wiwiweb
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Den Kurs kaufen für:
einmalig 49,00 €
Zur Kasse

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Finanzwirtschaftliches Management:
 Am 01.03.2017 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Crashkurs Teil A: Kosten- und Leistungsrechnung und Finanzwirtschaftliches Management
- In diesem Webinar werden Sie an drei Tagen optimal auf Ihre Prüfung in Teil A - Kostenrechnung und Finanzwirtschaftliches Management - vorbereitet.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Wir haben ihn schon öfter benutzt, trotzdem hier nochmals formal:

Merke

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Sei A1, ... , An eine Zerlegung der Grundgesamtheit Ω, d.h.

  • Ω = A1 $\cup$ A2 $\cup$ ... $\cup$ An, d.h. die Ai bilden die gesamte Ereignismenge und

  • Ai $\cap$ Aj = Ø, i ≠ j, d.h. die einzelnen Ai sind disjunkt, schneiden sich also nicht.

Dann gilt für ein Ereignis B:

P(B) =$\sum_{i=1}^n P(B|Ai)\cdot P(Ai) = P(B|A1)\cdot P(A1) + ... + P(B|An)\cdot P(An).$

Den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit haben wir bereits auf der vorigen Seite unter „Vierte Methode: Bäumchen (inkl. Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)“ erwähnt. Da er von großer Bedeutung ist, gehen wir hier aber nochmals gesondert auf ihn ein.

Methode

LAMBERT-TRICK:

den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit behält man besser verbal: die Wahrscheinlichkeit für B, also P(B), ist gleich der

  • Wahrscheinlichkeit für B unter allen Hypothesen Ai ... P(B|Ai)

  • multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit dieser Hypothesen Ai ... P(Ai)

  • dies dann aufsummiert über alle Hypothesen ... $\sum_{i=1}^n$ P(B|Ai)·P(Ai).

Wenn es nun statt zwei sogar drei Hypothesen A1, A2, A3 gibt, dann lautet der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit speziell P(B) = P(B|A1)·P(A1) + P(B|A2)·P(A2) + P(B|A3)·P(A3).

Es werden also alle Äste im entsprechenden Bäumchen alle Äste aufsummiert, die mit dem gefragten Ereignis B enden.

P(B) = P(A1 $\cap$ B) + P(A2 $\cap$ B) + P(B $\cap$ A3)

= P(B|A1)·P(A1) + P(B|A2)·P(A2) + P(B|A3)·P(A3).

Graphisch dargestellt:

Abb. 4.5: Bäumchen
Abb. 4.5: Bäumchen

Merke

MERKE:

  • Die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten macht keinen Sinn bei unabhängigen Ereignissen, da die bedingte Wahrscheinlichkeit von bspw. B unter der Hypothese A , also P(B|A), sowieso gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit von B ist, d.h. P(B), d.h. es gilt P(B|A) = P(B), egal ob die Hypothese A nun eintritt oder nicht.

  • Es wäre nicht ohne weiteres richtig, die Unabhängigkeit von A und B darüber zu definieren, ob P(B|A) = P(B) gilt. Diese Beziehung ist nämlich lediglich für P(A) > 0 überhaupt erklärt. Für P(A) = 0, also z.B. für unmögliche Ereignisse A, hilft Beziehung P(B|A) = P(B) daher nicht weiter. Mit der obigen Definition der Unabhängigkeit von Ereignissen hingegen sieht man, dass auch hier eine Aussage getroffen werden kann. Konkret nämlich gilt für das unmögliche Ereignis A, d.h. A = Ø, dass P(A)·P(B) = P(Ø)·P(B) = 0·P(B) = 0 und P(A $\cap$ B) = P(Ø $\cap$ B) = P(Ø) = 0, d.h. da beide null sind, gilt insbesondere auch P(A $\cap$ B) = P(A)·P(B).

  • Also: das unmögliche Ereignis ist unabhängig von jedem anderen Ereignis!

Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit über den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit am nächsten?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Daniel Lambert

Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
Vorstellung des Online-Kurses WahrscheinlichkeitsrechnungWahrscheinlichkeitsrechnung
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Wahrscheinlichkeitsrechnung

wiwiweb - Interaktive Online-Kurse (wiwiweb.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Kombinatorik
    • Einleitung zu Kombinatorik
    • Permutationen
    • Variationen
    • Kombinationen
      • Kombinationen ohne Wiederholung
      • Kombinationen mit Wiederholung
    • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur Kombinatorik
  • Ereignisse
    • Einleitung zu Ereignisse
    • Übungsaufgaben zu Ereignissen
  • Wahrscheinlichkeiten
    • Einleitung zu Wahrscheinlichkeiten
    • Formeln für Wahrscheinlichkeiten
    • Übungen, Beispiele und Berechnungen zu Wahrscheinlichkeiten
  • Bedingte Wahrscheinlichkeiten
    • Einleitung zu Bedingte Wahrscheinlichkeiten
    • Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen
    • Richtige Reihenfolge erkennen
    • Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
    • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur bedingten Wahrscheinlichkeit
  • Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)
    • Einleitung zu Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)
    • Wahrscheinlichkeitsfunktion
    • Dichtefunktionen
    • Verteilungsfunktion
    • Verteilungsparameter
      • Lageparameter
      • Streuungsparameter
    • Linearkombinationen von Zufallsvariablen
    • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur eindimensionalen Verteilung (ohne Namen)
  • Eindimensionale Verteilungen (mit Namen)
    • Diskrete Verteilungen
      • Einleitung zu Diskrete Verteilungen
      • Binomialverteilung
      • Weitere diskrete Verteilungen
    • Stetige Verteilungen
      • Einleitung zu Stetige Verteilungen
      • Normalverteilung
      • Exponentialverteilung
    • Aufgaben, Lösungen und Beispiele zu eindimensionalen Verteilungen (mit Namen)
  • Mehrdimensionale Verteilungen
    • Einleitung zu Mehrdimensionale Verteilungen
    • Gemeinsame Verteilungsfunktion
    • Randverteilungen
    • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur mehrdimensionalen Verteilung
  • Gesetz der großen Zahlen
    • Einleitung zu Gesetz der großen Zahlen
    • Zentraler Grenzwertsatz
    • Aufgabe, Berechnung und Lösung zum Gesetz der großen Zahlen
  • Tschebyscheffsche Ungleichung
    • Einleitung zu Tschebyscheffsche Ungleichung
    • Aufgaben, Beispiele und Berechnungen zur tschebyscheffschen Ungleichung
  • 40
  • 63
  • 152
  • 39
einmalig 49,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Ein Kursnutzer am 23.07.2015:
    "Weiter so!! viele Grüße aus Nürnberg"

  • Gute Bewertung für Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Ein Kursnutzer am 08.06.2015:
    "Ich finde, dass Herrn Lambert eine große Gabe hat, schwierige Sachverhalte einfach und strukturiert wiederzugeben. Man gewinnt außerdem den Eindruck, dass er Spaß an der Erklärung hat und an wichtiger Stelle die Fokussierung mit Witz und Präzision in der Wortwahl den Stoff einleuchtend vermittelt. Ich würde mal sagen, das war ein ganz schön dickes LOB! :-) Danke! "

  • Gute Bewertung für Wahrscheinlichkeitsrechnung

    Ein Kursnutzer am 19.01.2015:
    "Super toll , besser als ein Buch"

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen