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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Diskrete Verteilungen

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Diskrete Verteilungen

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Video: Diskrete Verteilungen

Nun lernen wir Zufallsvariablen, die benannt sind, also einen Namen haben und in Lehrbüchern auftauchen. Für diese lassen sich auch Wahrscheinlichkeitsfunktionen oder Dichtefunktionen formulieren, wie wir es im vergangenen Kapitel gesehen haben.

Diskrete Verteilungen

Diskrete Gleichverteilungen

Die diskrete Gleichverteilung ist dadurch gekennzeichnet, dass die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines jeden möglichen Werts der Zufallsvariablen genau gleich sind:

Merke

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Unter der diskreten Geichverteilung versteht man Zufallsvarablen, deren Wahrscheinlichkeit alle den selben Wert haben.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f einer Zufallsvariablen mit n Formen x1,x2,...,xn:

f(k) = $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{\frac 1 n\ \ \ k\;=\;1,2,...,n}{0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \;\;\;\;\mathit{sonst}}\right.$}

Beispiel

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Beispiel 1:

Bei einem einmaligen Würfelwurf sind alle möglichen Ausprägungen diskret gleich verteilt. Die Wahrscheinlichkeit ist ${1 \over n} = {1 \over 6}$, weil bei 1, 2, 3, 4, 5, 6, wir n=6 Möglichkeiten haben.

Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion besitzen eine einfache Gestalt, wie bei diesem Beispiel sehen können:

Bitte Beschreibung eingeben
Abb 6.1 Wahrscheinlichkeitsfunktion beim einfachen Würfelwurf

Beispiel

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Beispiel 2:

Wenn wir eine Münze werfen, sind alle möglichen Ausprägungen ebenfalls diskret gleich verteilt. Die Wahrscheinlichkeit ist ${1 \over n} = {1 \over 2}$, weil wir bei Kopf oder Zahl n=2 Möglichkeiten haben.

 

Geometrische Verteilung

Die geometrische Verteilung gehört zu den Verteilungen, die man sich "von der Natur her" erschließen kann, genau wie bei der diskreten Gleichverteilung, der Laplace-Verteilung, der Binomialverteilung und der hypergeometrischen Verteilung. Im Gegensatz dazu stehen bspw. die Normalverteilung oder Poissonverteilung, die entwerder vom Aufgabensteller vorgegeben werden müssen oder vom Lösenden näherweise richtig gesehen werden.

Bei der geometrischen Verteilung wird für ein Experimet, welches nur zwei Ereignisse kennt, nämlich den Erfolg p und den Misserfolg q=1-p, die Frage nach der Wahrscheinlichkeit bei n unabhängigen Wiederholungen im k. Versuch (1 ≤ k ≤ n) zum ersten Mal einen Erfolg zu erzielen beantwortet: (1 - p)k-1·p

Dies lässt sich wie folgt herleiten: Bei den anfänglichen k-1 Versuchen tritt zunächst ein Misserfolg ein, mit der Wahrscheinlichkeit 1-p. Weil die einzelnen Versuche unabhägig voneinander sind, können wir aus ihnen ein Produkt bilden: (1 – p)k - 1 ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass im k-1 Versuch nur der Misserfolge eintreten.
Erst im k. Versuch tritt nun ein Erfolg mit der Wahrscheinlicheit von p ein. Da dieser k. Versuch, genauso wie die anderen vorher unabhängig von den anderen ist, lässt sich die Wahrscheinlichkeit auch hier mal nehmen: (1 – p)k - 1·p
So ist also (1 – p)k - 1·p die Wahrscheinlichkeit, dass in den anfänglichen k-1 Versuchen nur Misserfolge auftreten und erst im k. Versuch zum ersten Mal ein Erfolg eintritt.

Beispiel

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Ein gerne genommenes Beispiel ist hierfür das Spiel "Mensch-ärgere-Dich-nicht". Um aus dem Haus herauszukommen, muss man eine sechs würfeln. Wie groß ist hier die Wahrscheinlichkeit, dass man...

  1. ...beim ersten Mal,
  2. ...erst beim zweiten Mal,
  3. ...erst beim dritten Mal,
  4. ...in der Runde gar nicht rauskommt?

