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Diskrete Verteilungen

WebinarTerminankündigung:
 Am 08.12.2016 (ab 18:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar Diskrete und stetige Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
- In diesem 60-minütigen Gratis-Webinar gehen wir darauf ein, welche diskreten und stetigen Verteilungen Sie in der Prüfung beherrschen müssen.
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Video: Diskrete Verteilungen

Wir behandeln nun Zufallsvariablen, die in Lehrbüchern bekannt sind und insofern einen Namen haben. Sehr wohl lässt sich auch zu ihnen eine Wahrscheinlichkeitsfunktion oder eine Dichtefunktion, wie im vorigen Kapitel „Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)“ Geschehen, explizit hinschreiben...

Wir behandeln nun Zufallsvariablen, die in Lehrbüchern bekannt sind und insofern einen Namen haben. Sehr wohl lässt sich auch zu ihnen eine Wahrscheinlichkeitsfunktion oder eine Dichtefunktion, wie im vorigen Kapitel „Eindimensionale Verteilungen (ohne Namen)“ Geschehen, explizit hinschreiben...

Diskrete Verteilungen

Diskrete Gleichverteilungen

Die diskrete Gleichverteilung ist dadurch gekennzeichnet, dass die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines jeden möglichen Werts der Zufallsvariablen genau gleich sind:

Merke

Definition:

Eine Zufallsvariable, die die n Ausprägungen x1,x2,...,xn besitzt und deren Wahrscheinlichkeitsfunktion f

f(k) = $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{\frac 1 n\ \ \ k\;=\;1,2,...,n}{0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \;\;\;\;\mathit{sonst}}\right.$}

lautet, heißt diskret gleichverteilt.

Beispiel

Beispiel 1:

Die möglichen Ausprägungen beim einfachen Würfelwurf sind diskret gleichverteilt mit sechs möglichen Ausprägungen).  

Lösung:

Die möglichen Ausprägungen 1, 2, 3, 4, 5, 6 (also n = 6 Werte) werden jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/n = 1/6 angenommen.

Beispiel

Beispiel 2:

Die möglichen Ausprägungen beim einfachen Münzwurf sind diskret gleichverteilt mit zwei möglichen Ausprägungen (n = 2). 

Lösung:

Die Einstrittswahrscheinlichkeit ist jeweils 1/n = ½ = P(Kopf) = P(Zahl).

Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion haben eine denkbar einfache Gestalt: hierzu das Beispiel vom einfachen Würfelwurf (siehe Beispiel 1).

Abb. 6.1: Wahrscheinlichkeitsfunktion beim einfachen Würfelwurf
Abb. 6.1: Wahrscheinlichkeitsfunktion beim einfachen Würfelwurf

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der jeweiligen Würfelzahl ist 1/6.

Geometrische Verteilung

Die geometrische Verteilung ist eine derjenigen Verteilungen, die man sich „aus der Natur“ erklären kann, zusammen mit der diskreten Gleichverteilung, der Laplace-Verteilung, der Binomialverteilung und der hypergeometrischen Verteilung. Die anderen, so wie z.B. die Normal- oder die Poissonverteilung, müssen entweder vom Klausurensteller vorgegeben sein oder vom Studenten als approximativ richtig gesehen werden.

Die geometrische Verteilung beantwortet folgende Frage:

Methode

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Experiment mit jeweils genau zwei Ergebnissen – Erfolg und Misserfolg -, wobei der Erfolg mit der Wahrscheinlichkeit p, der Misserfolg mit der Wahrscheinlichkeit 1 - p auftritt und n unabhängige Wiederholungen dieses Experiments der Erfolg im k. Versuch, 1 ≤ k ≤ n, zum erstenmal auftritt?

Antwort: (1 - p)k-1·p.

