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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit wurde unter der 4. Methode "Bäumchen - inkl. Satz der totalen Wahrscheinlichkeit" schonmal angesprochen. Weil er aber eine große Bedeutung hat gehen wir hier nochmals etwas genauer darauf ein.

Merke

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Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Wenn A1, ... , An eine Zerlegung der Grundgesamtheit (Ω), also
Ω = A1 $\cup$ A2 $\cup$ ... $\cup$ An, somit bildet Ai die gesamte Ereignismenge
(Ai $\cap$ Aj = Ø, i ≠ j), dann sind die einzelnen Ai disjunkt und scheiden sich nicht.

Dann gilt für ein Ereignis B:

$P(B) = $$\sum_{i=1}^n $ P(B|Ai)·P(Ai) = P(B|A1)·P(A1) + ... + P(B|An)·P(An)

 

Expertentipp

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Verbal kann man sich den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit besser einprägen:

Die Wahrscheinlichkeit für B, also P(B), ist gleich der Wahrscheinlichkeit für B unter allen Hypothesen Ai ... P(B|Ai), multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit dieser Hypothesen Ai ... P(Ai). Dies ergibt dann aufsummiert über alle Hypothesen ... 

$\sum_{i=1}^n$ P(B|Ai)·P(Ai).

Wenn es nun statt zwei sogar drei Hypothesen A1, A2, A3 gibt, dann lautet der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit speziell P(B) = P(B|A1)·P(A1) + P(B|A2)·P(A2) + P(B|A3)·P(A3).

Summiert werden demnach im vorliegenden Baumdiagramm alle Äste, die aus das gesuchte Ereignis B enden.

P(B) = P(A1 $\cap$ B) + P(A2 $\cap$ B) + P(B $\cap$ A3) = P(B|A1)·P(A1) + P(B|A2)·P(A2) + P(B|A3)·P(A3).

Bildlich dargestellt:

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Abb. 4.5 Bäumchen

Also lässt sich folgendes festhalten:

Ein Berechnen der bedingten Wahrscheinlichkeit von unabhänigen Ereignissen ergibt keinen Sinn, da für diesen Fall die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit ist.

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Ein Ereignis A ist unabhängig von einem anderen Ereignis B, so ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Hypothese B gleich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.

Als Formel ausgedrückt:  P(A|B) = P(A)

Man kann jedoch die Unabhängigkeit zweier Ereignisse nicht davon abhängig machen, ob P(A|B) = P(A) gilt. Den diese gilt nur für P(B) > 0, jedoch für P(B) = 0 (z.B. für unmögliche Ereignisse) ist dieser Zusammenhang nicht geklärt.

Trotzdem kann man mit der oben aufgeführten Definition der Unabhängigkeit eine Aussage für unmögliche Ereignisse treffen:

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Unmögliche Ereignisse sind unabhängig von jedem anderen Ereignis!

Denn für ein unmögliches Ereignis B (B = Ø) gilt, dass P(A)·P(B) = P(A)·P(Ø) = P(A)·0 = 0

P(A $\cap$ B) = P(Ø $\cap$ B) = P(Ø) = 0

Da beides gleich null ist, gilt vorallem P(A $\cap$ B) = P(A)·P(B).