 

Vertiefung

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Lösung:

p = ${1\over 6}$ und lässt sich dann in die Formel (1 – p)k-1·p einsetzen:

  1. k = 1 (1 – p)1-1·p = (1 – p)0·p = p = ${1\over 6}$
  2. k = 2 (1 – p)2-1·p = (1 – ${1\over 6}$)1·${1\over 6}$ = $({5\over 6})^1$·${1\over 6}$ = ${5\over 36}$
  3. k = 3 (1 – p)3-1·p = (1 – ${1\over 6}$)2·${1\over 6}$ = $({5\over 6})^2$·${1\over 6}$ = ${25\over 216}$
  4. k = 4 (1 – p)4-1·p = (1 – ${1\over 6}$)3 = $({5\over 6})^3$ = ${125\over 216}$

Für die geometrische Verteilung existiert die Rekursionsformel:

Merke

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 pk+1 = (1 – p)∙pk        

Diese kann dafür genutzt werden, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen im k+1. Versuch das erste Mal Erfolg zu haben, sofern die Wahrscheinlichkeit dafür bekannt ist, im k. Versuch das erste Mal Erfolg zu haben.

Beispiel

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Für unser vorangegangenes Beispiel sähe das folgendermaßen aus:

p3 = (1 - p)·p2 = $(1 – {1\over 6})$·$({5\over 36})$ = ${5\over 6}$·${5\over 36}$ = ${25\over 6^3}$ = ${25\over 216}$.

Beispiel

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Aufgabe:

Die Boutique-Inhaberin B glaubt, mit einer Wahrscheinlichkeit von 55% ein Shirt X zu verkaufen. Es besuchen insgesamt 15 Kunden den Laden, dabei ist X Anzahl verkaufter Shirts für diesen Tag.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, vier Shirts nicht zu verkaufen, ehe beim fünften Kunden ein Shirt verkauft wird?
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Shirts nicht verkauft zu bekommen, ehe sie erstmalig ein Shirt verkauft?
  3. Mit wie vielen nicht verkauften Shirts muss sie kalkulieren, ehe sie ihr erstes verkauft?

Vertiefung

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Lösung Beispiel 2:
  1. Die Wahrscheinlichkeit ein Shirt zu verkaufen, beträgt 0,55. Die Wahrschenlichkeit kein Shirt zu verkaufen ist also 1 - 0,55 = 0,45.
    Bei den ersten vier Versuchen beträgt die Wahrscheinlichkeit für Fehlversuche (1 - 0,55)5 - 1 = 0,04100625. Beim fünften Versuch wird dieser Ausdruck dann mit 0,55 multipliziert, da sie dann das erste Mal ein Shirt verkauft. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist dem nach: (1 - 0,55)5 - 1∙0,55 = 0,02255344.

  2. Selbes gilt hier: (1 - 0,55)3 - 1∙0,55 = 0,111375.

  3. Der Erwartungswert der geometrisch verteilten Zufallsvariablen zum Parameter p ist E(X) =${1\over p}$. So bekommt man für E(X) = ${1\over 0,55}$ = ${20\over 11}$= 1,82.
    Damit muss die Boutique-Verkäuferin also damit rechnen 1,82 Shirts nicht zu verkaufen, ehe sie ihr Erstes verkauft.

Laplaceverteilung

Viele Zufallsexperimente sind so aufgebaut, dass sie nur zwei Ergebnisse haben. Bspw. gewinnen oder verlieren beim Spiel, Bestehen oder Nicht-Bestehen einer Prüfung. Kurzum unterscheidet man immer zwischen Erfolg oder Misserfolg.

Die Wahrscheinlichkeit für einen „Erfolg“ sei p, jene für „Misserfolg“ dann 1-p. Die Indikatorvariable lässt sich formal darstellen durch:

Merke

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IA(ω) = $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{1,\ \ \ \omega \;\in \;A,}{0,\ \ \ \;\;\omega \;\notin \;A}\right.$} mit p = P(A).

Die Zufallsvariable IA nennt man Laplace-verteilt.

Beispiel

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Beim einmaligen werfen eines Würfels gewinnt man, wenn man eine 3 oder 4, würfelt und verliert , wen man ein 1, 2, 5 oder 6 wirft. Die Indikatorvariable ist dann
IA(ω) =$\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{1,\ \ \ \omega \;\in \;A,}{0,\ \ \ \;\;\omega \;\notin \;A}\right.$ =  $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{1,\ \ \ \omega \;\in \;\{3,4,\},}{0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \;\omega \;\in \;\left\{1,2,5,6\right\}}\right.$.

Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg ist p = P(A) = ${2 \over 6}$ = = ${1 \over 6}$ = 0,33.

Beispiel

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Beim einmaligen werfen einer Münze gewinnt man bei "Zahl". Die Ergebnismenge ist Ω = {Z,K} und A = {Z} und = {K}.

Die Indikatorvariable ist IA(ω) = $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{1,\ \ \ \omega \;\in \;\{Z\}}{0,\ \ \ \;\;\omega \;\notin \;\left\{K\right\}}\right.$

Bei der Binominalverteilung ist die Indikatorvariable noch deutlich wichtger. Hier bei der Laplace-Verteilung haben wir sie als Hinführung zur Binomialverteilung kennengelernt.