Das ist ja auch klar: in den ersten k - 1 Versuchen tritt jeweils der Misserfolg ein, und zwar mit der (Misserfolgs-)Wahrscheinlichkeit 1 - p. Da die Versuche unabhängig voneinander sind, lassen sich diese Wahrscheinlichkeiten multiplizieren: (1 – p)k - 1 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass k - 1 mal hintereinander der Misserfolg eintritt. Im k. Versuch schließlich soll der Erfolg eintreten, was mit Wahrscheinlichkeit p geschieht. Da der k. Versuch unabhängig von den vorhergehenden ist, lässt sich auch hier multiplizieren: man erhält (1 – p)k - 1·p als die Wahrscheinlichkeit, dass in den ersten k - 1 Versuchen nur der Misserfolg auftritt und schließlich im k. Versuch zum erstenmal der Erfolg. Hierzu das

Beispiel

Beispiel:

Beim Mensch-ärgere-Dich-nicht-Spiel darf man bis zu dreimal hintereinander versuchen, eine 6 zu würfeln, um „rauszukommen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man

a) beim erstenmal,

b) erst beim zweitenmal,

c) erst beim drittenmal,

d) gar nicht rauskommt?

a) p = 1/6, k = 1, die Antwort lautet (1 – p)k-1·p = (1 – p)1-1·p = (1 – p)0·p = p = 1/6,

b) die Wahrscheinlichkeit ist (1 – p)k-1·p = (1 - (1/6))2-1·(1/6) = (5/6)·(1/6) = 5/36

(klar, denn (1,6), (2,6), (3,6), ..., (5,6) sind die günstigen Ereignisse von 36 möglichen).

c) die Lösung ist (1 – p)k-1·p = (1 -(1/6))3-1·(1/6) = (5/6)2·(1/6) = 25/63

d) (1 - (1/6))3 = (5/6)3.

Für die geometrische Verteilung existiert die Rekursionsformel

Merke

 pk+1 = (1 – p)∙pk        Rekursionsformel geometrische Verteilung.

Hiermit lässt sich leicht ausrechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, erst im k + 1. Versuch zum ersten Mal Erfolg zu erzielen, wenn man die Wahrscheinlichkeit dafür kennt, dass man im k. Versuch zum ersten Mal Erfolg hatte. So ist z.B. im Beispiel dann

p3 = (1 - p)·p2 = (1 – 1/6)·(5/36) = (5/6)·(5/36) = 25/63.

Aufgabe:

Der Kioskbesitzer K. aus Bochum ist der Meinung, dass es ihm gelingt, das Spielzeugauto X mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % zu verkaufen. Es kommen zehn potenzielle Kunden in seinen Laden. X sei die Anzahl der verkauften Autos an diesem Tag.

  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kriegt er fünf Autos nicht verkauft, bevor er im sechsten Versuch erstmalig ein Auto verkauft bekommt bzw. mit welcher Wahrscheinlichkeit verkauft er mindestens zwei Autos nicht, bevor er das erste Auto verkaufen kann?

  2. Mit wie vielen nicht verkauften Autos vor dem ersten Vertragsabschluss muss der Kioskbesitzer rechnen?

Lösung:

1. a) Die Wahrscheinlichkeit, (mindestens) ein Spielzeugauto zu verkaufen, beträgt 0,6. Die Gegenwahrscheinlichkeit (also kein Auto zu verkaufen), beträgt demnach 1 - 0,6 = 0,4. Die Wahrscheinlichkeit, erst beim sechsten Versuch ein Auto verkauft zu bekommen, lässt sich mit der geometrischen Verteilung berechnen. Bei den ersten fünf Versuchen beträgt die Wahrscheinlichkeit für lauter Fehlversuche (1 - 0,6)6 - 1 = 0,01024. Hier wird mit der Gegenwahrscheinlichkeit gerechnet, da er fünfmal kein Auto verkauft. Beim sechsten Versuch wird dieser Ausdruck dann mit 0,6 multipliziert, da er dann das erste Mal ein Auto verkauft. Die Gesamtwahrscheinlichkeit beträgt dann: (1 - 0,6)6 - 1∙0,6 = 0,006144.

b) Hier muss man analog vorgehen: (1 - 0,6)3 - 1∙0,6 = 0,096.

2. Der Erwartungswert der geometrisch verteilten Zufallsvariablen zum Parameter p ist E(X) = 1/p. Damit erhält man E(X) = 10/6 = 1,67. Der Kioskbesitzer erwartet also, dass er 1,67 Autos nicht verkauft, bevor er das erste Auto verkauft.

