Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Sei A₁, ... , A_n eine Zerlegung der Grundgesamtheit Ω, d.h.

• Ω = A₁ $\cup$ A₂ $\cup$ ... $\cup$ A_n, d.h. die A_i bilden die gesamte Ereignismenge und

• A_i $\cap$ A_j = Ø, i ≠ j, d.h. die einzelnen A_i sind disjunkt, schneiden sich also nicht.

Dann gilt für ein Ereignis B:

P(B) = $\sum_{i=1}^n $ P(B|A_i)·P(A_i)= P(B|A₁)·P(A₁) + ... + P(B|A_n)·P(A_n)

MERKE:

• Die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten macht keinen Sinn bei unabhängigen Ereignissen, da die bedingte Wahrscheinlichkeit von bspw. B unter der Hypothese A , also P(B|A), sowieso gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit von B ist, d.h. P(B), d.h. es gilt P(B|A) = P(B), egal ob die Hypothese A nun eintritt oder nicht.

• Es wäre nicht ohne weiteres richtig, die Unabhängigkeit von A und B darüber zu definieren, ob P(B|A) = P(B) gilt. Diese Beziehung ist nämlich lediglich für P(A) > 0 überhaupt erklärt. Für P(A) = 0, also z.B. für unmögliche Ereignisse A, hilft Beziehung P(B|A) = P(B) daher nicht weiter. Mit der obigen Definition der Unabhängigkeit von Ereignissen hingegen sieht man, dass auch hier eine Aussage getroffen werden kann. Konkret nämlich gilt für das unmögliche Ereignis A, d.h. A = Ø, dass P(A)·P(B) = P(Ø)·P(B) = 0·P(B) = 0 und P(A $\cap$ B) = P(Ø $\cap$ B) = P(Ø) = 0, d.h. da beide null sind, gilt insbesondere auch P(A $\cap$ B) = P(A)·P(B).

• Also: das unmögliche Ereignis ist unabhängig von jedem anderen Ereignis!