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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Kombinationen mit Wiederholung

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kombinationen mit Wiederholung

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Methode

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 Wenn man bei den o.e. Variationen mit Wiederholung auf die Unterscheidung der Reihenfolge der Elemente in den k-Tupeln verzichtet, dann erhält man Kombinationen mit Wiederholung. Es gibt $$\dbinom{n+k-1}{k} $$ viele von ihnen.

Beispiel

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Wieviele Möglichkeiten für unterschiedliche Würfe existieren, wenn man k = 2 nicht unterscheidbare Würfel wirft (die jeweils n = 6 Seiten haben)?

Die Antwort ist:

$\dbinom{n+k-1}{k} = \dbinom{6+2-1}{2} = \dbinom{7}{2} = 21$. Schreiben wir die einzelnen, überhaupt möglichen, Ergebnisse auf:

{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)

(2,1), (2,2), ... , (2,6),

... , (6,1), (6,2), (6,6)}

Nun sind aber die einzelnen Würfel nicht unterscheidbar, d.h. (1,2) und (2,1) sind dasselbe Ereignis, genauso (3,1) und (1,3) etc. Man streicht daher alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen weg, dies sind (1,2), (1,3), ..., (1,6), (2,3), ..., (2,6), (3,4),...,(3,6),(4,5),...,(4,6),(5,6), also insgesamt 15 Elemente. Zurück bleiben 36 – 15 = 21 Möglichkeiten, nämlich (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).

Video zu Kombinationen

Video: Kombinationen mit Wiederholung