Laplaceverteilung

Oftmals gibt es bei Zufallsexperimenten nur genau zwei Ergebnisse:

  • Gewinn oder Verlust beim Lotto,

  • Bestehen oder Nicht-Bestehen in der Klausur,

  • Tod oder Überleben in der Lebensversicherung.

Kurz gesagt, es sind die beiden Ereignisse

  • Erfolg oder

  • Misserfolg

zu unterscheiden.

Die Wahrscheinlichkeit für einen „Erfolg“ sei p, jene für „Misserfolg“ dann 1 - p. Die Indikatorvariable lässt sich formal darstellen durch

IA(ω) = $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{1,\ \ \ \omega \;\in \;A,}{0,\ \ \ \;\;\omega \;\notin \;A}\right.$} mit p = P(A).

Die Zufallsvariable IA nennt man Laplace-verteilt.

Beispiel

  • Im einfachen Würfelwurf gewinnt man, wenn man eine Zahl aus der Menge A = {1, 2, 3, 4} würfelt und verliert, wenn man eine Zahl aus dem Komplement = {5,6}. Die Indikatorvariable ist dann

    IA(ω) =$\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{1,\ \ \ \omega \;\in \;A,}{0,\ \ \ \;\;\omega \;\notin \;A}\right.$ =  $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{1,\ \ \ \omega \;\in \;\{1,2,3,4\},}{0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \;\omega \;\in \;\left\{5,6\right\}}\right.$.

    Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg ist p = P(A) = 4/6 = 0,67.

  • Beim einfachen Münzwurf interessiert man sich für „Kopf“ als Erfolg. Es ist Ω = {Z,K} die Menge aller Elementarereignisse, d.h. aller Möglichkeiten, die überhaupt beim einfachen Münzwurf eintreten können, außerdem A = {K} und = {Z}. Die Indikatorvariable ist dann IA(ω) = $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{0}{1,\ \ \ \omega \;\in \;\{K\},}{0,\ \ \ \;\;\omega \;\in \;\{Z\}}\right.$.

Die Indikatorvariable wird gleich bei der Binomialverteilung noch eine große Bedeutung erlangen. Anders ausgedrückt: die Laplace-Verteilung dient als Herleitung und Vorbereitung der – viel wichtigeren – Binomialverteilung.

Multiple-Choice

Welche der folgenden Aussagen kommt der Wahrheit am nächsten?

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Diskrete Verteilungen

  • Daniel Lambert schrieb am 10.01.2015 um 00:36 Uhr
    Es ist der Würfelwurf gemeint, der sechs Ausprägungen hat. Deshalb hat die eingezeichnete Wahrscheinlichkeitsfunktion genau sechs Balken... ;-)
  • Buckow schrieb am 06.01.2015 um 16:27 Uhr
    Kann es sein, dass im ersten Beispiel der Würfelwurf gemeint ist? Denn es ist im ersten Beispiel die Rede vom "Münzwurf" und "n=2" Dann müßte f(k)=0,5 für f=1,2 und f(k)=0, sonst.
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Autor: Daniel Lambert

Dieses Dokument Diskrete Verteilungen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dipl.-Math. Dipl.-Kfm. Daniel Lambert gibt seit vielen Jahren Kurse zur Prüfungsvorbereitung. Er unterrichtet stets orientiert an alten Prüfungen und weiß aus langjähriger Erfahrung, wie sich komplexe Sachverhalte am besten aufbereiten und vermitteln lassen. Daniel Lambert ist Repetitor aus Leidenschaft seit nunmehr 20 Jahren.
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    Ein Kursnutzer am 23.07.2015:
    "Weiter so!! viele Grüße aus Nürnberg"

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    Ein Kursnutzer am 08.06.2015:
    "Ich finde, dass Herrn Lambert eine große Gabe hat, schwierige Sachverhalte einfach und strukturiert wiederzugeben. Man gewinnt außerdem den Eindruck, dass er Spaß an der Erklärung hat und an wichtiger Stelle die Fokussierung mit Witz und Präzision in der Wortwahl den Stoff einleuchtend vermittelt. Ich würde mal sagen, das war ein ganz schön dickes LOB! :-) Danke! "

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