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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Kombinationen mit Wiederholung

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kombinationen mit Wiederholung

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Methode

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Wenn bei den o.g. Variationen mit Wiederholung auf die Reihenfolge der Elemente in den k-Tupeln keine Rücksicht genommen wird, dann erhält man Kombinationen mit Wiederholung.

Somit existieren $\dbinom{n+k-1}{k} $ viele Möglichkeiten.

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Wieviele Kombinationen für die Würfe gibt es, wenn man k = 2 gleiche Würfel wirft, welche je n = 6 Seiten haben?

 

Das Ergebnis ist folgendes: $\dbinom{n+k-1}{k} = \dbinom{6+2-1}{2} = \dbinom{7}{2} = 21$.

Sammeln wir alle Ereignisse die möglich sind:

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

Jetzt sind jedoch die beiden Würfel nicht zu unterscheiden, ergo sind (1,2) und (2,1) das gleiche Ereignis, genau so wie (3,1) und (1,3), etc. Deshalb streicht man die 15 Elemente über der Hauptdiagonalen:

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
 (2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
  (3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
   (4,4)(4,5)(4,6)
    (5,5)(5,6)
     (6,6)

Übrig sind folgende 36 – 15 = 21 Möglichkeiten:

(1,1)     
(2,1)(2,2)    
(3,1)(3,2)(3,3)   
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)  
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5) 
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

 

Video zu Kombinationen

Video: Kombinationen mit Wiederholung