“ erwähnt. Da er von großer Bedeutung ist, gehen wir hier aber nochmals gesondert auf ihn ein.

Methode

LAMBERT-TRICK:

den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit behält man besser verbal: die Wahrscheinlichkeit für B, also P(B), ist gleich der

  • Wahrscheinlichkeit für B unter allen Hypothesen Ai ... P(B|Ai)

  • multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit dieser Hypothesen Ai ... . P(Ai)

  • dies dann aufsummiert über alle Hypothesen ... $\sum_{i=1}^n$ P(B|Ai)·P(Ai).

Wenn es nun statt zwei sogar drei Hypothesen A1, A2, A3 gibt, dann lautet der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit speziell P(B) = P(B|A1)·P(A1) + P(B|A2)·P(A2) + P(B|A3)·P(A3).

Es werden also alle Äste im entsprechenden Bäumchen alle Äste aufsummiert, die mit dem gefragten Ereignis B enden.

P(B) = P(A1 $\cap$ B) + P(A2 $\cap$ B) + P(B $\cap$ A3)

= P(B|A1)·P(A1) + P(B|A2)·P(A2) + P(B|A3)·P(A3).

Graphisch dargestellt:

Abb. 4.5: Bäumchen
Abb. 4.5: Bäumchen

Merke

MERKE:

  • Die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten macht keinen Sinn bei unabhängigen Ereignissen, da die bedingte Wahrscheinlichkeit von bspw. B unter der Hypothese A , also P(B|A), sowieso gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit von B ist, d.h. P(B), d.h. es gilt P(B|A) = P(B), egal ob die Hypothese A nun eintritt oder nicht.

  • Es wäre nicht ohne weiteres richtig, die Unabhängigkeit von A und B darüber zu definieren, ob P(B|A) = P(B) gilt. Diese Beziehung ist nämlich lediglich für P(A) > 0 überhaupt erklärt. Für P(A) = 0, also z.B. für unmögliche Ereignisse A, hilft Beziehung P(B|A) = P(B) daher nicht weiter. Mit der obigen Definition der Unabhängigkeit von Ereignissen hingegen sieht man, dass auch hier eine Aussage getroffen werden kann. Konkret nämlich gilt für das unmögliche Ereignis A, d.h. A = Ø, dass P(A)·P(B) = P(Ø)·P(B) = 0·P(B) = 0 und P(A $\cap$ B) = P(Ø $\cap$ B) = P(Ø) = 0, d.h. da beide null sind, gilt insbesondere auch P(A $\cap$ B) = P(A)·P(B).

  • Also: das unmögliche Ereignis ist unabhängig von jedem anderen Ereignis!