Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit wurde unter der 4. Methode "Bäumchen - inkl. Satz der totalen Wahrscheinlichkeit" schonmal angesprochen. Weil er aber eine große Bedeutung hat gehen wir hier nochmals etwas genauer darauf ein.
Merke
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Wenn A1, ... , An eine Zerlegung der Grundgesamtheit (Ω), also
Ω = A1 $\cup$ A2 $\cup$ ... $\cup$ An, somit bildet Ai die gesamte Ereignismenge
(Ai $\cap$ Aj = Ø, i ≠ j), dann sind die einzelnen Ai disjunkt und scheiden sich nicht.
Dann gilt für ein Ereignis B:
$P(B) = $$\sum_{i=1}^n $ P(B|Ai)·P(Ai) = P(B|A1)·P(A1) + ... + P(B|An)·P(An)
Expertentipp
Verbal kann man sich den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit besser einprägen:
Die Wahrscheinlichkeit für B, also P(B), ist gleich der Wahrscheinlichkeit für B unter allen Hypothesen Ai ... P(B|Ai), multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit dieser Hypothesen Ai ... . P(Ai). Dies ergibt dann aufsummiert über alle Hypothesen ...
$\sum_{i=1}^n$ P(B|Ai)·P(Ai).
Wenn es nun statt zwei sogar drei Hypothesen A1, A2, A3 gibt, dann lautet der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit speziell P(B) = P(B|A1)·P(A1) + P(B|A2)·P(A2) + P(B|A3)·P(A3).
Summiert werden demnach im vorliegenden Baumdiagramm alle Äste, die aus das gesuchte Ereignis B enden.
P(B) = P(A1 $\cap$ B) + P(A2 $\cap$ B) + P(B $\cap$ A3) = P(B|A1)·P(A1) + P(B|A2)·P(A2) + P(B|A3)·P(A3).
Bildlich dargestellt:
Also lässt sich folgendes festhalten:
Ein Berechnen der bedingten Wahrscheinlichkeit von unabhänigen Ereignissen ergibt keinen Sinn, da für diesen Fall die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit ist.
-
Ein Ereignis A ist unabhängig von einem anderen Ereignis B, so ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Hypothese B gleich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.
Als Formel ausgedrückt: P(A|B) = P(A)
Man kann jedoch die Unabhängigkeit zweier Ereignisse nicht davon abhängig machen, ob P(A|B) = P(A) gilt. Den diese gilt nur für P(B) > 0, jedoch für P(B) = 0 (z.B. für unmögliche Ereignisse) ist dieser Zusammenhang nicht geklärt.
Trotzdem kann man mit der oben aufgeführten Definition der Unabhängigkeit eine Aussage für unmögliche Ereignisse treffen:
-
Unmögliche Ereignisse sind unabhängig von jedem anderen Ereignis!
Denn für ein unmögliches Ereignis B (B = Ø) gilt, dass P(A)·P(B) = P(A)·P(Ø) = P(A)·0 = 0
P(A $\cap$ B) = P(Ø $\cap$ B) = P(Ø) = 0
Da beides gleich null ist, gilt vorallem P(A $\cap$ B) = P(A)·P(B).
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